为什么跨大陆的“直线”路径如此弯曲？

#1 楼

只需看看球体上的路径即可。它在Google地球中：

您的地图上的路径强烈弯曲，因为您的地图使用了很多失真的投影。 （变形会不断增长，并且不会朝向两极，并且这条路径越来越接近北极。）
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变形对于解释地图上此测地线的曲率是必要的，但它们之间的联系是微妙。可以说这更多有用，内容丰富且优雅。查看您是否同意。
OP的地图使用墨卡托投影。它的显着品质是


圆柱：特别是，子午线是地图上的垂直线，


等角线：任意角度在地球上有两条交叉的路径将正确地显示在地图上，并且
洛德罗米奇（Loxodromic）：在地球上恒定承受的任何路线都将显示为地图上的直线段。


这些属性使直接从地图上读取一些关键信息变得容易。在这种情况下，我最感兴趣的是任何路径与它所经过的每个子午线所成的角度。 （这些是从北方测量的方位角。）例如，问题中描述的路径始于加拿大，纬度约54度，与子午线成约30度。
我们还需要知道什么大约在纬度54度的一点是，它比沿赤道的点更靠近地球轴。实际上，它是轴的cos（54）* R，其中R是地球的半径。 （这本质上是余弦的定义。它有助于对余弦有所了解，因此您可以了解余弦的行为，但实际上您根本不需要了解任何其他三角函数。我保证。还有一件事：角度的正弦是其补数的余弦，例如sin（32度）= cos（90-32）= cos（58）。）
最后，请注意，地球绕其轴旋转对称。这使我们可以调用Clairaut的精美定理（br />）（1743）：在任何光滑旋转表面上的路径上，当且仅当路径是局部测地线时，到轴的距离与轴承正弦的乘积才是常数。 。
因此，由于我们从纬度54度以30度角开始，所以定理中的乘积等于cos（54）* R * sin（30）= 0.294 *R。
这有帮助吗？好吧，考虑一下如果路径在地图上近似笔直地会发生什么。迟早它将上升到73度的纬度。使用Clairaut定理，我们可以在这种纬度下求解轴承：也就是说，为了成为测地线，路径必须弯曲得如此强烈，以使初始方位角30度（北向东）变为90度（北向东）。
（我当然找到了值73通过解方程cos（latitude）= cos（latitude）* sin（90）= cos（54）* sin（60）来度数。要自己执行此操作，您必须知道（a）sin（90）= 1（因为sin（90）= cos（90-90）= cos（0）= 1）和（b）大多数计算器和电子表格都具有求解余弦的函数；所以它称为ArcCos或反余弦。我希望您不要看这个小细节违反了我先前关于不再触发的承诺...）
在进行了这样的一些计算之后，您就会对Clairaut的定理所说的东西有一个直觉。只有在以下情况下，旋转表面（例如地球）中的路径才可以是测地线（局部最短或“笔直”）：（a）它的方位在远离轴的点上与子午线更加平行，并且（b）它的方位变得更大在与轴更​​近的点上垂直于子午线。因为垂直度有一个限制-它是90度！-距离轴的接近度有一个限制。方位角（=与子午线的角度）和纬度（=与轴的距离）的这种恒定调整会导致大多数地图上的测地线出现明显的曲率，尤其是在使用圆柱投影的地图上，其中子午线和纬线表示为垂直分别是水平线。
这是克莱劳特定理的一些简单含义。看看是否可以全部证明它们：


赤道必须是测地线。


所有子午线都是测地线。

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除了赤道（和极点，如果要包括在内）之外，任何纬度线都不是测地线。纬度线甚至一小部分也不能测地线。


恒定坐标线的高铁线（aka隆线）除非是子午线或赤道线，否则不能用作测地线。这样的机场的一小部分甚至都不是测地线。换句话说，如果您沿固定的罗盘方向航行或飞行，那么-除了一些明显的例外-您的路径不断弯曲！


第4点指出，如果您从加拿大落基山脉出发，在向北30度的初始方位飞行，则您必须相对于北面表现出不断转弯（向右）才能直飞；您将永远不会向北纬73度；如果继续走的足够远，您将到达波兰，到达波兰时将向北约150度。当然，细节（73度，波兰和150度）仅从克拉里奥定理的定量表述中得出：通常仅凭直观的测地线就无法弄清楚这种事情。
值得注意的是，所有这些结果都保留在普通球体（椭圆产生的旋转表面）上，而不仅限于完美球体。稍加修改，它们就可以容纳花托（百吉饼或卡车轮胎的表面）和许多其他有趣的表面。 （科幻作家拉里·尼文（Larry Niven）撰写了一部小说，其中描绘了一个人造的圆环状小世界。该链接包括该小说封面上的图像，描绘了这个世界的一部分。）

#2 楼

在此投影（Google Mercator）中，这就是两个地方之间的大圆弧。

#3 楼

快速补充一下：


另外，从亚洲到美国的飞机将
几乎在北极上空飞行。


朝那个方向，他们将经常使用喷射流。在另一个方向上，它们确实会飞越/靠近两极。


http://en.wikipedia.org/wiki/Jet_stream

#4 楼

墨卡托投影在两极变形
http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection

更多信息
天梭的Indicatrix

因此，后两极的陡度更陡峭

http://en.wikipedia.org/wiki/Tissot%27s_Indicatrix

#5 楼

我在汤姆·麦克赖特（Tom MacWright）的博客上看到了关于这种现象的非常优雅的解释，上面有橘子的照片。已有5年历史的版本：“在地球上，最短路径是平坦的，导航线是弯曲的。墨卡托制作了一张地图，导航线是直的。这使最短路径弯曲了。”

#6 楼

这是由于2D平面投影到极化的2个球体表面上，所以当直线移动经过极点时，它就向2D平面的观察者而言变得扭曲，因为到达目标的直线似乎是弯曲的大圆柜，这是数学上的一个术语，与可以从球体上切出的最大圆有关，只要该圆通过球体的中心即可。我对其他答案中提供的图像进行了稍微修改，方法是在其上划一条线以进行说明（恐怕很少，我是GIMP的新手）所谓的极坐标畸变。我认为引力背后有类似的概念，但我不是物理学家，所以我不能说。





尽管点仍然很少，但点越靠近两极，在呈现到Flat 2D曲面上时它看起来变形的程度就越小。
这还取决于所使用的“投影”方法，有些方法着眼于使两点之间的最快路径看起来是平坦的，然后在完整的球面视图上倒圆。