$$ n'=（M ^ {-1}）^ {T} \ cdot n $$
变换对象时，很显然需要对法线进行相应的变换。但是为什么从数学上讲这是对应的转换矩阵呢？
#1 楼
这是需要逆转置的简单证明。假设我们有一个平面，由平面方程$ n \ cdot x + d = 0 $定义，其中$ n $是法线。现在，我想用某个矩阵$ M $变换该平面。换句话说，我想找到一个新的平面方程$ n'\ cdot Mx + d'= 0 $，它满足与先前平面方程完全相同的$ x $值。为此，将两个平面方程式设置为相等就足够了。 （这放弃了任意缩放平面方程的能力，但这对参数并不重要。）然后，我们可以设置$ d'= d $并将其减去。我们剩下的是：将向量视为1列矩阵）：
$$ {n'} ^ T Mx = n ^ T x $$
现在为所有$满足此条件x $，我们必须具有：
$$ {{n'} ^ TM = n ^ T $$
现在用$ n $求解$ n'$ ，
$$ \ begin {aligned} {n'} ^ T＆= n ^ TM ^ {-1} \\
n'＆=（n ^ TM ^ {-1 }）^ T \\
n'＆=（M ^ {-1}）^ T n \ end {aligned} $$
保存！如果点$ x $由矩阵$ M $变换，则平面法线必须通过$ M $的反转置变换，以保留平面方程。
这基本上是点积。为了使点积在进行变换时保持不变，必须对两个点矢量进行相应但不同的变换。
在数学上，可以说法向量不是不是普通的向量，而是称为协向量（又称为协变向量，对偶向量或线性形式）的东西。协矢量基本上定义为“可以用矢量点缀以产生不变标量的事物”。为了实现这一点，它必须使用在普通矢量上运行的任何矩阵的逆转置进行变换。这适用于任何尺寸。
请注意，特别是在3D模式下，双矢量类似于辅助矢量。它们并不完全相同，因为它们具有不同的单位：副矢量的长度单位为倒数，而双矢量的长度单位为平方（面积），因此它们在缩放时的行为不同。但是，它们的定向方式确实相同，这对法线很重要。我们通常不关心法线的大小（无论如何我们总是将其归一化为单位长度），因此我们通常不必担心bivector和covector之间的差异。
评论
$ \ begingroup $
很棒的解释。但是，在2点上有点快，您会喜欢更多的细节：1.如何从点积跳到矩阵积？ 2.在最后引用部分的第2行和第3行之间，发生了什么（n对我来说从左到右有点神奇地移动了）
$ \ endgroup $
–v.oddou
2015年9月16日在1:24
$ \ begingroup $
1.如果a和b是相同维的列矩阵，则（a ^ T）b与dot（a，b）相同。自己尝试一下数学！ 2.（AB）^ T =（B ^ T）（A ^ T），而（A ^ T）^ T = A有关更多矩阵身份，请查看《矩阵食谱》
$ \ endgroup $
– Mokosha
2015年9月16日下午1:30
$ \ begingroup $
@ v.oddou是的，Mokosha是正确的。点积可表示为将1×n矩阵（行向量）与n×1矩阵（列向量）相乘;结果是一个1×1矩阵，其单个成分是点积。列向量的转置是行向量，因此我们可以将a·b写为a ^ T b。对于第二个问题，转置矩阵乘积等效于转置单个因子并颠倒其顺序。
$ \ endgroup $
–内森·里德（Nathan Reed）
2015年9月16日下午5:42
$ \ begingroup $
完美，现在一切都清楚了。都谢谢
$ \ endgroup $
–v.oddou
2015年9月16日下午6:09
$ \ begingroup $
@NathanReed（天哪，这使我回到了PowerVR的早期时代，在那里我们使用飞机为大多数物体建模）。可能还值得一提的是，出于优化目的，如果您的矩阵Mr只包含旋转（即正交），则Inverse（Mr）= Transpose（Mr），因此Trans（Inverse（Mr）= _ Mr_。您也可以在转换部分使用快捷方式，如果您知道缩放比例是一致的，则在SGL PowerVR图形库中的FWIW中，我们使用布尔值来跟踪转换矩阵是否具有这些属性，以节省正常转换的成本。
$ \ endgroup $
–西蒙F
2015年9月16日在8:32
#2 楼
这仅仅是因为法线并不是真正的向量！它们是由叉积创建的，这会产生双向量，而不是向量。代数在这些坐标上的工作方式大不相同，并且几何变换只是行为不同而已。评论
$ \ begingroup $
法线也称为伪向量。作为一般性和经验法则，由叉积产生的所有内容（例如飞机）都将以类似的方式进行转换。
$ \ endgroup $
–马特西亚
17-10-4在17:03
评论
如果模型矩阵由平移，旋转和缩放组成，则无需进行反转置即可计算正态矩阵。只需将法线除以平方比例，再乘以模型矩阵即可。您可以将其扩展到具有垂直轴的任何矩阵，只需为要使用的矩阵的每个轴计算平方比例即可。我在博客中写了详细信息：lxjk.github.io/2017/10/01/Stop-Using-Normal-Matrix.html