我知道这取决于信号，但是当面对一个新的嘈杂信号时，在保持尖锐过渡的同时尝试对信号进行降噪的诀窍是什么（例如，任何一种简单的平均方法，即与高斯卷积就不存在了）。我经常发现自己正面临着这个问题，并且不觉得我应该尝试什么（花键之外，但它们也可以严重挫败正确的急剧过渡）。

附带说明一下，如果您知道一些使用小波的好方法，请告诉我它是什么。似乎它们在这一领域具有很大的潜力，但是尽管90年代有一些论文被引证充分，表明该论文的方法取得了不错的成绩，但我找不到关于哪种方法最终在2002年成为最佳候选者的信息中间的几年。从那时起，肯定可以肯定有些方法是“首先要尝试的方法”。

#1 楼

在保留边缘方面，L1范数最小化（压缩感测）可以比传统傅立叶去噪做得相对更好。

该过程是使目标函数最小化

$$
| xy | ^ 2 + b | f（y）|

其中$ x $是噪声信号，$ y $是去噪信号，$ b $是正则化参数，而$ | f（y）| $是一些L1范数惩罚。去噪通过找到此优化问题的解$ y $来完成，$ b $取决于噪声水平。

要保留边缘，取决于信号$ y $，您可以选择不同的惩罚这样，使得$ f（y）$稀疏（压缩感测的精神）：


如果$ y $是分段的，则$ f（y）$可以是总变化量（电视）的惩罚；
如果$ y $是曲线状的（例如，Singram），则$ f（y）$可以是$ y $相对于Curvelet的展开系数。 （这是针对2D / 3D信号，而不是1D）；
如果$ y $具有各向同性奇异性（边），则$ f（y）$可以是$ y $相对于小波的扩展系数。

当$ f（y）$是相对于某些基函数的展开系数时（如上面的Curvelet /小波），解决优化问题等同于对展开系数进行阈值处理。

请注意，这种方法也可以应用于反卷积，其中目标函数变为$ | x-Hy | + b | f（y）| $，其中$ H $是卷积算符。

评论

$ \ begingroup $
总结很好，但是您能不能扩展一下：1）在第一个方程中，我们要求解$ y $，那么它在目标函数中如何存在？ $ y $的整个空间？ （例如，如果$ y $是一个N维向量，则凸/非凸自适应算法是否会在此N维空间上移动？
$ \ endgroup $
–太空
2012年8月8日在12:19
$ \ begingroup $
我还要提到$ L_1 $规范的LASSO正则化。
$ \ endgroup $
– Phonon
2012年8月8日15:21
$ \ begingroup $
您喜欢什么方法来求解f，尤其是在信号较长的情况下。
$ \ endgroup $
–约翰·罗伯逊
2012-09-20 20:08


$ \ begingroup $
此方法的名称是什么？如果在研究中使用它，我应该引用什么？
$ \ endgroup $
–拜耳
2012年10月24日19:09
$ \ begingroup $
@bayer取决于您使用的正则化，例如，可以是Curvelet去噪或小波去噪。通常，它们都属于L1规范最小化家族。
$ \ endgroup $
–朝黄
2012年10月25日在1:11


#2 楼

您可以考虑各向异性扩散。有许多基于此技术的方法。一般来讲，它用于图像。这是一种自适应去噪方法，旨在平滑图像的非边缘部分并保留边缘。作者还提供了MATLAB代码。他们认为该问题是分析先验问题，在某种程度上类似于使用线性映射（例如时频表示）。但是，它们使用的是差分矩阵而不是变换。

博伊德（Boyd）提供了另一种有趣的方法，即趋势过滤。这也非常类似于电视的正则化，但是我猜Boyd在问题表述中使用了不同的$ D $矩阵。

#3 楼

朝黄有一个很好的答案，但我还要补充一点，您可以使用的另一种方法是通过Haar小波变换，然后是小波系数收缩，然后是逆Haar变换回到时域。

Haar小波变换可将信号分解为平方和差分函数的系数，尽管比例不同。这里的想法是，您“强制”新的正方形信号表示以最佳地匹配原始信号，从而最好地表示边缘所在的位置。

执行系数收缩时，这意味着要将Haar变换函数的特定系数设置为零。 （还有其他涉及更多的方法，但这是最简单的）。 Haar变换的小波系数是在不同尺度下与不同平方/差函数相关的得分。 Haar变换信号的RHS表示最小尺度的平方/差基，因此可以在“最高频率”下解释。因此，大部分噪声能量将位于此处，而大部分信号能量将位于LHS上。是那些被舍弃的基系数，然后将结果反变换回时域。

附上了正弦波被严重的AWGN噪声破坏的示例。目的是弄清楚脉冲的“开始”和“停止”在哪里。传统的滤波将涂抹高频（并且在时间上高度局部化）边缘，因为从本质上讲，滤波是一种L-2技术。相比之下，下面的迭代过程将去噪并保留边缘：在这里处理）。 （右键单击并将链接另存为）。

我在MATLAB中“手动”编写了该过程，结果如下：计算上述信封。 （“信号”）。
计算所有比例下信号的Haar小波变换。
通过迭代系数阈值进行降噪。
逆Haar变换收缩系数向量。

您可以清楚地看到系数是如何缩小的，以及由此产生的逆Haar变换。

但是，此方法的一个缺点是，边缘需要以给定的比例位于正方形/差异基础内或周围。如果不是，则转换被迫跳到下一个更高的级别，因此将丢失边缘的精确位置。有多种分辨率的方法可用来解决此问题，但它们涉及更多。

#4 楼

一种经常起作用的简单方法是应用中值滤波器。