例如，说我有以下数据点
37.418436,-121.963477 0.265710701754km
37.417243,-121.961889 0.234592423446km
37.418692,-121.960194 0.0548954278262km
我要做什么我想知道一个函数的数学运算，该函数将其作为输入并返回37.417959，-121.961954作为输出。 .movable-type.co.uk / scripts / latlong.html我了解这样的基本原理：有了这样的三个圆圈，您恰好得到一个重叠点。我不知道的是使用此输入来计算该点所需的数学。
#1 楼
在浏览了一下Wikipedia并在StackOverflow上找到了相同的问题/答案之后，我想我会对此进行尝试，并尝试填补空白。输出，但似乎是错误的。我在ArcMap中绘制了点，将其缓冲到指定的距离，在缓冲区上相交到，然后捕获相交的顶点以获得解。您建议的输出是绿色的点。我计算了标注框中的值，该值大约是ArcMap给出的用于从相交得出的解决方案的值的3米。太糟糕了，只需要将您的大地坐标转换为笛卡尔ECEF，即可在此处找到。如果您不使用椭圆体，则a / x + h项可以替换为真实球体半径。在python import math
import numpy
#assuming elevation = 0
earthR = 6371
LatA = 37.418436
LonA = -121.963477
DistA = 0.265710701754
LatB = 37.417243
LonB = -121.961889
DistB = 0.234592423446
LatC = 37.418692
LonC = -121.960194
DistC = 0.0548954278262
#using authalic sphere
#if using an ellipsoid this step is slightly different
#Convert geodetic Lat/Long to ECEF xyz
# 1. Convert Lat/Long to radians
# 2. Convert Lat/Long(radians) to ECEF
xA = earthR *(math.cos(math.radians(LatA)) * math.cos(math.radians(LonA)))
yA = earthR *(math.cos(math.radians(LatA)) * math.sin(math.radians(LonA)))
zA = earthR *(math.sin(math.radians(LatA)))
xB = earthR *(math.cos(math.radians(LatB)) * math.cos(math.radians(LonB)))
yB = earthR *(math.cos(math.radians(LatB)) * math.sin(math.radians(LonB)))
zB = earthR *(math.sin(math.radians(LatB)))
xC = earthR *(math.cos(math.radians(LatC)) * math.cos(math.radians(LonC)))
yC = earthR *(math.cos(math.radians(LatC)) * math.sin(math.radians(LonC)))
zC = earthR *(math.sin(math.radians(LatC)))
P1 = numpy.array([xA, yA, zA])
P2 = numpy.array([xB, yB, zB])
P3 = numpy.array([xC, yC, zC])
#from wikipedia
#transform to get circle 1 at origin
#transform to get circle 2 on x axis
ex = (P2 - P1)/(numpy.linalg.norm(P2 - P1))
i = numpy.dot(ex, P3 - P1)
ey = (P3 - P1 - i*ex)/(numpy.linalg.norm(P3 - P1 - i*ex))
ez = numpy.cross(ex,ey)
d = numpy.linalg.norm(P2 - P1)
j = numpy.dot(ey, P3 - P1)
#from wikipedia
#plug and chug using above values
x = (pow(DistA,2) - pow(DistB,2) + pow(d,2))/(2*d)
y = ((pow(DistA,2) - pow(DistC,2) + pow(i,2) + pow(j,2))/(2*j)) - ((i/j)*x)
# only one case shown here
z = numpy.sqrt(pow(DistA,2) - pow(x,2) - pow(y,2))
#triPt is an array with ECEF x,y,z of trilateration point
triPt = P1 + x*ex + y*ey + z*ez
#convert back to lat/long from ECEF
#convert to degrees
lat = math.degrees(math.asin(triPt[2] / earthR))
lon = math.degrees(math.atan2(triPt[1],triPt[0]))
print lat, lon
评论
我本来打算给出一个类似的答案，但是现在没有必要了！得到我的支持。
–拉斯
2010年7月28日在15:54
麻木的救援！当将“ triPt”替换为“ triLatPt”时，它将编译，但否则返回37.4191023738 -121.960579208。做得好
–WolfOdrade
2010年7月28日在20:18
干得好！如果我将地理坐标系替换为本地[Cartesian]坐标系，这是否仍然有效？
– Zengr
13年10月3日，19：47
对于那些在c ++域中的人。
–raaj
2014年8月14日17:32
谢谢@wwnick！我已将其移植到JavaScript（用于Node，但可以轻松转换为在浏览器中工作）。 gist.github.com/dav-/bb7103008cdf9359887f
– HellaMad
2014年11月26日，下午1:34
#2 楼
我不确定我是否还很幼稚，但是，如果按大小缓冲每个点，然后将所有三个圆相交会得到正确的位置？可以使用以下方法计算交点：空间API。示例：
GeoScript
Java拓扑套件
NET拓扑套件
GEOS
评论
确实，他对获取该交点的公式感兴趣。
– Vinko Vrsalovic
2010年7月22日在20:51
使用空间API，无需使用纯数学就可以做到这一点。
–乔治·席尔瓦（George Silva）
2010年7月23日下午0:31
@George您能举一个这样的API的例子吗？
– nohat
2010年7月23日下午2:00
编辑帖子以反映nohat的要求。
–乔治·席尔瓦（George Silva）
2010年7月23日在2:23
+1，具有良好的横向思维能力，即使计算效率最高！
–fmark
2010年7月23日在8:17
#3 楼
以下注释使用了等平面几何（即，您必须将坐标投影到适当的局部坐标系中）。我的推理，下面是使用Python的实例： >获取2个数据点（分别称为
a和b）。称为目标点x。我们已经知道距离ax和bx。我们可以使用毕达哥拉斯定理计算距离ab。>>> import math
>>> a = (1, 4)
>>> b = (3, 6)
>>> dist_ax = 3
>>> dist_bx = 5.385
# Pythagoras's theorem
>>> dist_ab = math.sqrt(abs(a[0]-b[0])**2 + abs(a[1]-b[1])**2)
>>> dist_ab
2.8284271247461903
现在，您可以算出这些线的角度：
>>> angle_abx = math.acos((dist_bx * dist_bx + dist_ab * dist_ab - dist_ax * dist_ax)/(2 * dist_bx * dist_ab))
>>> math.degrees(angle_abx)
23.202973815040256
>>> angle_bax = math.acos((dist_ax * dist_ax + dist_ab * dist_ab - dist_bx * dist_bx)/(2 * dist_ax * dist_ab))
>>> math.degrees(angle_bax)
134.9915256259537
>>> angle_axb = math.acos((dist_ax * dist_ax + dist_bx * dist_bx - dist_ab * dist_ab)/(2 * dist_ax * dist_bx))
>>> math.degrees(angle_axb)
21.805500559006095
很不幸，我来不及为您完成答案，但是，现在您知道了角度，您可以计算
x的两个可能位置。然后，使用第三点c可以计算出正确的位置。#4 楼
这可能有效。在python中再次快速地，您可以将其放在函数主体中xN，yN =点的坐标，r1和r2 =半径值dX = x2 - x1
dY = y2 - y1
centroidDistance = math.sqrt(math.pow(e,2) + math.pow(dY,2)) #distance from centroids
distancePL = (math.pow(centroidDistance,2) + (math.pow(r1,2) - math.pow(r2,2))) / (2 * centroidDistance) #distance from point to a line splitting the two centroids
rx1 = x1 + (dX *k)/centroidDistance + (dY/centroidDistance) * math.sqrt(math.pow(r1,2) - math.pow(distancePL,2))
ry1 = y1 + (dY*k)/centroidDistance - (dX /centroidDistance) * math.sqrt(math.pow(r1,2) - math.pow(distancePL,2))
rx2 = x1 + (dX *k)/centroidDistance - (dY/centroidDistance) * math.sqrt(math.pow(r1,2) - math.pow(distancePL,2))
ry2 = y1 + (dY*k)/centroidDistance + (dX /centroidDistance) * math.sqrt(math.pow(r1,2) - math.pow(distancePL,2))
rx和ry值是一个圆上两个交点的返回值（应该在数组中），如果这有助于弄清楚事情的话。如果第一次迭代的结果与第二次迭代的结果相比较（可能在一定公差范围内），那么您就有了交点。这不是一个很好的解决方案，尤其是当您开始在过程中添加多个点时，但这是最简单的方法，无需解决方程组。
评论
您的代码中的“ e”和“ k”是什么？
– ReinierDG
2013年9月14日上午8:09
我不记得了:-) wwnick的答案更多的是如果您只有三个圆圈，您想实现的目标。
–WolfOdrade
2013年9月16日15:15
#5 楼
您可以使用postgis中的空间API（St_Intersection，St_buffer函数）。正如fmark所注意到的，您还必须记住Postgis使用平面算法，但是对于小区域，使用等距投影不会带来太多错误。 />
评论
PostGIS可以使用GEOGRAPHY类型而不是GEOMETRY类型进行球体计算。
–fmark
2010年7月25日在22:47
#6 楼
用PHP语言执行：//assuming elevation = 0 $earthR = 6371; // in km ( = 3959 in miles) $LatA = 37.418436; $LonA = -121.963477; $DistA = 0.265710701754; $LatB = 37.417243; $LonB = -121.961889; $DistB = 0.234592423446; $LatC = 37.418692; $LonC = -121.960194; $DistC = 0.0548954278262; /* #using authalic sphere #if using an ellipsoid this step is slightly different #Convert geodetic Lat/Long to ECEF xyz # 1. Convert Lat/Long to radians # 2. Convert Lat/Long(radians) to ECEF */ $xA = $earthR *(cos(deg2rad($LatA)) * cos(deg2rad($LonA))); $yA = $earthR *(cos(deg2rad($LatA)) * sin(deg2rad($LonA))); $zA = $earthR *(sin(deg2rad($LatA))); $xB = $earthR *(cos(deg2rad($LatB)) * cos(deg2rad($LonB))); $yB = $earthR *(cos(deg2rad($LatB)) * sin(deg2rad($LonB))); $zB = $earthR *(sin(deg2rad($LatB))); $xC = $earthR *(cos(deg2rad($LatC)) * cos(deg2rad($LonC))); $yC = $earthR *(cos(deg2rad($LatC)) * sin(deg2rad($LonC))); $zC = $earthR *(sin(deg2rad($LatC))); /* INSTALL: sudo pear install Math_Vector-0.7.0 sudo pear install Math_Matrix-0.8.7 */ // Include PEAR::Math_Matrix // /usr/share/php/Math/Matrix.php // include_path=".:/usr/local/php/pear/" require_once 'Math/Matrix.php'; require_once 'Math/Vector.php'; require_once 'Math/Vector3.php'; $P1vector = new Math_Vector3(array($xA,$yA,$zA)); $P2vector = new Math_Vector3(array($xB,$yB,$zB)); $P3vector = new Math_Vector3(array($xC,$yC,$zC)); #from wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Trilateration #transform to get circle 1 at origin #transform to get circle 2 on x axis // CALC EX $P2minusP1 = Math_VectorOp::substract($P2vector, $P1vector); $l = new Math_Vector($P2minusP1); $P2minusP1_length = $l->length(); $norm = new Math_Vector3(array($P2minusP1_length,$P2minusP1_length,$P2minusP1_length)); $d = $norm; //save calc D $ex = Math_VectorOp::divide($P2minusP1, $norm); //echo "ex: ".$ex->toString()."\n"; $ex_x = floatval( $ex->_tuple->getData()[0] ) ; $ex_y = floatval( $ex->_tuple->getData()[1] ) ; $ex_z = floatval( $ex->_tuple->getData()[2] ) ; $ex = new Math_Vector3(array($ex_x,$ex_y,$ex_z)); // CALC i $P3minusP1 = Math_VectorOp::substract($P3vector, $P1vector); $P3minusP1_x = floatval( $P3minusP1->_tuple->getData()[0] ) ; $P3minusP1_y = floatval( $P3minusP1->_tuple->getData()[1] ) ; $P3minusP1_z = floatval( $P3minusP1->_tuple->getData()[2] ) ; $P3minusP1 = new Math_Vector3(array($P3minusP1_x,$P3minusP1_y,$P3minusP1_z)); $i = Math_VectorOp::dotProduct($ex, $P3minusP1); //echo "i = $i\n"; // CALC EY $iex = Math_VectorOp::scale($i, $ex); //echo " iex = ".$iex->toString()."\n"; $P3P1iex = Math_VectorOp::substract($P3minusP1, $iex); //echo " P3P1iex = ".$P3P1iex->toString()."\n"; $l = new Math_Vector($P3P1iex); $P3P1iex_length = $l->length(); $norm = new Math_Vector3(array($P3P1iex_length,$P3P1iex_length,$P3P1iex_length)); //echo "norm: ".$norm->toString()."\n"; $ey = Math_VectorOp::divide($P3P1iex, $norm); //echo " ey = ".$ey->toString()."\n"; $ey_x = floatval( $ey->_tuple->getData()[0] ) ; $ey_y = floatval( $ey->_tuple->getData()[1] ) ; $ey_z = floatval( $ey->_tuple->getData()[2] ) ; $ey = new Math_Vector3(array($ey_x,$ey_y,$ey_z)); // CALC EZ $ez = Math_VectorOp::crossProduct($ex, $ey); //echo " ez = ".$ez->toString()."\n"; // CALC D // do it before $d = floatval( $d->_tuple->getData()[0] ) ; //echo "d = $d\n"; // CALC J $j = Math_VectorOp::dotProduct($ey, $P3minusP1); //echo "j = $j\n"; #from wikipedia #plug and chug using above values $x = (pow($DistA,2) - pow($DistB,2) + pow($d,2))/(2*$d); $y = ((pow($DistA,2) - pow($DistC,2) + pow($i,2) + pow($j,2))/(2*$j)) - (($i/$j)*$x); # only one case shown here $z = sqrt( pow($DistA,2) - pow($x,2) - pow($y,2) ); //echo "x = $x - y = $y - z = $z\n"; #triPt is an array with ECEF x,y,z of trilateration point $xex = Math_VectorOp::scale($x, $ex); $yey = Math_VectorOp::scale($y, $ey); $zez = Math_VectorOp::scale($z, $ez); // CALC $triPt = $P1vector + $xex + $yey + $zez; $triPt = Math_VectorOp::add($P1vector, $xex); $triPt = Math_VectorOp::add($triPt, $yey); $triPt = Math_VectorOp::add($triPt, $zez); //echo " triPt = ".$triPt->toString()."\n"; $triPt_x = floatval( $triPt->_tuple->getData()[0] ) ; $triPt_y = floatval( $triPt->_tuple->getData()[1] ) ; $triPt_z = floatval( $triPt->_tuple->getData()[2] ) ; #convert back to lat/long from ECEF #convert to degrees $lat = rad2deg(asin($triPt_z / $earthR)); $lon = rad2deg(atan2($triPt_y,$triPt_x)); echo $lat .','. $lon;
评论
这是一个页面，引导您完成寻找三个坐标中心的数学过程。也许这可能会有所帮助。这是否需要在球体/椭球面上，还是可以使用平面算法？
我无法给您答案，但我想我可以为您指明正确的方向。三个坐标=三个中心点。三个距离=三个圆圈。相交的两个圆可以有一个/一个/两个解的可能性。三个圆可以没有/一个/或一个区域作为其解决方案。获得三个圆的圆公式，并用方程组/代数系统求解。
实际上，您甚至不需要系统来解决这一问题。有一种或两种可能性，但是由于您具有距离值，因此可以分离出正确的答案。
+1这是一个好问题。起初，我认为可以通过google轻松找到解决方案，但显然不是。也许可以更笼统地说出问题：给定N个点，每个点不仅具有距离，而且具有误差范围，找到置信椭圆。