这对我来说没有意义，因为海森堡不等式指出$ \ Delta t \ Delta \ omega $〜1.

因此，当您在时间上完全本地化某些内容时，您会得到完全分布的内容在频率上。因此基本关系$ \ mathfrak {F} \ {\ delta（t）\} = 1 $，其中$ \ mathfrak {F} $是傅立叶变换算子。

但是对于Dirac梳，应用傅立叶变换，您将收到另一个狄拉克梳子。直观地，您还应该获得另一行。

为什么这种直觉会失败？

#1 楼

我相信谬论是要相信狄拉克梳子在时间上是本地化的。不是因为它是周期函数，因此它只能在其基本频率的倍数处（即在离散的频率点处）具有频率分量。它不能有连续的频谱，否则就不会是周期性的。就像任何其他周期函数一样，狄拉克梳子可以用傅立叶级数表示，即复指数的无穷大。每个复指数对应于不同频率的频域中的狄拉克脉冲。将这些狄拉克脉冲求和得到频域的狄拉克梳。

评论

$ \ begingroup $
是的，两个周期梳都没有定位在其各自的独立变量（时间/频率）中。
$ \ endgroup $
– Peter K.♦
2015年2月6日下午14:00

#2 楼

您的直觉失败是因为您从错误的假设开始。海森堡的不确定性并未说明您的想法。正如您在问题中已经说过的那样，这是一个不平等。确切地说，它是
$$ \ Delta t \ cdot \ Delta f \ geq \ frac {1} {4 \ pi} $$

对于所有信号，不确定性乘积必须接近其下限。实际上，达到此最低限度的唯一信号是Gabor原子。对于所有其他信号，期望它更大，甚至可能无限大。

评论

$ \ begingroup $
是的，但是主要的谬误是认为狄拉克梳子在时间上是本地化的。不是因为它是周期性的。因此，不确定性定理对狄拉克梳没有任何帮助。
$ \ endgroup $
– Matt L.
2015年2月6日在13:28
$ \ begingroup $
@MattL。，那不是我对原始问题的理解。我认为他实际上是在争论狄拉克火车是在其本机领域完全被本地化的，因此傅里叶应该转变为非常本地化的东西。
$ \ endgroup $
–爵士乐狂人
2015年2月6日下午13:59
$ \ begingroup $
好吧，看来OP对“另一条线”的含义有误解。我认为这是指平坦频谱（就像他之前提到的狄拉克脉冲的频谱一样）。但是您认为这是指一条频谱线，即一个单一频率。至少现在我知道您的答案将如何回答OP的问题。
$ \ endgroup $
– Matt L.
2015年2月6日14:34
$ \ begingroup $
@MattL。，我实际上以为他在写“线”时就意味着Dirac分布的通常图形表示。无论如何，他都必须澄清一下，因为至少可以通过两种不同的方式来真正理解该问题。
$ \ endgroup $
–爵士乐狂人
2015年2月6日，15：26
$ \ begingroup $
好吧，“标准”定义是一种物理量陈述，涉及动量和位置不确定性（特别是标准偏差），并且其中有一个\\ hbar $。甚至在这种情况下，您也必须定义“ $ \ Delta t $”和“ $ \ Delta f $”的含义。该常数（您指定为$ \ frac {1} {4 \ pi} $）离单位（在对数刻度上）不能太远，但不必是$ \ frac {1} {4 \ pi } $，但由于对“ $ \ Delta t $”和“ $ \ Delta f $”有特殊定义。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
2015年2月9日在21:11


#3 楼

电气工程师使用Dirac delta函数有点快而松散，数学家认为这不是函数（或者至少不是“常规”函数，而是“分布”）。数学事实是，如果$ f（t）= g（t）$“几乎无处不在”（这意味着在$ t $的每个值处，除了可数数量的离散值），然后$$ \ int f（t） dt = \ int g（t）dt $$。

函数$ f（t）= 0 $和$ g（t）= \ delta（t）$在所有地方都相等，除了$ t = 0 $，但我们的电气工程师坚持认为它们的积分是不同的。但是如果您撇开这种微小的差异（我认为这是不切实际的），您的问题的答案是：


狄拉克梳子函数$$ \ mathrm {III} _T（t）\ triangleq \ sum \ limits_ {k =-\ infty} ^ {+ \ infty} \ delta（t-kT）$$是周期$ T $的周期函数，因此具有傅立叶级数：$$ \ mathrm {III} _T（t）= \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} c_n \ e ^ {j 2 \ pi nt / T} $$
您得到的傅立叶级数的系数$ c_n $：

$$ \ begin {align}
c_n＆= \ frac {1} {T} \ int \ limits_ {t_0 } ^ {t_0 + T} \ mathrm {III} _T（t）e ^ {-j 2 \ pi nt / T} dt \\
＆= \ frac {1} {T} \ int \ limits_ { -T / 2} ^ {T / 2} \ delta（t）e ^ {-j 2 \ pi nt / T} dt \ quad \ quad（k = 0）\\
＆= \ frac {1 } {T} \ int \ limits _ {-T / 2} ^ {T / 2} \ delta（t）e ^ {-j 2 \ pi n 0 / T} dt \\
＆= \ frac { 1} {T} \ quad \ quad \ forall n \\
\ end {align} $$


所以Dirac梳的傅里叶级数是

$$ \ mathrm {III} _T（t）= \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {1} {T} \ e ^ {j 2 \ pi nt / T} $ $

，这意味着您只是对一堆等幅的正弦波求和。


单个复杂正弦波的傅立叶变换为：

$$ \ mathfrak {F} \ left \ {e ^ {j 2 \ pi f_0 t} \ right \} = \ delta（f-f_0）$$

傅里叶变换的线性特性是什么。其余的证明是留给读者的练习。

评论

$ \ begingroup $
@Jazzmaniac，这是错误的。我什么时候曾经屈服于数学家的？ （我认为您在做些预测。）顺便说一句，距我在研究生级别进行了2个学期的功能分析已有38年了。记不清所有内容，但我确实记得一个度量空间，一个规范度量空间（我认为它们有时被称为“ Banach空间”）和内部乘积空间（有时称为“希尔伯特空间”），以及功能是（从其中之一映射到一个数字）。我知道什么是线性空间。大约$ \ delta（t）$，我不介意他们是赤裸的。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
2015年2月7日，12：53
$ \ begingroup $
您继续提出错误的论点，认为数学家在Dirac分布上积分时不会得到1。好吧，即使您参加了功能分析课程，也无法证明您不了解Dirac分布。不需要像您这样的电气工程师来“修复”数学。在您停止谈论诸如此类的数学家之前，我会不断向您指出。这完全是您的选择。
$ \ endgroup $
–爵士乐狂人
2015年2月7日在15:30


$ \ begingroup $
@Jazzmaniac也是个谎言。我要说的是，按照数学家的说法，狄拉克三角函数并不是真正的函数（即使我们的电气工程师不必担心这种区别，也不必像对待函数一样对待它），因为如果几乎在所有地方都为零的函数，积分将为零。你为什么一直歪曲我？您正在磨什么斧头？
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
2015年2月9日在20:59


$ \ begingroup $
@ robertbristow-johnson“电气工程师可以利用Dirac delta三角函数快速灵活地发挥作用。”保罗·狄拉克（Paul Dirac）是一名电气工程师。克劳德·香农（Claude Shannon）还是一名电气工程师。我告诫您不要做出这种笼统和不正确的陈述。您自称是电气工程师，并且清楚地了解了配电理论。
$ \ endgroup $
–马克·维奥拉
16年5月4日在3:49
$ \ begingroup $
几乎每本有关线性系统理论或信号与系统或类似名称的本科电气工程教科书都将引入狄拉克三角洲并将其视为“新生三角洲”的一种限制情况。例如：$$ \ delta（t）= \ lim_ {a \ to 0} \ frac {1} {a \ sqrt {\ pi}} \ mathrm {e} ^ {-t ^ 2 / a ^ 2} $$或其他一些单位面积的脉冲功能，可以使您变得苗条。我不会感到惊讶的是，在已发表的论文中，像Shannon或Dirac这样的人会坚持保守的事实：$$ \ int f（t）\ delta（t- \ tau）\ dt = f（ \ tau）$$和$$ \ delta（t）= 0 \ quad \ forall \ t \ ne 0 $$。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
16年5月4日在5:34


#4 楼

我会尝试直觉。我们可能想到的方式是：“一个Dirac增量在频域上给我们1。现在我给出无限多个Dirac增量。我不应该得到更高的DC吗？”
现在让我们看看是否通过添加在频域（FD）中狄拉克梳中提到的所有频率分量，我们在时域（TD）中得到了另一个狄拉克梳。我们正在添加连续波形并获得离散点的增量。听起来怪怪的。

回到FD。我们有一个间距为\ \ omega_0 $的狄拉克梳子。换句话说，我们有$ 0，\ pm \ omega_0，\ pm2 \ omega_0，\ pm3 \ omega_0 $等的增量。因此，我们有一个DC和无数个余弦，即$ \ cos（\ omega_0 t），\ cos（2 \ omega_0 t），\ cos（3 \ omega_0 t）$等。

让我们考虑对应于$ t = \ frac {2n \ pi} {\ omega_0} $的时域点。以上所有余弦波将给我们提供值1。因此，它们在这些点上加起来并给我们提供非零值。现在还有其他t吗？我们需要确信它们全部加起来为零。

现在略有偏离，让我们考虑一个波形$ cos（kn）； n = 0,1,2,3,4 ... \ infty $。我们知道，除非k可以表示为分数乘以$ \ pi $，否则它是非周期性的。这意味着什么？没有一个重复的样本。每个样本都是唯一的。从另一个角度来看，我们有无数个样本，它们是唯一的并且是余弦波的一部分。这意味着取所有无限点，我们将能够一次完整地构造一个连续余弦波。如果$ cos（kn）$是周期性的怎么办？我们已经知道，样本的总和将基于k的值周期性地为零。因此，对于任何k值，$ cos（kn）$的所有样本的总和将给我们零，除非$ k = 2 \ pi $的倍数。

回到我们原来的问题：现在，我们取一个任意的$ t = t_0 \ neq 2r \ pi $。现在我们有$ \ cos（0 \ omega_0 t_0）[dc] + \ cos（\ omega_0 t_0）+ \ cos（2 \ omega_0 t_0）+ \ cos（3 \ omega_0 t_0）$ ....作为值在$ t = t_0 $。但是我们已经证明了除$ t = \ frac {2n \ pi} {\ omega _0} $之外的任何t的无穷大和= 0，其中所有这些余弦加起来得到狄拉克增量。