白噪声的相位和幅度响应是什么？

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

#1 楼

白噪声不应该具有平坦的幅度响应吗？
（所有频率相等）


白噪声的预期幅度响应是平坦的（这就是JasonR所谓的功率谱密度）。白噪声序列的任何特定实例都不会具有精确的平坦响应（这就是JasonR的评论所称的功率谱）。

实际上，白噪声的傅里叶变换就是...白噪声！


标准偏差和
（1在我的示例中）和幅度和相位？


标准偏差和相位之间没有关系。至于幅度，假设$ n（t）$是平稳的白噪声，均值为零，标准差为\\ sigma $。那么自相关（协方差）为：

$$
R_ {nn}（\ tau）= E [n（t）n（t + \ tau）] = \ sigma ^ 2 \ delta（\ tau）
$$

所以功率谱密度仅为$ \ sigma ^ 2 $（尽管对于离散时间，将根据功率的持续时间进行缩放信号）。


评论中的问题：



当您说傅立叶变换也是白噪声时，
当转换复杂时，如何测量std-dev？真实的
虚构部分还是某些组合？


假设我们的噪声是离散时间，为$ n [m] $（零均值，高斯，方差为$ \ sigma ^ 2 $的白噪声）。然后转换为：

$$
\ begin {eqnarray}
N [k]＆=＆\ sum_ {m = 0} ^ {M-1} n [ m] e ^ {-j2 \ pi mk / M} \\
＆=＆\ sum_ {m = 0} ^ {M-1} n [m] \ cos（2 \ pi mk / M）+ jn [m] \ sin（2 \ pi mk / M）
\ end {eqnarray}
$$

，预期值为：

$$
\ begin {eqnarray}
E \ left [N [k] \ right]＆=＆E \ left [\ sum_ {m = 0} ^ {M-1} n [m ] e ^ {-j2 \ pi mk / M} \ right] \\
＆=＆\ sum_ {m = 0} ^ {M-1} E \ left [n [m] \ right] e ^ {-j2 \ pi mk / M} \\
＆=＆0
\ end {eqnarray}
$$

实部的方差由下式给出：

$$
\ begin {eqnarray}
E \ left [（\ Re N [k]）^ 2 \ right]＆=＆E \ left [\ sum_ {m = 0} ^ {M-1} n [m] \ cos（2 \ pi mk / M）\ cdot \ sum_ {p = 0} ^ {M -1} n [p] \ cos（2 \ pi pk / M）\ right] \\
＆=＆E \ left [\ sum_ {m = 0} ^ {M-1} \ sum_ {p = 0} ^ {M-1} n [m] n [p] \ delta [np] \ cos（2 \ pi mk / M）\ cos（2 \ pi pk / M）\ right] \\
＆=＆\ sum_ {m = 0} ^ {M-1} E \ left [n [m] ^ 2 \ right] \ cos ^ 2（2 \ pi mk / M）\\
＆= ＆\ sigma ^ 2 \ sum_ {m = 0} ^ {M-1} \ cos ^ 2（2 \ pi mk / M）\\
＆=＆\ sigma ^ 2 \ left（\ frac {M } {2} + \ frac {\ cos（M + 1）2 \ pi k / M \ sin（2 \ pi Mk / M）} {2 \ sin（2 \ pi k / M）} \ \ \ \ right ）\\
＆=＆\ frac {\ sigma ^ 2 M} {2}
\ end {eqnarray}
$$

我相信虚构的部分会以相同的方式表现。


我相信（基于以上推导），功率谱密度（平方的期望值） DFT的大小）将随着持续时间线性变化。



如果相位不受std-dev的影响，则由什么决定3度幅度和分布类型（似乎是均匀的而不是正态的）



请查看此PDF文件第2页上的表。它表示，随您的陈述，系数的自变量（相位）将均匀分布。下表的屏幕截图。