宏观表面的面积一样大
对于任何
方向v
我可以理解为什么1）分布密度为正值，并凭直觉认为2）表示倾斜的微面的总面积不能小于其投影。
但是我不确定了解3）的理由。第三个条件是什么意思？
#1 楼
与其他两个假设一样，这是一个几何假设。考虑平坦的宏观表面。它在任何方向$ v $上的投影面积只是$ v \ dot \ \ hat N $乘以其面积（其中$ \ hat N $是表面法线）。特别是，沿法线查看的情况最简单：投影面积等于曲面的面积。现在将宏观曲面拆分为微面。微刻面的总面积至少相等（假设2），但是表面中的每个“扭曲”会使单独的微刻面的法线远离原始法线。无论微面的形状如何，其投影面积之和都不会改变。在沿着法线看的情况下，很容易看到总投影面积是相同的：曲面必须变大或变小才能改变。
对于任何方向，微面必须覆盖表面原始投影区域的一部分。在仍然填充该部分的同时更改微面的方向不会更改其投影区域。
有一个棘手的情况，即微面彼此悬垂。在这种情况下，总面积更大，因为某些区域被一个以上的微面覆盖。但是在这种情况下，至少一个微面必须最终指向背离视线的方向，回到表面。在这种情况下，点积为负，因此这抵消了一个以上的微面所覆盖的区域。这就是为什么文本要小心地指出它是已签名的投影区域的原因。
还有另一种棘手的情况，那就是微面超出对象轮廓的地方。当您从非常扫视的角度看时，或者悬垂的小平面悬于曲面的外围之外时，可能会发生这种情况。在这种情况下，微面的投影面积将更大，这违反了第三个假设。我们通常不考虑这种情况。直观上，它与凹凸贴图之类的技术不会改变对象轮廓的形状这一事实相匹配。
评论
$ \ begingroup $
我认为，即使在剪影情况下，使用带符号的投影区域（如您所述）也意味着只要微观表面的边界与宏观表面的边界匹配，就不会违反假设3。即使轮廓之外有突出部分，突出部分的正面和背面上刻面的已签名投影区域也将抵消。
$ \ endgroup $
–内森·里德（Nathan Reed）
16年1月19日在18:30
$ \ begingroup $
（此外，也许不用说，但是我认为这些假设也可以保证微表面是一个不错的2流形表面，没有任何孔洞或其他奇怪的东西。）
$ \ endgroup $
–内森·里德（Nathan Reed）
16年1月19日在18:51
$ \ begingroup $
@NathanReed是的，我对此应该更加精确。至于假设所保证的内容，我反过来认为：表面（无论是多面的）必须是某些“内部”和“外部”之间的整个边界，这一事实迫使它具有这三个属性。
$ \ endgroup $
–丹·赫尔姆
16年1月20日在9:58