用任意核（具有圆对称性）进行卷积对于HSH是如何工作的？ SH的卷积是否可以扩展，或者是否有任何论文对此进行详细介绍？
#1 楼
该答案试图简要概述一些重要方面。由于HSH的定义非常复杂，而且我无法找到一些预先评估的功能的概述，因此我没有提供示例仅仅是因为这会花费我太多时间。问题描述＆Brute Force
要确定具有任何基函数集的任何卷积并由此计算系数，我们通常需要计算域上的积分（SH为半球，HSH为半球）。我们需要做的代表半球函数f的所有事情，该函数通过HSH基本函数H的系数c在theta（“上/下”）和phi（“左/右”）的角度上定义如下：
sin（theta）在那里，因为我们在（半-）球的表面上积分。从概念上讲，在当前theta上，因phi的变化而导致的一块区域的大小更大或更小。如果我们对精度或计算时间不是很在意，则可以通过采样来解决：在半球上生成均匀分布的（！）方向，计算f和f的乘积。 H并平均结果（如果您具有真正均匀分布的点，则不需要sin（theta））。
分析解决方案入门
很乐意为我们的功能提供一个解析解决方案，但是这会使事情变得非常困难。第一步，我们可能需要将在笛卡尔方向上给出的函数转换为球坐标。这部分仍然很简单，只需将所有x，y和z替换为以下内容：
请注意，这为我们提供了一个系统，其中z轴是应由HSH表示的半球的“上”（θ= 0）。之后，可能已经可以将所有内容插入计算机代数系统并求解方程式了。不要尝试求解所有的m＆l，而是一次尝试一个系数，因为不可能有一个紧凑的表达式可以一次描述所有系数。 HSH的定义相对复杂，因此评估这些功能非常繁琐。本文在笛卡尔坐标系中提到了零阶和一阶HSH基函数。一个成功的解析推导的非常好的候选者，因为它们仅影响区域系数，而这些系数都是索引m等于零的系数。这对于更通用的球谐函数特别有用，该球谐函数存在一个简单的公式，可以将任何区域球谐函数表示旋转到任意方向，从而得到球谐表示而没有任何数据丢失（请参见此处）。这意味着您可以通过假设您的径向对称“函数指向z”并旋转然后将其旋转到任何所需方向来导出ZSH系数。例如，这可以完美地与各种余弦波变化一起使用，并且还为您提供了您在问题中提到的因素。 ，因为您的函数将在旋转后“触摸”下部未定义的半球。因此，也没有方便的“ HHS的半带状”旋转公式。取而代之的是，有多种方法可以解决不同的缺点。有关更多详细信息，请参见本文和演示文稿。
顺便说一句：使用半球形的H-Basis，这一切都变得更加容易（但最初只为有限的频带定义）。
评论
您写的是“具有圆形对称性的任意核”：这是否意味着您实际上只需要与（半球）区域谐波谐波部分进行卷积？如果对称轴不同，您仍然可以通过在Zonal卷积之前和之后增加旋转来使用它。本文介绍了如何执行旋转。与区域部分（m = 0）的集成应该相对容易。但是，与球谐函数一样，它对于任意函数都不是解析可解的。余弦波等简单的东西应该可以正常工作（虽然尚未尝试过）。@Wumpf你是对的，这几乎可以归结为。对于SH，我只是将“ f的每个频带按[内核函数] h的相应m = 0项进行缩放”（引用Sloan的愚蠢SH技巧）。问题是，我可以对HSH这样做吗？