毕达哥拉斯定理与Haversine公式在不同尺度下测量球面距离时的近似误差是多少？

#1 楼

例如，在经度和纬度给定的位置上使用勾股定律就没有什么意义，例如，用正方形的公式计算圆的面积是没有意义的：尽管它产生一个数字，但没有理由认为它应该起作用。 br />
尽管在小比例尺上任何光滑的表面看起来都像一个平面，但勾股公式的精度取决于所使用的坐标。当这些坐标是球体（或椭圆体）上的经度和纬度时，我们可以期望


经线的距离将是相当准确的。
赤道沿线的距离将
所有其他距离都是错误的，与纬度和经度的差异大致成比例。

误差取决于距离计算的起点和终点。但是，由于球体和椭球体都围绕轴具有圆形对称性，因此误差仅取决于经度的差，因此要研究此误差，我们不妨将原点定为本初子午线。由于球体和椭球在南北反射下都是对称的，因此我们只需要研究南半球的起源点。对于任何这样的点，我们都可以绘制相对误差的等高线图，等于[毕达哥拉斯计算] / [真实距离]。

毕达哥拉斯公式，使用地球的平均半径，< />

Pythagorean distance =  6371000. * Sqrt[dx^2 + dy^2]] * pi / 180 meters

其中dx是经度之差，dy是纬度之差，均以度为单位。 （经度以360度的模数减少了经度值的差，以便在穿越反子午线时给出正确的dx值；不这样做会引入人为的大错误，使我们对勾股公式本身一无所知。）

下图显示了从-70到0的纬度（以10度为增量）与WGS 84椭球上正确距离相比的相对误差。水平坐标是经度的差，垂直坐标是目的地的纬度。浅色区域的误差相对较小：轮廓线位于1、1.01、1.02、1.05、1.1、1.2、1.5、2等（拐角处的纯白色区域是误差超出这些轮廓范围的地方。）红色点表示起点。



垂直的白色条带证明了期望的正确性（1）：当有一个点时，勾股距离是准确的经度上的微小差异。低纬度上的水平白带确认了期望（2）：在赤道附近，水平距离相当准确。否则，如广泛的较暗区域所证明的那样，毕达哥拉斯公式在所有其他距离上都是不好的。


我们可以对附近点对（在内部，彼此相距几百公里）。比例尺-使用适当的半径值-沿子午线是正确的，但是沿着纬度圆，它大约会偏离纬线的割线。例如，在40度纬度下，割线为1.31，这表示勾股定律将使东西方向的距离过大约31％。 （这在右上等高线图中很明显，对于一个纬度为-40度的原点，在该点处，红点的正西方区域位于1.2和1.5等高线之间。）所有其他方向的短距离将是太大，介于0％到31％之间；更长的距离可能会出现更大的误差（如轮廓图所示）。

#2 楼

我将“毕达哥拉斯距离”解释为“欧几里得距离”。然后，
答案与“圆的和弦的长度与对向的周长之间的区别是什么？”相同。令半径为R，
对角为A（弧度）。

perimeter = L = A*R
chord = C = 2*sin(A/2)*R
diff = D = L - C
     = (A-2*sin(A/2))*R
     = A^3/24 * R  (for A small)
     = L^3/(24*R^2) (eliminating A)
relative error = D/L
               = (L/R)^2/24

对于地球，用R = 6400 km。
方式，将其称为“大圆距离”（是什么）而不是“ haversine
距离”（如何计算）。 （这类似于毕达哥拉斯距离与欧几里得距离的区别
。）

#3 楼

要获得完整且严格的答案，请查看上面的wuber答案。我将以一种更直观，更基本的方式回答。

之所以对平面/毕达哥拉斯的计算不合适，是因为这些计算依赖于以下事实：在任何方向上移动一步都是一个不变的变化不管您在图表上的什么位置，其大小都将保持不变。



经度不符合此要求。经度线在极点处收敛。



这就是为什么当我们将地球展平以反映平面图的规则时会出现变形。



如果您查看该地图，似乎格陵兰岛大约是非洲的大小，而南极洲大约是欧亚大陆的大小。当然不是这样。格陵兰岛和南极洲都非常扭曲，因为它们靠近经度收敛的极点。



您可以看到格陵兰岛的大小与墨西哥差不多。 />


南极洲大约相当于南部非洲（而不是南非）的大小。

您会发现应用毕达哥拉斯的错误公式更取决于点的位置，而不是点之间的距离。重要的警告是，更长的距离会放大任何错误。这就是为什么平面解决方案虽然诱人，却是一个不佳选择的原因。失真会咬住您，它不像偏移那么简单。错误是扭曲地球以适应不适当规则的结果。