#1 楼
低通滤波和多项式回归平滑都可以看作是函数的近似值。但是，执行此操作的方法不同。这里要问的关键问题是“您可以在另一个方面做到吗？”简短的答案是“并非总是”，原因如下所述。通过过滤进行平滑处理时，关键运算是卷积，其中$ y（n）= x（n）* h（n） $，在频域中转换为$ y = F ^ {-1}（F（x）F（h））$，其中$ F $表示离散傅立叶变换（而$ F ^ {-1} $表示逆傅立叶变换）。离散傅立叶变换（例如$ F（x）$）提供了三角函数之和$ x $的近似值。当$ h $是低通滤波器时，保留了较少数量的低频分量，并且平滑了$ x $中的突变。通过使用三角函数作为基本函数，可以在函数逼近的情况下设置低通滤波，但是值得重新讨论卷积公式，以注意在滤波时，y（n）（滤波器的输出）取决于$ x （n）$以及过去样本$ x $的加权总和（此处的权重由$ h $的“形状”确定）。 （当然，IIR滤波器也有类似的考虑，当然也要加上$ y（n）$的过去值）
但是，当通过某些n次多项式平滑时，插值的输出仅取决于$ x（n）$和（不同的）基函数（也称为单项式）的混合。这些不同的基函数是什么？它是一个常数（$ a_0x ^ 0 $），一条线（$ a_1x $），一个抛物线（$ a_2x ^ 2 $）等（请参考以获得更好的说明）。但是，通常，当及时处理等距样本并且出于准确性的原因而使用时，所用的是多项式的牛顿形式。我之所以这样说，是因为通过它可以很容易地看出，在执行线性插值时，您可以构造一个滤波器内核，该滤波器内核返回可用样本的线性加权和，就像低阶插值多项式将使用“线”进行插值一样在两个样本之间。但是在较高的程度上，这两种近似方法将返回不同的结果（由于基函数的不同）。
正如我在上文中所写，没有考虑$ x（n）$的过去值。不严格。这是一个微妙的地方。因为通常在构建多项式时，不考虑给定间隔之外的值（信号的“过去”和“未来”）。但是，可以通过将导数固定在间隔的边缘来包括这些。而且，如果重复执行此操作（如不重叠的滑动窗口），则有效地将考虑x（n）的“过去样本”。 （这是样条曲线使用的技巧，实际上，存在三次立方插值的卷积表达式。但是，请注意，在讨论样条曲线时，$ x $的解释是不同的-请注意有关归一化的要点-）
有时使用过滤作为插值的原因（例如在“ Sinc插值”的情况下）是因为从物理角度来看也很有意义。时域中带限系统（例如光学系统中的（线性）放大器或透镜）的理想表示是正弦脉冲。正弦脉冲的频域表示为矩形“脉冲”。因此，基于极少的假设，我们预计缺失值或多或少地接近其邻居（当然，在限制范围内）。如果这是使用某个n阶多项式（对于更高的n）执行的，则我们以一种“固定”的方式将缺失值与其邻居相关联，这可能并不总是现实的（为什么a的声压值例如，将波前击中麦克风固定为具有$ x ^ 3 $的形状吗？它假设声源的行为可能并不总是正确的，请注意，我并不暗示从心理物理学的角度来看，这是一种插值方案，它涉及大脑的处理（例如，参见Lanczos重采样）。我严格地说，是当人们试图“猜测”客观缺失值时，插值所施加的约束。
没有通用的“最佳方法”，它在很大程度上取决于您所面临的插值问题。
我希望这会有所帮助。
PS（The两种近似方法各自产生的伪影也不同，例如，请参见吉布斯现象非和过度拟合，尽管过度拟合是问题的“另一端”。）
评论
$ \ begingroup $
+1很好的答案。一些后续操作：1）您提到在多项式拟合中没有考虑x [n]的过去值，但是，这是否不是基于您所说的关于x [n]是正弦/余弦之和的论点呢？ （无论是否考虑过去的值，这仍然成立）。 2）在这种情况下，我对某种物理意义上的“带宽受限”感到困惑。乐队的所有乐队都不都是吗？也就是说，会通过某些频率并衰减其他频率吗？无限制系统的物理示例是什么？谢谢。
$ \ endgroup $
–太空
2012年5月8日15:40
$ \ begingroup $
1）不确定我是否完全理解您的意思，但我指的是从卷积和多项式拟合获得输出之间的区别。 2）在某些情况下，信号和系统在同一框架下处理。从理论上讲，存在不受带宽限制的信号（en.wikipedia.org/wiki/…），例如（真正）白噪声（en.wikipedia.org/wiki/White_noise）。 Oppenheim和Willsky的Signals＆Systems提供了非常好的处理方法。我在这里使用术语来建立bandlimit-> sinc之间的连接
$ \ endgroup $
– A_A
2012年5月8日在16:51
$ \ begingroup $
好吧，我重写了我的问题-为了确保：1）我们使用的多项式越多，则强制点之间关系的“偏见”就越多，这可能不符合物理现实，是？ （在这种情况下，总的来说并不总是更好。）2）关于频带限制-我只是好奇为什么这么说，因为每个系统频带都不受限制，因为它只吸收某些频率而衰减其他频率吗？谢谢。
$ \ endgroup $
–太空
2012年5月9日16:13
$ \ begingroup $
很抱歉，这没有引起我的注意。对于这些特定问题：1）不必要。在给出的示例中，我指的是单项式“形状”所施加的限制。 2）信号与系统会有所帮助。据说某些事情是精确的，因为工程应用程序使用数学的子集，而在另一领域，数学子集可能对非频带受限信号有很好的用途（例如，上面链接的真正统一的随机过程（白噪声））。
$ \ endgroup $
– A_A
2012年5月9日22:07
#2 楼
好问题和启发性的答案。我想分享一些见解如下。还存在正交多项式基，例如Legendre多项式基（与单项式基相反），在拟合更高次多项式时更稳定。由于在Shannon插值公式中使用的sinc基（实际上也可以看作是卷积运算，因此也可以看作是滤波运算）是带限Hilbert空间的正交基，所以正交多项式基可以用来近似不在带限中的更大一类函数自1960年以来，化学文献中也出现了多项式过滤（而非插值）。R.Schafer撰写了一篇有关重新讨论该主题的很好的讲义。标题为什么是Savitzky-Golay过滤器，链接：http://www-inst.eecs.berkeley.edu/~ee123/fa12/docs/SGFilter.pdf
评论
+1好的问题，你击败了我。 :-)使用N = 2的AFAIK对应于我们熟悉的线性“经典”过滤，但是对此我可能是错的。sinc重建与样条插值：cnx.org/content/m11126/latest“样条插值比sinc插值更平滑。这是因为主要样条的支持比sinc函数更紧凑。”