下采样器的Z变换

#1 楼

这种推导是一个棘手的过程。以前建议的方法存在缺陷。让我先演示一下；那么我将给出正确的解决方案。
我们希望将下采样信号的$ \ mathcal {Z} $转换关联为$ Y_D（z）= \ mathcal {Z} \ {x [Mn] \} $，到原始信号$ X（z）= \ mathcal {Z} \ {x [n] \} $的$ \ mathcal {Z} $转换。
错误的方式
可以考虑将下采样信号的表达式简单地插入$ \ mathcal {Z} $-transform的表达式中：
$ Y_D（z）= \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} {x [Mn] z ^ {-n}} $
变量$ n'= Mn $的变化似乎很明显：
$ Y_D（z）= \ sum \ limits_ {n' \ in M \ mathbb {Z}} {x [n'] z ^ {-n'/ M}} $
但是，重要的是要认识到，即使新的求和索引$ n'$仍在运行从$-\ infty $到$ \ infty $，总和现在超过M个整数中的1。换句话说，
$ n'\ in M \ mathbb {Z} = \ {...，-2M，-M，0，M，2M，... \} $，
$ \ mathcal {Z} $-transform的定义要求
$ n \ in \ {...，-2，-1,0,1,2，... \} $。
由于这不再是$ \ mathcal {Z} $转换，因此我们不能这样写：
$ Y_D（z）= X（z ^ {1 / M}）$
正确的方法
让我们首先将“辅助”脉冲火车信号$ t_M [n] $定义为：
$ \ begin {align *}
t_M [n]
＆= \ sum \ limit_ {k =-\ infty} ^ {+ \ infty} {\ delta [n-kM]} \\
＆=
\ left \ {
\ begin {array} {lr }
1＆：n \ in M \ mathbb {Z} \\
0＆：n \ notin M \ mathbb {Z}
\ end {array}
\ right 。
\ end {align *}
$
此函数在$ M $个采样中有一个为$ 1 $，在其他所有采样处为零。
等效地，脉冲序列函数可以写为：
$ t_M [n] = \ frac {1} {M} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {M-1} {e ^ {j2 \ pi kn / M}} $
证明：我们需要分别考虑$ n \ in M \ mathbb {Z} $和$ n \ notin M \ mathbb {Z} $的情况：
$$ \ begin {align *}
t_M [n ]
＆= \ frac {1} {M} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {M-1} {e ^ {j2 \ pi kn / M}}} \\
＆=
\ left \ {
\ begin {array} {lr}
\ frac {1} {M} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {M-1} {1} &&：n \ in M \ mathbb {Z} \\
\ frac {1} {M } \ frac {1-e ^ {j2 \ pi n}} {1-e ^ {j2 \ pi n / M}} &&：n \ notin M \ mathbb {Z}
\ end {array}
\对。 \\
＆=
\ left \ {
\ begin {array} {lr}
\ frac {1} {M} M &&：n \ in M \ mathbb { Z} \\
\ frac {1} {M} \ frac {1-1} {1-e ^ {j2 \ pi n / M}}} &&：n \ notin M \ mathbb {Z}
\ end {array}
\ right。 \\
＆=
\ left \ {
\ begin {array} {lr}
1 &&：n \ in M \ mathbb {Z} \\
0 &&：n \ notin M \ mathbb {Z}
\ end {array}
\ right。
\ end {align *} $$
在$ n \ notin M \ mathbb {Z} $的情况下，我们使用表达式表示几何级数的有限和。
现在让我们回到寻找下采样器的$ \ mathcal {Z} $变换的原始问题：
$ Y_D（z）= \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} { x [Mn] z ^ {-n}} $
我们应用替换$ n'= Mn $，请记住，这使得求和仅在M的整数倍上运行：
$ Y_D（ z）= \ sum \ limits_ {n'\ in M \ mathbb {Z}} {x [n'] z ^ {-n'/ M}} $
我们现在可以使用上述脉冲序列函数来安全地将其重写为\ mathbb {Z} $中所有$ n \的总和：
$ Y_D（z）= \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} {t_M [n ] x [n] z ^ {-n / M}} $
对脉冲序列函数使用上述公式作为有限的指数和，我们得到：
$ \ begin {align *}
Y_D（z）
＆= \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} {（\ frac {1} {M} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {M-1} {e ^ {j2 \ pi kn / M}}）x [n] z ^ {-n / M}} \\
＆= \ frac {1} {M} \ sum \ limit_ {k = 0} ^ {M-1} {\ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} {e ^ {j2 \ pi kn / M} x [n] z ^ {-n / M}}} \\
＆= \ frac {1} {M} \ sum \ limit_ {k = 0} ^ {M-1} {\ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} {x [n]（e ^ {-j2 \ pi k / M} z ^ { 1 / M}）^ {-n}}}
\ end {align *} $
右边的总和是所有整数的总和，因此，根据$ z'= e ^ {-j2 \ pi k / M} z ^ {1 / M，这是有效的$ \ mathcal {Z} $变换} $。因此，我们可以这样写：
$
Y_D（z）= \ frac {1} {M} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {M-1} {X（e ^ {- j2 \ pi k / M} z ^ {1 / M}）}
$
这是下采样器的$ \ mathcal {Z} $变换的公式。

#2 楼

我以前没有看过这种记法。但是，这似乎是有道理的。 $ M $ -downsampler由以下公式定义：

$$
$$

$ z $转换由以下公式定义：

$$
\ begin {align}
Y_D（z）＆= \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty y_D [n] z ^ {-n} \\
＆= \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x [Mn] z ^ {-n}
\ end {align}
$$

应用变量更改，令$ n'= Mn $。由于求和范围扩展到无穷大，因此不受其变化的影响。

$$
Y_D（z）= \ sum_ {n'=-\ infty} ^ \ infty x [n'] z ^ {-n'/ M}
$$$

这看起来类似于$ x [n] $本身的$ z $转换。回想一下它定义为：

$$
X（z）= \ sum_ {n =-\ infty} ^ \ infty x [n] z ^ {-n}
$$

因此，通过检查，我们可以得出$ x [n] $和$ y_D [n] $的$ z $转换之间的以下关系：

$$
Y_D（z）= X \ left（z ^ {1 / M} \ right）
$$

因此，下采样器的$ z $转换输出与预期的输入信号的$ z $转换密切相关。在频域中，这会导致信号的频率内容扩展$ M $倍。

但是，如何从上述方程式转换为本文中引用的方程式呢？它仅以$ z $给出$ Y_D（z）$的定义，而我们得出的表达式是$ z ^ {1 / M} $的函数。因此，对于要评估$ Y_D（z）$的特定值$ z $，您首先要计算$ z ^ {1 / M} $（即，取$ z $的第M $ M $作为根） ），然后将其代入$ X（z）$。但是，\ mathbb {C} $中的所有非零$ z \ z都有$ M $个不同的$ M $根：

$$
\ left \ {r_p，\ r_p e ^ {\ frac {j2 \ pi} {M}}，\ r_p e ^ {\ frac {j2 \ pi2} {M}}，\ \ ldots \，\ r_p e ^ {\ frac {j2 \ pi（M-1 ）} {M}} \ right \}
$$

$$
= \ left \ {r_p，\ r_p W，\ r_p W ^ {2}，\ \ ldots \，\ r_p W ^ {M-1} \ right \}
$$

其中$ W_k $是您的问题中引用的DFT内核值$ e ^ {j2 \ pi k / M} $，而$ r_p $是我定义为复数值$ z的主体$ M $根$：

$$
r_p = \ sqrt [M] {| z |} e ^ {\ frac {j \ angle {z}} {M}}

也就是说，$ z $的本金$ M $的根$ r_p $是通过将$ z $转换为极坐标形式，并取$ z $的$ M $的根来获得的的大小（是一个实数），然后将$ z $的角度除以$ M $。结果值以极坐标形式表示$ r_p $。

为什么要解决所有这些麻烦？因为，如前所述，从$ Y_D（z）$的域到$ X（z ^ {1 / M}）$的域的映射不是一对一的。我现在开始挥手。对于要为其评估$ Y_D（z）$的$ z $的任何特定值，可以映射到$ X（z ^ {1 / M}）$中的$ M $对应点。因此，$ X（z ^ {1 / M}）$中的每个$ M $点都贡献了$ Y_D（z）$的相应值。然后，您得到的总和如下文所示：

$$
Y_D（z）= \ frac {1} {M} \ sum_ {k = 0} ^ { M-1} X（r_p（z）W ^ k）
$$

其中$ r_p（z）$指的是我前面显示的第$ M $个根的本金计算。实际上，您可以选择$ z $的$ M $根中的任何根作为本金。我选择此定义是因为它是最直接的。如果您要正确而严格地推导这种关系，我相信$ \ frac {1} {M} $的因子是由于$ z ^ {1 / M} $的导数而产生的。

用数学家的话来说，我相信这将被称为功能的组合。 $ Y_D（z）= f（g（z））$，其中$ f（z）= X（z）$和$ g（z）= z ^ {1 / M} $。为了展开功能组合并将$ Y_D（z）$仅写为$ z $的函数，您需要将$ Y_D（z）$的域切成一对一的块，将函数求和这些间隔，然后将结果与适当的比例因子相加。在给定原始随机变量pdf的情况下，我之前曾使用此技术来计算随机变量函数的概率分布函数（例如，在给定$ X $的pdf的情况下，得出$ \ sqrt {X} $的pdf），但是该技术的名称使我无所适从。