EKF的Taylor系列扩展

#1 楼

传播步骤之后，我们需要找到描述新估计的高斯参数。这些是均值$ \ mu $和协方差$ \ Sigma $。您具体询问了均值，所以我们开始。

请注意，传播状态的均值的定义是对传播状态的期望。考虑到泰勒级数展开式的期望，我们有（请注意，我在用上标的缩写表示法-用于先前）：

$$ x = g（x ^-，u）$$

然后通过泰勒级数展开，

$$ x \ approx g（x ^-，u）+ g ^ \ prime（x ^-，u）（xx ^-） $$

以先验收益的平均值计算近似函数$ g（）$：

$$ x \ approx g（\ mu，u）+ g ^ \ prime（\ mu，u）（x- \ mu）$$

因此，让我们使用$ \ mathbb {E} $作为期望运算符来查找输出的期望值（即我们后验估计的平均值。

$$ \ mu = \ mathbb {E} [x] $$
$$ \ mu \ approx \ mathbb {E} [g（x ^-，u）+ g ^ \ prime（x ^-，u）（x- \ mu ^- ）] $$

$$ \ mu \ approx \ mathbb {E} [g（x ^-，u）] + \ mathbb {E} [g ^ \ prime（x ^-，u ）（x- \ mu ^-）] $$

现在用$ G $代替，函数$ g $的雅可比行列也取平均值。

$ $ \ mu \ approx \ mathbb {E} [g（x ^-，u）] + \ mathbb {E} [G \ cdot（x- \ mu ^-）] $$
$$ \ mu \大约\ mathb b {E} [g（x ^-，u）] + \ mathbb {E} [G \ cdot x-G \ cdot \ mu ^-] $$
并根据期望的线性度：
$$ \ mu \ approx \ mathbb {E} [g（x ^-，u）] + G \ cdot \ mathbb {E} [x]-G \ cdot \ mathbb {E} [\ mu ^-] $$

你猜怎么着？右边这两个东西的期望值为零。 （为什么？因为我们认为它们是高斯​​的）。**

现在，我们必须计算co方差，定义为$ \ mathbb {E} \ left [（x- \ mathbb {E} [x]）（x- \ mathbb {E} [x]）^ T \ right] $。您可以通过执行相同的步骤轻松得出此结果。首先在第一个期望内扩展项，然后像以前一样替换$ g $的线性近似值。一些矩阵代数将产生EKF协方差更新。请注意，您必须包括“白噪声” Jacobian。

请参见此处以获得可能更好的推导。


** EKF告诉您的真正谎言是术语$ \ mathbb {E} [g （x ^-，u）] $与$ g（\ mu ^-，u）$相同，只要函数$ g（）$不太疯狂，它就会成立。

#2 楼

$ \ mu_ {t-1} $是最后一个时间步的状态估计值，$ x_ {t-1} $是最后一个时间步的实际状态（随机变量）。

基本上是这样的：在传统的卡尔曼滤波器中，您具有线性模型，该模型可以告诉我们状态如何演变和进行测量。在EKF中，您具有非线性模型，但要使用Kalman滤波器方程，因此您将一阶泰勒展开用作KF线性模型。这样，您仍然可以适当地传播协方差。

请注意，状态和测量预测仍使用非线性模型。因此，线性化“仅”会影响协方差传播-确实会影响所有事情，因为这将调节您对估算的确定性以及对状态估算与测量的相对信任。