雅可比行列式可以用来确定末端执行器速度/位置所需的关节角度吗？

#1 楼

是的，雅可比方程通过以下公式将关节速度与末端执行器速度相关联：

$$$
\ mathbf {v} _e = \ mathbf {J}（\ mathbf {q}） \ dot {\ mathbf {q}}
$$

其中$ \ mathbf {q} $是关节角度，$ \ dot {\ mathbf {q}} $是关节角度速度，$ \ mathbf {v} _e $是末端执行器速度。如您所见，Jacobian $ \ mathbf {J} $与配置有关。因此，插入一些关节角度和速度，即可获得末端执行器的速度。

要获得给定关节角度的末端执行器的笛卡尔位置，可以使用直接运动学功能，也称为正向运动学。有多种方法可以做到这一点。手臂是否足够简单的几何分析，例如平面2连杆臂。指数乘积是另一种方法。但是Denavit-Hartenberg方法可能是使用最广泛的方法。在这里我将不做详细介绍。但是基本上，您将为每个关节获得一个转换矩阵：$ \ mathbf {A} _i ^ {i-1}（q_i）$。这样，当您插入关节角度时，您将获得关节$ i $相对于关节$ i-1 $的姿势。可以递归的方式组合它们，以获得相对于手臂根部的末端执行器的姿势：

$$
\ mathbf {T} _n ^ 0（\ mathbf {q}）= \ mathbf {A} _1 ^ {0}（q_1）\ mathbf {A} _2 ^ {1}（q_2）... \ mathbf {A} _n ^ {n-1}（q_n）
$$

请注意，您可以将$ \ mathbf {T} _n ^ 0（\ mathbf {q}）$求微分以获得解析雅可比行列式。但是人们通常使用几何雅可比行列式，计算起来并不难。

现在要计算所需的关节速度以达到所需的末端执行器速度，您必须将雅可比行列求逆。但这仅在自由度数等于空间尺寸数的情况下有效：

$$
\ dot {\ mathbf {q}} = \ mathbf {J} ^ {- 1}（\ mathbf {q}）\ mathbf {v} _e
$$

（请注意，有些臂配置（例如奇异点）的雅可比定律是不可逆的。）如果您有更多的自由度，则约束不足。 （即不止一种解决方案）。通常，人们使用雅可比行列的右伪逆，从而局部减小关节速度的范数。

$$
\ dot {\ mathbf {q}} = \ mathbf {J} ^ {\ dagger} \ mathbf {v} _ {e}
$$
其中：
$$
\ mathbf {J} ^ {\ dagger} = \ mathbf {J} ^ T（\ mathbf {J} \ mathbf {J} ^ T）^ {- 1}
$$

请注意，J仍然依赖于q，但为了清楚起见，删除了（q）。