连续函数的采样：克罗内克（Kronecker）还是狄拉克（Dirac）的增量？

#1 楼

在我的经验中，通过将连续时间信号乘以一列狄拉克脉冲来对采样过程进行建模是最常见的解释。如果您深入研究它，您会发现对这种方法的数学精度有一些分歧*，但我不会担心。这只是该过程的便捷模型。手机的ADC内没有脉冲发生器，可以产生周期性的闪电信号来增加其模拟输入。

您已经注意到，您无法计算Kronecker delta函数的连续时间傅立叶变换，因为它的域不是连续的（仅限于整数）。相比之下，狄拉克增量函数具有简单的傅立叶变换，并且由于其筛选特性而容易表现出将信号与一系列狄拉克脉冲相乘的效果。

*：例如，如果您要精确地进行数学计算，您会说Dirac增量根本不是函数，而是分布。但是，从工程学的角度来看，这些问题实际上只是语义。

编辑：我将在下面解决这个问题。您给出了采样过程的心理模型：

$$
f_s（t）= \ sum_ {k = 1} ^ N \ int_ {t_k- \ epsilon_k} ^ {t_k + \ epsilon_k} f（t）\ delta（t-t_k）dt。
$$$

这种解释的问题是典型的理想采样模型没有内置该积分。相反，它是输入信号与狄拉克脉冲串的纯乘积。如果您更仔细地看一下为$ f_s（t）$显示的等式，您会发现右侧实际上没有自变量； $ t $是积分的虚拟变量。对于上面的任何$ \ epsilon_k> 0 $，根据Dirac脉冲的筛选属性，您将得到：

$$
f_s（t）= \ sum_ {k = 1} ^ N f（t_k），
$$

这是不正确的。取而代之的是，采样信号的模型为：

$$
f_s（t）= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} f（t）\ delta（t-kT）
$$

与除了对沿时间轴的无限长的脉冲序列进行一般化，并假设在时刻$ t_k = kT $均匀采样数据外，其他内容与上述相同。所得信号的傅立叶变换为：

$$
\ begin {align}
F_s（\ omega）＆= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty } f_s（t）e ^ {-j \ omega t} dt \\
＆= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} f （t）\ delta（t-kT）e ^ {-j \ omega t} dt \\
＆= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} f（t）\ delta（t-kT）e ^ {-j \ omega t} dt \\
＆= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} f（kT ）e ^ {-j \ omega kT}
\ end {align}
$$

如果定义信号$ f（t）$的离散采样版本等于$ x [n] = f（nT）$，那么您将剩下：

$$
$$

，这正是离散时间傅立叶变换的定义。