是否可以在不枚举点的情况下确定给定$ a，b，q $的$ E（\ mathbb F_q）$的顺序？
#1 楼
RenéSchoof于1985年发布了一种相当深的多项式时间算法来计算椭圆曲线的$ \ mathbb F_q $有理点（随后Noam Elkies和A. O. L. Atkin进行了改进）。它基于两个核心思想：点的数量与函数方程紧密相关
$$ \ varphi ^ 2-t \ varphi + q = 0 \ qquad \ in \ operatorname {End}（E）$$
，即Frobenius同态
$$ \ varphi \ colon \; E \ to E，\; \ begin {cases} \ mathcal O＆\ mapsto \ mathcal O \\（x，y）＆\ mapsto（x ^ q，y ^ q）\ end {cases} $$
满足$ E $的内同形环。如果选择$ t \ in \ mathbb Z $使得该等式成立，则称其为Frobenius迹线，并且可以证明文本。 $$
（$ \ varphi $与点计数有关的原因是，它会将带有坐标的点恰好保留在$ \ mathbb F_q $不变式中。）
对于奇数$ l $，存在除法多项式$ \ psi_l \ in \ mathbb F_q [x] $，该多项式恰好在有限的$ l $扭转点$ E $的$ x $坐标上消失。因此，可以通过检查函数方程$ \ varphi ^ 2-t \ varphi + q = 0 $持有哪个$ k \ in \ {0，\ dots，l-1 \} $来计算$ t \ bmod l $对$ \ psi_l $取模。模$ \ psi_l $的模运算大大提高了复杂度（与扩展项而不减少任何项相比）。计算出足够大的$ t \ bmod l $（根据Hasse定理，$ \ prod_ {l \ in L} l> 4 \ sqrt q $就足够了）设置$ L $的奇质数，中国余数定理可以用来重建Frobenius $ t $的踪迹，从而得出$ E $上的$ \ mathbb F_q $理性点$ \＃E（\ mathbb F_q）$的数量。 ，在大多数计算机代数系统中都有该算法的实现（改进后的变体）。使用鼠尾草，椭圆曲线的$ \ mathbb F_ {p ^ n} $个理性点的数量
$$ y ^ 2 + a_1xy + a_3y = x ^ 3 + a_2x ^ 2 + a_4x + a_6 $$在$ \ mathbb F_p $上定义的
可以计算为：
EllipticCurve(GF(p), [a1, a2, a3, a4, a6]).cardinality(extension_degree = n)
#2 楼
如yyyyyyy所述，用于计算$ \ mathbb F_p $上的椭圆曲线上的点数，我们可以使用Elkies方法。但是对于扩展字段，使用该定理非常简单：定理：设$ E $为在$ F_q $上定义的椭圆曲线，并令$ \＃E（F_q）= q + 1−t $。
则$ \＃E（F_ {q ^ n}）= q ^ n + 1 − V_n $对于所有$ n≥2 $，其中$ \ {V_n \} $是序列通过$ V_0 = 2，V_1 = t $和$ V_n = V_1V_ {n-1} -qV_ {n-2} $递归地定义$ n≥2 $。
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检查'schoof的算法':)（暂时不回答很长时间）