这是一个简单的带通滤波器（BPF），其谐振频率为$ \ Omega_0 $，谐振为$ Q $：
$$ H（s）= \ frac {\ frac {1} {Q} \ frac {s} {\ Omega_0}} {\ left（\ frac {s} {\ Omega_0} \ right）^ 2 + \ frac {1} {Q} \ frac {s} {\ Omega_0} + 1} $$
在谐振频率
$$ | H（j \ Omega）| \ le H（j \ Omega_0）= 1 $$
，并定义了上下边界，以便
$$ | H（j \ Omega_U）| ^ 2 = \ left | H \ left（j \ Omega_0 2 ^ {BW / 2} \ right）\ right | ^ 2 = \ tfrac12 $$
$$ | H（j \ Omega_L）| ^ 2 = \ left | H \ left（j \ Omega_0 2 ^ {-BW / 2} \ right）\ right | ^ 2 = \ tfrac12 $$
我们称这些为“半功率带隙” ”。因为我们是音频，所以我们以八度为单位定义带宽，而在模拟世界中，以八度为单位的带宽$ BW $与$ Q $的关系为：
$$ \ frac {1} { Q} = \ frac {2 ^ {BW}-1} {\ sqrt {2 ^ {BW}}} = = 2 \ sinh \ left（\ tfrac {\ ln（2）} {2} BW \ right）$$
我们正在使用双线性变换（具有预先扭曲的谐振频率），其映射为：
$$ \ begin {align}
\ frac {s} { \ Omega_0}和\ leftarrow \ frac {1} {\ tan（\ omega_0 / 2）} \，\ frac {1-z ^ {-1}} {1 + z ^ {-1}} \\
\\
\ frac {j \ Omega} {\ Omega_0}和\ leftarrow \ frac {j \ tan（\ omega / 2）} {\ tan（\ omega_0 / 2）} \\
\ end {align} $$
让$ z = e ^ {j \ omega} $和$ s = j \ Omega $。
模拟滤波器为$ \ Omega_0 $，并在实现的数字滤波器中对谐振频率进行频率扭曲补偿，当$ \ omega = \ omega_0 $（用户定义的谐振频率）时，则为$ \ Omega = \ Omega_0 $。
因此，如果模拟角频率为
$$ \ frac {\ Omega} {\ Omega_0} = \ frac {\ tan（\ omega / 2）} {\ tan（\ omega_0 / 2）} $$
，然后将其映射为数字角频率为
$$ \ omega = 2 \ arctan \ left（\ frac {\ Omega} {\ Omega_0} \，\ tan（\ omega_0 / 2）\ right）$$
现在上下左右模拟世界中的带边是
$$ \ Omega_U = \ Omega_0 2 ^ {BW / 2} $$
$$ \ Omega_L = \ Omega_0 2 ^ {-BW / 2} $ $
和数字频域中的是
$$ \ begin {align}
\ omega_U＆= 2 \ arctan \ left（\ frac {\ Omega_U} {\ Omega_0} \，\ tan（\ omega_0 / 2）\ right）\\
＆= 2 \ arctan \ left（2 ^ {BW / 2} \，\ tan（\ omega_0 / 2）\ right ）\\
\ end {align} $$
$$ \ begin {align}
\ omega_L＆= 2 \ arctan \ left（\ frac {\ Omega_L} { \ Omega_0} \，\ tan（\ omega_0 / 2）\ right）\\
＆= 2 \ arctan \ left（2 ^ {-BW / 2} \，\ tan（\ omega_0 / 2）\ right ）\\
\ end {align} $$
然后，带宽的对数频率（数字滤波器中的实际带宽）的实际差异为：
$$ \ begin {align} bw＆= \ log_2（\ omega_U）-\ log_2（\ omega_L）\\
＆= \ log_2 \ Bigg（2 \ arctan \ left（2 ^ {BW / 2} \，\ tan（\ omega_0 / 2）\ right）\ Bigg）-
\ log_2 \ Bigg（ 2 \ arctan \ left（2 ^ {-BW / 2} \，\ tan（\ omega_0 / 2）\ right）\ Bigg）\
\ end {align} $$
或
$$ \ ln（2）\，bw = \ ln \ left（\ arctan \ left（e ^ {\ ln（2）BW / 2} \，\ tan（\ omega_0 / 2）\ right）\ right）-\ ln \ left（\ arctan \ left（e ^ {-\ ln（2）BW / 2} \，\ tan（\ omega_0 / 2）\ right）\ right）$$
这具有以下功能形式：$$ f（x）= \ ln \ left（\ arctan \ left（\ alpha \，e ^ {x} \ right ）\ right）-\ ln \ left（\ arctan \ left（\ alpha \，e ^ {-x} \ right）\ right）$$
其中$ f（x）\ triangleq \ ln（2）\，bw $，$ x \ triangleq \ frac {\ ln（2）} {2} BW $和$ \ alpha \ triangleq \ tan（\ omega_0 / 2）$
我想做的是反转$ f（x）$（但是我知道我不能用一个很好的封闭形式来做到这一点）。我已经做了一阶逼近，我想将其提高到三阶逼近。即使它应该是直截了当的，这也已经成为一种交配的雌犬。
现在这与拉格朗日反演公式有关，我只想把它比我多一个。
从上面我们知道，$ f（x）$是一个奇对称。函数：
$$ f（-x）= -f（x）$$
这意味着$ f（0）= 0 $和所有的偶数项Maclaurin系列将为零：
$$ y = f（x）= a_1 x + a_3 x ^ 3 + ... $$
奇对称，经过零，可以表示为Maclaurin级数
$$ x = g（y）= b_1 y + b_3 y ^ 3 + ... $$
，如果我们知道$ a_1 $和$ a_3 $属于$ f（x）$，那么我们很好地知道$ b_1 $和$ b_3 $必须是： $ b_1 = \ frac {1} {a_1} \ quad \ quad \ quad \ quad b_3 =-\ frac {a_3} {a_1 ^ 4} $$
现在，我可以计算出$ f（x）$的导数并将其评估为零，我得到
$$ \\ a_1 = \ frac {2 \ alpha} {（1+ \ alpha ^ 2）\ arctan（\ alpha）} = \ frac {\ sin（\ omega_0）} {\ omega_0 / 2} $$
$$ \\ b_1 = \ frac {（1+ \ alpha ^ 2）\ arctan（\ alpha）} {2 \ al pha} = \ frac {\ omega_0 / 2} {\ sin（\ omega_0）} \\ $$
但是我有点时间拿到$ a_3 $，因此得到$ b_3 $。有人可以这样做吗？我什至愿意为$ f（x）$的三阶导数的纯表达式表示为$ x = 0 $。
#1 楼
为了补充我对这个问题的理解：这是一个基于奇数函数$ f（x）$
\ begin {align *}
f（x ）＆= \ ln \ left（\ arctan \ left（\ alpha e ^ x \ right）\ right）-\ ln \ left（\ arctan \ left（\ alpha e ^ {-x} \ right）\ right）\ \
＆= f_1x + f_3x ^ 3 + O \ left（x ^ 5 \ right）\ tag {1}
\ end {align *}
分为一系列直到三阶。可以在mathSE上找到更多详细信息。
首先，我们将重点放在左侧术语$$ \ ln \ left（\ arctan \ left（\ alpha e ^ x \ right ）\ right）$$$ f（x）$中的$$，并以
$ \ arctan $的级数展开：
我们获得
\ begin {align *}
\ arctan（\ alpha e ^ x）＆= \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {（-1）^ n} {2n + 1} \ alpha ^ { 2n + 1} e ^ {（（2n + 1）x} \\
＆= \ cdots \\
＆= \ sum_ {j = 0} ^ \ infty \ frac {1} {j！ } \ sum_ {n = 0} ^ \ infty（-1）^ n（2n + 1）^ {j-1} \ alpha ^ {2n + 1} x ^ j \ tag {2}
\ end {align *}
我们现在从（2）得出系数$ x ^ 3 $。使用系数运算符$ [x ^ k] $表示序列中$ x ^ k $的系数，我们得到
[x ^ 0] \ arctan \ left（ \ alpha e ^ x \ right）＆= \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {（-1）^ n} {2n + 1} \ alpha ^ {2n + 1} = \ arctan \ alpha \\
[x ^ 1] \ arctan \ left（\ alpha e ^ x \ right）＆= \ sum_ {n = 0} ^ \ infty（-1）^ n \ alpha ^ {2n + 1} = \ frac {\ alpha} {1+ \ alpha ^ 2} \\
[x ^ 2] \ arctan \ left（\ alpha e ^ x \ right）＆= \ frac {1} {2} \ sum_ { n = 0} ^ \ infty（-1）^ n（2n + 1）\ alpha ^ {2n + 1} \\
＆= \ cdots
= \ frac {\ alpha} {2} \ cdot \ frac {d} {d \ alpha} \ left（\ frac {\ alpha} {1+ \ alpha ^ 2} \ right）
= \ frac {\ alpha（1- \ alpha ^ 2） } {2 \ left（1+ \ alpha ^ 2 \ right）^ 2} \\
[x ^ 3] \ arctan \ left（\ alpha e ^ x \ right）＆= \ frac {1} { 6} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty（-1）^ n（2n + 1）^ 2 \ alpha ^ {2n + 1} \\
＆= \ frac {\ alpha ^ 2} { 6} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty（-1）^ n（2n + 1）（2n）\ alpha ^ {2n-1}
+ \ frac {\ alpha} {6} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty（-1）^ n（2n + 1）\ alpha ^ {2n} \\
＆= \ cdots
= \ left（\ frac {\ alpha ^ 2 } {6} \ cdot \ frac {d ^ 2} {d \ alpha ^ 2} + \ frac {\ alpha} {6} \ cdot \ frac {d} {d \ alpha} \ right）\ left（\ frac {\ alpha} {1+ \ alpha ^ 2} \ right）\\
＆= \ cdots
= \ frac {\ alpha ^ 5-6 \ alpha ^ 3 + \ alpha} {6（1+ \ alpha ^ 2）^ 3}
\ end {align *}
我们得出结论
\ begin {align *}
\ arctan \ left（\ alpha e ^ x \ right）＆= \ arctan（\ alpha）+ \ frac {\ alpha} {1+ \ alpha ^ 2} x + \ frac {\ alpha（1- \ alpha ^ 2）} {2 \ left（1+ \ alpha ^ 2 \ right）^ 2} x ^ 2 \\
＆\ qquad + \ frac {\ alpha ^ 5-6 \ alpha ^ 3 + \ alpha} {6（1+ \ alpha ^ 2）^ 3} x ^ 3 + O（x ^ 4）\ tag { 3}
\ end {align *}
$$ $$
对数级数的幂：
为了导出对数级数的系数
\ begin {align *}
\ ln \ left（\ arctan（\ alpha e ^ x）\ right）＆= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {（-1）^ {n + 1}} {n}（\ arctan（\ alpha e ^ x）-1）^ n
\ end {align *}
我们将表达式（3）写为
\ begin {align *}
\ arctan \ left（\ alpha e ^ x \ right）＆= a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + O（x ^ 4）
\ end {align *}
，我们考虑
\ begin {align *}
\ ln \ left（\ arctan（\ alpha e ^ x）\ right）＆= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {（-1）^ {n + 1}} {n}（（a_0-1）+ a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 ）^ n + O（x ^ 4）\ tag {4}
\ end {align *}
我们现在设置$ A（x）=（a_0-1）+ a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 $并将$ x ^ 0 $的系数提取到$ x ^ 3 $ from
\开始{align *}
\ left（A（x）\ right）^ n＆=（（a_0-1）+ a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3）^ n \ \
＆= \ sum_ {j = 0} ^ n \ binom {n} {j}（a_0-1）^ j \ left（a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 \ right）^ {nj} \\
＆= \ sum_ {j = 0} ^ n \ binom {n} {j}（a_0-1）^ j \ sum_ {k = 0} ^ {nj} \ binom {nj} {k } a_1 ^ kx ^ k \ left（a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 \ right）^ {njk} \ tag {5} \\
\ end {align *}
我们获得来自（5）
\ begin {align *}
[x ^ 0]＆\ left（A（x）\ right）^ n = \ cdots =（a_0-1）^ n \\
[x ^ 1]＆\ left（A（x）\ right）^ n = \ cdots = a_1n（a_0-1）^ {n-1} \\
[x ^ 2]＆\ left（A（x）\ right）^ n = \ dots = a_2n（a_0-1）^ {n-1} + \ frac {1} {2} n（n-1）a_1 ^ 2（a_0-1） ^ {n-2} \\
[x ^ 3]＆\ left（A（x）\ right）^ n = \ cdots = na_3（a_0-1）^ {n-1} + a_1a_2n（n -1）（a_0-1）^ {n-2} \\
＆\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad + \ frac {1} {6} n（n-1）（n-2）a_1 ^ 3（a_0-1）^ {n-3} \ tag {6}
\ end {align *}
对数的级数展开：
我们使用（6）来计算$ \ ln（\ arctan（\ alpha e ^ x））$的系数$ a_j，0 \ leq j \ leq 3 $
\ begin {align *}
[x ^ 0]＆\ ln（\ arctan（\ alpha e ^ x））= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {（-1）^ {n + 1}} {n} [x ^ 0] A（x）\\
＆= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {（-1）^ {n + 1}} {n} [x ^ 0]（a_0-1）^ n \\
＆= \ ln（a_0-1）\\
[x ^ 1]＆\ ln（\ arctan（\ alpha e ^ x））= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {（-1）^ {n + 1}} {n} [x ^ 1] A（x）\\
＆= \ sum_ {n = 1 } ^ \ infty \ frac {（-1）^ {n + 1}} {n} [x ^ 0] a_1n（a_0-1）^ {n-1} \\
＆= a_1 \ sum_ { n = 0} ^ \ infty（-1）^ n（a_0-1）^ n \\
＆= \ frac {a_1} {a_0} \\
[x ^ 2]＆\ ln （\ arctan（\ alpha e ^ x））= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {（-1）^ {n + 1}} {n} [x ^ 2] A（x）\\
＆= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {（-1）^ {n + 1}} {n} \ left（a_2n（a_0-1）^ {n-1} + \\ frac {1} {2} n（n-1）a_1 ^ 2（a_0-1）^ {n-2} \ right）\\
＆= \ cdots \\
＆= \ left （a_2 + \ frac {a_1 ^ 2} {2} \ frac {d} {da_0} \ right）\ left（\ frac {1} {a_0} \ right）\\
＆= \ frac {a_2} {a_0}-\ frac {a_1 ^ 2} {2a_0 ^ 2} \\
[x ^ 3]＆\ ln（\ arctan（\ alpha e ^ x））= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {（-1）^ {n + 1}} {n} [x ^ 3] A（x）\\
＆= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {（ -1）^ {n + 1}} {n} \ left（na_3（a_0-1）^ {n-1} + a_1a_2n（n-1）（a_0-1）^ {n-2} \ right。\\
＆\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ left。+ \ frac {1} {6} n（n-1）（n-2）a_1 ^ 3（a_0-1）^ {n-3} \ right）\\
＆= \ cdots \\
＆= \ left（a_3 + a_1a_2 \ frac {d} {da_0} + \ frac {a_1 ^ 3} {6} \ frac {d ^ 2} {da_0 ^ 2} \ right）\ left（\ frac {1} {a_0} \ right）\\
＆= \ frac {a_3} {a_0}-\ frac {a_1a_2} {a_0 ^ 2} + \ frac {a_1 ^ 3 } {3a_0 ^ 3} \ tag {7}
\ end {align *}
$$ $$
系列$ f（x）$的扩展：
现在是时候收获了。最终，我们得到（3）和（7）的尊重，即$ f（x）$是奇数
\ begin {align *}
\ color {blue} {f（x）} ＆\ color {blue} {= \ ln \ left（\ arctan \ left（\ alpha e ^ x \ right）\ right）-\ ln \ left（\ arctan \ left（\ alpha e ^ {-x} \ right ）\ right）} \\
＆= \ cdots \\
＆= \ frac {2a_1} {a_0} x + 2 \ left（\ frac {a_3} {a_0}-\ frac {a_1a_2 } {a_0 ^ 2} + \ frac {a_1 ^ 3} {3a_0 ^ 3} \ right）x ^ 3 + O（x ^ 5）\\
＆\ color {blue} {= \ frac {2 \ alpha} {（1+ \ alpha ^ 2）\ arctan（\ alpha）} x
+ \ frac {\ alpha} {3（1+ \ alpha ^ 2）^ 3 \ arctan（\ alpha）} \ Bigg（\ alpha ^ 4-6 \ alpha ^ 2 + 1} \\
＆\ qquad \ color {blue} {\ left .- \ frac {3 \ alpha（1- \ alpha ^ 2）} {\ arctan（\ alpha）} + \ frac {2 \ alpha ^ 2} {\ left（\ arctan （\ alpha）\ right）^ 2} \ right）x ^ 3 + O（x ^ 5）}
\ end {align *}
评论
$ \ begingroup $
马库斯（Markus），虽然您对$ O（x ^ 4）$是正确的，但由于我们知道$ f（x）$具有奇对称性且偶数项为零，所以我想您可以说这种扩展对$ O（x ^ 5）$是好的。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17年2月20日在18:35
$ \ begingroup $
@ robertbristow-johnson：是的，当然。相应地更新。 :-)
$ \ endgroup $
– Markus Scheuer
17年2月20日在21:05
$ \ begingroup $
努力！试图阅读这个冗长的详细答案，我看不到如何在对数之外的方程式（4）中隔离$ O（x ^ 4）$？无限级数已经包含$ x $的所有幂，那么孤立的$ O（x ^ 4）$项在那里意味着什么？
$ \ endgroup $
– Fat32
17年2月20日在22:26
$ \ begingroup $
当然，我对您要在这里说的意思有一种感觉，但是正确的表示法可能是这样的：$$ \ ln \ left（\ arctan（\ alpha e ^ x）\ right）〜=〜 \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {（-1）^ {n + 1}} {n}（（a_0-1）+ a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + O_1（x ^ 4） ）^ n〜=〜T_0 + T_1 x + T_2 x ^ 2 + T_3 x ^ 3 + O_2（x ^ 4）$$，其中我使用$ T $来避开所有其他符号。请注意，我已经使用$ O_1 $和$ O_2 $来区分这两组系数。因此，现在您的方程式（4）和上面的这一行不完全相同。我认为这不会影响您的任何进一步进步。
$ \ endgroup $
– Fat32
17年2月21日在16:18
$ \ begingroup $
@ Fat32：您可能想看看big-O表示法
$ \ endgroup $
– Markus Scheuer
17年2月21日在17:00
#2 楼
（将评论转换为答案。）使用Wolfram Alpha，在$ x = 0 $处的$ f'''（x）$的计算结果为：
$ \ begin {align}
\\
f'''（0）=＆-\ frac {6 \ alpha ^ 2} {（\ alpha ^ 2 + 1）^ 2（\ arctan（\ alpha））^ 2} \ + \ \ frac {2 \ alpha} {（\ alpha ^ 2 +1）\ arctan（\ alpha）} \\
＆\ quad \ quad + \ frac {16 \ alpha ^ 5} {（\ alpha ^ 2 + 1）^ 3 \ arctan（\ alpha）} \ + \ \ frac {12 \ alpha ^ 4} {（\ alpha ^ 2 + 1）^ 3（\ arctan（\ alpha））^ 2} \\
＆\ quad \ quad \ quad \ quad-\ frac {16 \ alpha ^ 3} {（\ alpha ^ 2 + 1）^ 2 \ arctan（\ alpha）} \ + \ \ frac {4 \ alpha ^ 3} {（\ alpha ^ 2 + 1）^ 3（\ arctan（\ alpha））^ 3} \\
\\
＆=
\ frac {2（\ alpha ^ 4-6 \ alpha ^ 2 + 1）\ alpha} {（\ alpha ^ 2 + 1）^ 3 \ arctan（\ alpha）} +
\ frac {6（\ alpha ^ 2-1-1）\ alpha ^ 2} {（\ alpha ^ 2 + 1）^ 3（\ arctan（\ alpha））^ 2} + \ frac {4 \ alpha ^ 3} {（\ alpha ^ 2 + 1）^ 3（\ arctan （\ alpha））^ 3}
\\
\ end {align} $$
http://www.wolframalpha.com/input/?i=evaluate+ d3％2Fdx3 ++（+ ln +（arctan +（a + exp（+ x）））+-+ ln +（arctan（a + exp（-+ x）））+）+ at + x％3D0
我们也可以仔细检查是否与wi匹配马库斯的答案在这里。
他的$ x ^ 3 $系数现为
\ frac {\ alpha} {3（1+ \ alpha ^ 2）^ 3 \ arctan（\ alpha）} \ left（\ alpha ^ 4-6 \ alpha ^ 2 + 1- \ frac {3 \ alpha（1- \ alpha ^ 2）} {\ arctan（\ alpha）} + \ frac {2 \ alpha ^ 2} {\ left（\ arctan（\ alpha）\ right）^ 2} \ right）。
$$
如果乘以乘以6并重新排列一些因素，我们得到：
$$
\ frac {2 \ alpha（\ alpha ^ 4-6 \ alpha ^ 2 + 1）} {（1+ \ alpha ^ 2）^ 3 \ arctan（\ alpha）}-
\ frac {6 \ alpha ^ 2（1- \ alpha ^ 2）} {（1+ \ alpha ^ 2）^ 3（\ arctan（ \ alpha））^ 2} + \ frac {4 \ alpha ^ 3} {（1+ \ alpha ^ 2）^ 3（\ arctan（\ alpha））^ 3}
$$
相匹配！
评论
$ \ begingroup $
Atul，看来您的简化答案与Markus在数学SE上的答案不一致。应该是$$ f'''（x）\ bigg | __ {x \ to0} \ = \ 3！ \，a_3 = 6 a_3 $$我不认为您的f'''（0）中的每一项都与Markus一致。可能是马库斯错了。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17-2-20在7:54
$ \ begingroup $
@ robertbristow-johnson我认为他们匹配。
$ \ endgroup $
– Atul Ingle
17-2-20在14:41
$ \ begingroup $
他们现在做。我认为马库斯一定有个错误。他用老式的方式回答了他。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17-2-20在17:58
$ \ begingroup $
Atul，您将得到赏金。但是我探索了有关赏金的规则，他们不让我拆分赏金规则，但他们让我两次授予奖励，一次却一次。因此，由于Markus在dsp.se上的代表比您少，并且由于他在没有计算机帮助的情况下就无法回答问题，因此我将首先授予他的赏金。然后我将在这个问题上再悬赏，然后将其奖励给您。它说我需要等待23个小时。不知道谁会得到我的“复选标记”。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17-2-22在7:56
$ \ begingroup $
@ robertbristow-johnson很抱歉收到您的回复。对于$ \ omega_0 ^ 2，\ omega_0 ^ 4，\ omega_0 ^ 6，\ omega_0 ^ 8 $，系数分别为$ 2/3，-2 / 15，-16 / 945，-2 / 945 $。 wolframalpha.com/input/…
$ \ endgroup $
– Atul Ingle
17年2月27日，1：12
#3 楼
问题中提出的问题似乎没有封闭形式的解决方案。如问题中提到的和其他答案中所示，结果可以发展为一系列，可以通过任何符号数学工具（例如Mathematica）来完成。但是，这些术语变得非常复杂和丑陋，尚不清楚当我们包含不超过三阶的术语时，近似值有多好。由于我们无法获得精确的公式，因此最好通过数字方式计算解，这样与近似法不同，它将给出（几乎）精确的结果。我的答案是关于。我建议通过改变问题表述的方式给出确切解决方案的不同途径。经过一会儿的思考，原来是中心频率$ \ omega_0 $的规格和带宽的比率（以等值，以八度为单位）的规格，这导致了数学上的棘手。有两种方法可以解决难题：将离散时间滤波器的带宽指定为频率差$ \ Delta \ omega = \ omega_2- \ omega_1 $，其中$ \ omega_1 $和$ \ omega_2 $分别是离散滤波器的上下边缘。
规定比率$ \ omega_2 / \ omega_1 $，而不是$ \ omega_0 $规定其中一个两个边缘频率$ \ omega_1 $或$ \ omega_2 $。
在两种情况下，都可以使用简单的解析解决方案。由于需要将离散时间滤波器的带宽规定为比率（或等效地以八度为单位），因此我将描述第二种方法。
定义边沿频率$ \ Omega_1连续时间过滤器的$和$ \ Omega_2 $，由
带有$ \ Omega_2> \ Omega_1 $，其中$ H（s）$是二阶带通滤波器的传递函数：
$ $ H（s）= \ frac {\ Delta \ Omega s} {s ^ 2 + \ Delta \ Omega s + \ Omega_0 ^ 2} \ tag {2} $$
与$ \ Delta \ Omega = \ Omega_2- \ Omega_1 $和$ \ Omega_0 ^ 2 = \ Omega_1 \ Omega_2 $。请注意，对于$ \ Omega \ neq \ Omega_0 $，$ H（j \ Omega_0）= 1 $和$ | H（j \ Omega）| <1 $。
我们使用双线性变换来将离散时间滤波器的边缘频率$ \ omega_1 $和$ \ omega_2 $映射到连续时间滤波器的边缘频率$ \ Omega_1 $和$ \ Omega_2 $。不失一般性，我们可以选择$ \ Omega_1 = 1 $。为了我们的目的，双线性变换采用以下形式：
$$ s = \ frac {1} {\ tan \ left（\ frac {\ omega_1} {2} \ right）} \ frac {z -1} {z + 1} \ tag {3} $$
对应于连续时间和离散时间频率之间的以下关系：
$$ \ Omega = \ frac {\ tan \ left（\ frac {\ omega} {2} \ right）} {\ tan \ left（\ frac {\ omega_1} {2} \ right）} \ tag {4} $$
通过设置$ \ omega = \ omega_2 $，我们可以从$（4）$获得$ \ Omega_2 $。有了$ \ Omega_1 = 1 $和从$（4）$计算出的$ \ Omega_2 $，我们从$（2）$获得了模拟原型滤波器的传递函数。应用双线性变换$（3）$，我们得到了离散时间带通滤波器的传递函数：
$$ H_d（z）= g \ cdot \ frac {z ^ 2-1 } {z ^ 2 + az + b} \ tag {5} $$
与
$$ \ begin {align} g＆= \ frac {\ Delta \ Omega c} {1+ \ Delta \ Omega c + \ Omega_0 ^ 2c ^ 2} \\ a＆= \ frac {2（\ Omega_0 ^ 2c ^ 2-1）} {1+ \ Delta \ Omega c + \ Omega_0 ^ 2c ^ 2 } \\ b＆= \ frac {1- \ Delta \ Omega c + \ Omega_0 ^ 2c ^ 2} {1+ \ Delta \ Omega c + \ Omega_0 ^ 2c ^ 2} \\ c＆= \ tan \ left（\ frac {\ omega_1} {2} \ right）\ end {align} \ tag {6} $$
摘要：
可以在以下位置指定离散时间滤波器的带宽：倍频程（或通常以一个比率），可以精确计算模拟原型滤波器的参数，从而达到指定的带宽。我们指定频带边缘$ \ omega_1 $和$ \ omega_2 $而不是中心频率$ \ omega_0 $。由$ | H_d（e ^ {j \ omega_0}）| = 1 $定义的中心频率是设计的结果。
必要的步骤如下：
指定所需的边带边缘$ \ omega_2 / \ omega_1 $比率，以及其中一个边带边缘（这当然等效于简单地指定$ \ omega_1 $和$ \ omega_2 $）。
选择$ \ Omega_1 = 1 $，然后从$（4）$确定$ \ Omega_2 $。计算模拟原型过滤器$（2）$的$ \ Delta \ Omega = \ Omega_2- \ Omega_1 $和$ \ Omega_0 ^ 2 = \ Omega_1 \ Omega_2 $。
求常数$（6）$离散时间传递函数$（5）$。
请注意，在更常见的方法中，指定了$ \ omega_0 $和$ \ Delta \ omega = \ omega_2- \ omega_1 $带边缘$ \ omega_1 $和$ \ omega_2 $是设计过程的结果。在提出的解决方案中，可以指定带边缘，并且$ \ omega_0 $是设计过程的结果。后一种方法的优点是可以以八度为单位指定带宽，并且解决方案是精确的，即，所得的滤波器具有以八度为单位的指定带宽。
示例：
让我们指定一个八度的带宽，然后选择较低的频带边缘$ \ omega_1 = 0.2 \ pi $。这给出了较高的频带边缘$ \ omega_2 = 2 \ omega_1 = 0.4 \ pi $。模拟原型滤波器的带边缘为$ \ Omega_1 = 1 $，来自$（4）$（其中$ \ omega = \ omega_2 $）为\\ Omega_2 = 2.2361 $。这给出$ \ Delta \ Omega = \ Omega_2- \ Omega_1 = 1.2361 $和$ \ Omega_0 ^ 2 = \ Omega_1 \ Omega_2 = 2.2361 $。使用$（6）$可以获得离散时间传递函数$（5）$
$$ H_d（z）= 0.24524 \ cdot \ frac {z ^ 2-1} {z ^ 2-0.93294z + 0.50953} $$
正好实现1个八度的带宽和指定的带边，如下图所示：
原始问题的数值解决方案：
从注释中我了解到，能够准确指定$ | H_d（e ^ {j \ omega_0}）| = 1 $被满足。如前所述，不可能获得精确的封闭形式的解决方案，而系列开发会产生非常笨拙的表达式。
为了清楚起见，我想总结一下可能的选项以及它们的优点和缺点：
将所需带宽指定为频率差$ \ Delta \ omega = \ omega_2- \ omega_1 $，并指定$ \ omega_0 $;在这种情况下，可以使用简单的封闭形式的解决方案。
指定频带边缘$ \ omega_1 $和$ \ omega_2 $（或等效地，以八度为单位的带宽，以及频带边缘之一）；如上所述，这也导致了一个简单的封闭形式的解决方案，但中心频率$ \ omega_0 $是设计的结果，无法指定。
以八度为单位指定所需带宽，并指定中心频率$ \ omega_0 $（按问题要求）；没有封闭形式的解决方案是可能的，目前也没有任何简单的近似方法。因此，我认为需要一种简单有效的方法来获得数值解。这是下面的解释。
指定$ \ omega_0 $时，我们使用双线性变换的一种形式，其规格化常数不同于$（3）$和$（ 4）$：
$$ \ Omega = \ frac {\ tan \ left（\ frac {\ omega} {2} \ right）} {\ tan \ left（\ frac {\ omega_0} {2} \ right）} \ tag {7} $$
我们定义$ \ Omega_0 = 1 $。将离散时间滤波器的带边缘指定比率表示为
$$ r = \ frac {\ omega_2} {\ omega_1} \ tag {8} $$
使用$ c = \ tan（\ omega_0 / 2）$，我们从$（7）$和$（8）$
$$ r = \ frac {\ arctan（c \ Omega_2） } {\ arctan（c \ Omega_1）} \ tag {9} $$
通过$ \ Omega_1 \ Omega_2 = \ Omega_0 ^ 2 = 1 $，可以将$（9）$重写为格式如下：
$$ f（\ Omega_1）= r \ arctan（c \ Omega_1）-\ arctan \ left（\ frac {c} {\ Omega_1} \ right）= 0 \ tag { 10} $$
对于给定的$ r $值，可以通过几次牛顿迭代来求解$ \ Omega_1 $的等式。为此，我们需要$ f（\ Omega_1）$的导数：
$$ f'（\ Omega_1）= c \ left（\ frac {r} {1 + c ^ 2 \ Omega_1 ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2 + \ Omega_1 ^ 2} \ right）\ tag {11} $$
对于$ \ Omega_0 = 1 $，我们知道$ \ Omega_1 $必须在$（0,1）$区间内。即使有可能提出更聪明的初始解决方案，但事实证明，最初的猜测$ \ Omega_1 ^ {（0）} = 0.1 $对于大多数规范都适用，并且仅需经过$ 4 $的迭代，即可得出非常准确的解决方案牛顿方法：
$$ \ Omega_1 ^ {{n + 1）} = \ Omega_1 ^ {{n）}-\ frac {f（\ Omega_1 ^ {{n）}）} {f '（（\ Omega_1 ^ {（n）}）} \ tag {12} $$
通过$（12）$的几次迭代获得$ \ Omega_1 $，我们可以确定$ \ Omega_2 = 1 / \ Omega_1 $和$ \ Delta \ Omega = \ Omega_2- \ Omega_1 $，然后我们使用$（5）$和$（6）$来计算离散时间滤波器的系数。请注意，常量$ c $现在由$ c = \ tan（\ omega_0 / 2）$给出。
示例1：
我们指定$ \ omega_0 = 0.6 \ pi $和$ 0.5 $八度的带宽。这对应于比率$ r = \ omega_2 / \ omega_1 = 2 ^ {0.5} = \ sqrt {2} = 1.4142 $。使用$ \ Omega_1 = 0.1 $的初始猜测，牛顿方法的$ 4 $迭代产生了一个解决方案$ \ Omega_1 = 0.71 $，根据该解，可以如上所述计算离散时间的系数。下图显示了结果：
滤波器是使用以下Matlab / Octave脚本计算的：
% specifications
bw = 0.5; % desired bandwidth in octaves
w0 = .6*pi; % resonant frequency
r = 2^(bw); % ratio of band edges
W1 = .1; % initial guess (works for most specs)
Nit = 4; % # Newton iterations
c = tan(w0/2);
% Newton
for i = 1:Nit,
f = r*atan(c*W1) - atan(c/W1);
fp = c * ( r/(1+c^2*W1^2) + 1/(c^2+W1^2) );
W1 = W1 - f/fp
end
W1 = abs(W1);
if (W1 >= 1), error('Failed to converge. Reduce value of initial guess.'); end
W2 = 1/W1;
dW = W2 - W1;
% discrete-time filter
scale = 1 + dW*c + W1*W2*c^2;
b = ( dW*c/scale) * [1,0,-1];
a = [1, 2*(W1*W2*c^2-1)/scale, (1-dW*c+W1*W2*c^2)/scale ];
示例2：我添加了另一个示例，以表明该方法还可以处理大多数近似将给出无意义结果的规范。当所需带宽和谐振频率都很大时，通常就是这种情况。让我们设计一个$ \ omega_0 = 0.95 \ pi $和$ bw = 4 $八度音阶的滤波器。牛顿方法的四次迭代具有初始猜测$ \ Omega_1 ^ {（0）} = 0.1 $的最终值是$ \ Omega_1 = 0.00775 $，即，模拟原型的带宽为\\ log_2（\ Omega_2 / \ Omega_1）= \ log_2（1 / \ Omega_1 ^ 2）\大约14 $八度。相应的离散时间滤波器具有以下系数，其频率响应如下图所示：
b = 0.90986*[1,0,-1]; a = [1.00000 0.17806 -0.81972];
所得的一半功率带边缘为$ \ omega_1 = 0.062476 \ pi $和$ \ omega_2 = 0.999612 \ pi $，它们的确确实相差$ 4 $个八度（即，因数为$ 16 $）。
评论
$ \ begingroup $
有两个初步评论（我还没有读完，Matt）：首先，我对对数频率比线性频率更感兴趣。对于模拟BPF（或谐振频率远低于Nyquist的数字BPF），谐振频率具有完美的对称性。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17年2月20日在18:08
$ \ begingroup $
第二个评论是这样，虽然我感谢您显然坚持使用$ s = j \ Omega $和$ z = e ^ {j \ omega} $的表示法，但我希望您会坚持使用该表示法模拟和数字谐振频率分别为$ \ Omega_0 $和$ \ omega_0 $，模拟上限带和下限带分别为$ \ Omega_U $和$ \ Omega_L $，数字带限同样为：$ \ omega_U $和$ \ omega_L $。我们知道，以对数频率，一半的带宽在$ \ Omega_0 $以上，而另一半在以下。但是，由于翘曲，对于数字BPF滤波器并不是完全正确。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17年2月20日在18:14
$ \ begingroup $
当我阅读更多内容时，对我来说很重要的一点是，谐振频率必须通过双线性变换准确地映射。所以我了解这种方法，Matt，但我想坚持使用$ \ omega_0 $的精确映射，然后调整$ BW $直到指定了$ bw $。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17年2月20日在18:33
$ \ begingroup $
@ robertbristow-johnson：好的，很公平，您想要$ \ omega_0 $的确切规格。如果您指定$ \ Delta \ omega $作为线性差异（我不希望这样做），那是可能的。使用指定的$ \ omega_0 $和以八度为单位的带宽，不可能有一个整洁的解决方案。
$ \ endgroup $
– Matt L.
17年2月20日在19:34
$ \ begingroup $
@ robertbristow-johnson：我为答案添加了一个非常简单的数值解决方案（4次牛顿迭代）。
$ \ endgroup $
– Matt L.
17年2月21日在13:24
#4 楼
好吧，我答应提供赏金，我将信守诺言。但我不得不承认，对于$ f（x）$的三阶导数，我可能会感到满意。我真正想要的是$ g（y）$的两个系数。所以我没有意识到有Wolfram语言可以替代mathematica或Derive，但我没有意识到可以很容易地计算三阶导数并简化表达式。
，这个数学SE的Markus家伙发布了这个答案（我认为这将是我认为需要的垃圾量） 。
$$ \ begin {align *}
y = f（x）＆= \ ln \ left（\ arctan \ left（\ alpha e ^ x \ right）\ right） -\ ln \ left（\ arctan \ left（\ alpha e ^ {-x} \ right）\ right）\\
\\
＆\大约a_1 x \ + \ a_3 x ^ 3 \ \
\\
＆= \ frac {2 \ alpha} {（1+ \ alpha ^ 2）\ arctan（\ alpha）} x
+ \ frac {\ alpha} {3 （1+ \ alpha ^ 2）^ 3 \ arctan（\ alpha）} \ Bigg（\ alpha ^ 4-6 \ alpha ^ 2 + 1 \\
＆\ qquad \ left .- \ frac {3 \ alpha（1- \ alpha ^ 2）} {\ arctan（\ alpha）} + \ frac {2 \ alpha ^ 2} {\ left（\ arctan（\ alpha）\ right）^ 2} \ right）x ^ 3 \\
\\
\ end {align *} $$
，所以我将逆的三阶近似值放在一起：
$$ \ begin {align *}
x = g（y）＆\ approx b_1 y \ + \ b_3 y ^ 3 \\
\\
＆= \ frac {1} { a_1} y \-\ \ frac {a_3} {a_1 ^ 4} y ^ 3 \\
\\
＆= \ frac {（1+ \ alpha ^ 2）\ arctan（\ alpha） } {2 \ alpha} y
-\ frac {（1+ \ alpha ^ 2）（\ arctan（\ alpha））^ 3} {48 \ alpha ^ 3} \ Bigg（\ alpha ^ 4-6 \ alpha ^ 2 + 1 \\
＆\ qquad \ left .- \ frac {3 \ alpha（1- \ alpha ^ 2）} {\ arctan（\ alpha）} + \ frac {2 \ alpha ^ 2} {\ left（\ arctan（\ alpha）\ right）^ 2} \ right）y ^ 3 \\
\\
＆= \ frac {（1+ \ alpha ^ 2）\ arctan（\ alpha）} {2 \ alpha} y
-\ frac {（1+ \ alpha ^ 2）（\ arctan（\ alpha））^ 3} {48 \ alpha} \ Bigg（\ alpha ^ 2-6 + \ alpha ^ {-2} \\
＆\ qquad \ left。-\ frac {3（1- \ alpha ^ 2）} {\ alpha \ arctan（\ alpha）} + \ frac {2} {\ left（\ arctan（\ alpha）\ right）^ 2} \ right）y ^ 3 \\
\\
＆= y \ left（\ arctan（\ alpha）\ frac {\ alpha + \ alpha ^ {-1}} {2} \ right）\ Bigg（1 \ + \\
＆\ left（（\ arctan（\ alpha））^ 2 \ left（1- \ frac {\ alpha ^ 2 + \ alpha ^ {-2}} {6} \ right）-\ arctan（\ alpha）\ frac {\ alpha- \ alpha ^ {-1}} {2}-\ frac {1} {3} \ right）\ frac {y ^ 2} {4} \ Bigg）\\
\\
\ end {align *} $$
我有点希望别人能做到这一点。回想$ y = f（x）\ triangleq \ ln（2）\，bw $，$ g（y）= x \ triangleq \ frac {\ ln（2）} {2} BW $和$ \ alpha \ triangleq \ tan（\ omega_0 / 2）$
$$ \ begin {align *}
x = g（y）＆\ approx y \ left（\ arctan（\ alpha）\ frac { \ alpha + \ alpha ^ {-1}} {2} \ right）\ Bigg（1 \ + \\
＆\ left（（\ arctan（\ alpha））^ 2 \ left（1- \ frac {\ alpha ^ 2 + \ alpha ^ {-2}} {6} \ right）-\ arctan（\ alpha）\ frac {\ alpha- \ alpha ^ {-1}} {2}-\ frac {1} {3} \ right）\ frac {y ^ 2} {4} \ Bigg）\\
\\
\ frac {\ ln（2）} {2} BW＆\ approx（\ ln （2）bw）\ left（\ arctan（\ alpha）\ frac {\ alpha + \ alpha ^ {-1}} {2} \ right）\ Bigg（1 \ + \\
＆\ left（ （\ arctan（\ alpha））^ 2 \ left（1- \ frac {\ alpha ^ 2 + \ alpha ^ {-2}} {6} \ right）-\ arctan（\ alpha）\ frac {\ alpha- \ alpha ^ {-1}} {2}-\ frac {1} {3} \ right）\ frac {（\ ln（2）bw）^ 2} {4} \ Bigg）\\
\ \
\ end {align *} $$
我有三种方便的触发身份：
$$ \ frac12 \ left（\ alpha + \ alpha ^ { -1} \ right）= \ frac12 \ left（\ tan（\ omega_0 / 2）+ \ frac {1} {\ tan（\ omega_0 / 2）} \ right）= \ frac {1} {\ sin（\ omega_0）} \\ $$
$$ \ frac12 \ left（\ a lpha-\ alpha ^ {-1} \ right）= \ frac12 \ left（\ tan（\ omega_0 / 2）-\ frac {1} {\ tan（\ omega_0 / 2）} \ right）=-\ frac { 1} {\ tan（\ omega_0）} \\ $$
$$ \ frac12 \ left（\ alpha ^ 2 + \ alpha ^ {-2} \ right）= \ frac12 \ left（ \ tan ^ 2（\ omega_0 / 2）+ \ frac {1} {\ tan ^ 2（\ omega_0 / 2）} \ right）= \ frac {1} {\ sin ^ 2（\ omega_0）} + \ frac {1} {\ tan ^ 2（\ omega_0）} \\ = \ frac {2} {\ sin ^ 2（\ omega_0）}-1 $$
“最终”我们得到：
$$ BW \ approx bw \，\ frac {\ omega_0} {\ sin（\ omega_0）} \ left（1 \ + \ \ frac {（\ ln（2））^ 2} { 24} \ left（2（\ omega_0 ^ 2-1-1）-\ left（\ frac {\ omega_0} {\ sin（\ omega_0）} \ right）^ 2 + 3 \ frac {\ omega_0} {\ tan（\ omega_0）} \ right）（bw）^ 2 \ right）$$
还不错。可以放在一行上。如果有人发现错误或进一步简化的好方法，请谅解。
使用上面注释中的幂级数近似值，
$$ BW \ approx bw \ ，\ frac {\ omega_0} {\ sin（\ omega_0）} \ left（1 \ + \（\ ln（2））^ 2 \ left（\ tfrac {1} {36} \ omega_0 ^ 2-\ tfrac { 1} {180} \ omega_0 ^ 4-\ tfrac {2} {2835} \ omega_0 ^ 6 \ right）（bw）^ 2 \ right）$$
评论
$ \ begingroup $
另外，我不确定Atul对$ f'''（0）$的回答与Markus对$ a_3 $的回答是否一致。我想知道是否有人可以解决这个问题，从而获得赏金。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17年2月20日在6:54
$ \ begingroup $
我还发现了Wolfram的云笔记本，就像您的Web浏览器中的Mathematica。转到sandbox.open.wolframcloud.com/app并输入6 * SeriesCoefficient [Series [Log [ArcTan [a E ^ x]]-Log [ArcTan [a / E ^ x]]，{x，0,5} ]，3]
$ \ endgroup $
– Atul Ingle
17年2月20日在15:07
$ \ begingroup $
@AtulIngle，我将Markus的更正合并到反函数中。您介意检查$ g（y）$的结果吗？
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17年2月20日在18:28
$ \ begingroup $
如果有人将我的替代值重新检查回$ g（y）$，尤其是乘以$ y ^ 2 $的因子，我将不胜感激。很快我将把$ \ alpha $返回到$ \ tan（\ omega_0 / 2）$，这将导致其他的简化和形式。但是我会稍等一下，以防有人告诉我我的上述简化是错误的。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17年2月20日在19:57
$ \ begingroup $
@ robert bistow-johnson我使用Mathematica检查了g（y）的最终表达式，它看起来正确。
$ \ endgroup $
– Atul Ingle
17年2月20日在23:27
#5 楼
所以这是一些定量结果。我在x轴上绘制了数字滤波器的指定带宽$ bw $，在y轴上绘制了结果数字带宽。有五个从绿色到红色的曲线，代表由奈奎斯特归一化的谐振频率$ \ omega_0 $：$ \ frac {\ omega_0} {\ pi} = $ [0.0002 0.2441 0.4880 0.7320 0.9759]
，因此谐振频率从几乎DC到接近Nyquist。
带宽根本没有补偿（或预弯曲）：
这是菜谱一直以来所做的简单的一阶补偿：
这是我们刚刚在这里解决的三阶补偿：
我们想要的是所有直线都直接位于主对角线上。
我在三阶案例中犯了一个错误，并在此修订版中对其进行了更正。它看起来确实像$ g（y）$的三阶逼近要比小$ bw $的一阶逼近好一些。
所以我对第三阶的系数不了解订单项（我想保留一阶订单项不变），从而降低其效果。这是将三阶项乘以50％：
将其减少到33％：
/>
，这会将三阶项减少到25％：
因为反函数的对象是撤消指定的函数，整个过程的重点是使复合函数的曲线尽可能靠近主对角线。对于共振频率$ \ omega_0 $和3个八度音程带宽$ bw $，奈奎斯特（Nyquist）的情况还算不错。但是在用户每次旋转旋钮或滑动滑块时执行的“系数烹饪”代码中使其真正物有所值并没有多大好处。
评论
$ \ begingroup $
在第二和第三图中带宽如何变为负数？
$ \ endgroup $
– Matt L.
17年2月21日在19:53
$ \ begingroup $
不能，这就是为什么我至今对真正的$ x = g（y）$的三阶近似值不满意，这是$$ f（x）= \ ln \的反函数left（\ frac {\ arctan（\ alpha e ^ x）} {\ arctan（\ alpha e ^ {-x}）} \ right）$$我不认为三阶逼近是对第一阶逼近的改进二阶近似已经存在了几十年。所以绘制的是$$ f（\ hat {g}（y））$$，其中$ \ hat {g}（y）$是逼真的逆$ g（y）$的近似值（g（y））$$，因为$ f（x）$是双极性的（即使负带宽是无意义的）$ f（\ hat {g}（y））$可以变为负。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17年2月21日在23:37
$ \ begingroup $
哦，@ MattL。即使带宽从未真正变为负值，$ f（x）$穿过原点的事实也不会令您惊讶。带宽映射函数是奇对称的，因此第一和第二幅图完全不会令我惊讶。但是第三个情节令人失望。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17年2月21日在23:40
$ \ begingroup $
我只是想知道为什么您绘制了负带宽曲线。但是无论如何，如果我没记错的话，那么您使用的级数就是$ bw = 0 $的泰勒级数展开，对吗？那么，如果只使用两个项，为什么还要期望它在较大的带宽下能很好地逼近真实行为呢？
$ \ endgroup $
– Matt L.
17-2-22在6:52
$ \ begingroup $
我只是想确保函数是奇对称的，并且很好地通过了原点。是的，这全都与泰勒（或更具体地说，麦克劳林）系列有关。 @MattL。，您会注意到，我认为一个术语对于并非非常接近于奈奎斯特的所有共振频率都非常有效。在保持线性项不变的情况下，我对三阶项做了一些处理（请稍等，我将显示结果），并且效果很好。但是我认为我不应该在菜谱中更改它，而比一阶命令好得多。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
17-2-22在7:27
评论
请澄清一下：您的目标是将$$ f（x）= \ ln \ left（\ arctan \ left（\ alpha \，e ^ {x} \ right）\ right）-\ ln \ left（\ arctan \ left（\ alpha \，e ^ {-x} \ right）\ right）$$，即对于给定的$ f（x）$，您要查找$ x $吗？特别是，您想通过多项式展开来进行运算，并且您正在寻找第三个系数（因为第二个为零，所以要求函数的奇数）。对吧？因此，您想知道给定$ bw $的情况下的$ BW $，即想知道需要选择模拟滤波器的带宽以获得所需数字滤波器的带宽，对吧？
是，是，是。
@ robertbristow-johnson我没有仔细阅读问题，但我确实注意到您对$ x = 0 $的$ f'''（x）$感兴趣。可以使用Mathematica或Wolfram Alpha进行计算吗？我得到一个非常干净的结果：$ \ frac {4（8- \ pi ^ 2）\ alpha ^ 3} {\ pi ^ 3} $。 wolframalpha.com/input/…如果删除“在x = 0处求值”部分，Wolfram会尽其所能吐出雌性犬科动物。
在我的$ f（x）$中输入错字。 “干净”的结果实际上是：$-（6 a ^ 2）/（（a ^ 2 + 1）^ 2 atan（a）^ 2）+（2 a）/（（（a ^ 2 + 1）atan（ a））+（16 a ^ 5）/（（（a ^ 2 + 1）^ 3 atan（a））+（12 a ^ 4）/（（（a ^ 2 + 1）^ 3 atan（a）^ 2 ）-（16 a ^ 3）/（（（a ^ 2 + 1）^ 2 atan（a））+（4 a ^ 3）/（（（a ^ 2 + 1）^ 3 atan（-1）（a） ^ 3）$wolframalpha.com/input/…