$$ U（\ omega）= \ pi \ delta（\ omega）+ \ frac {1} {1 -e ^ {-j \ omega}}，\ qquad-\ pi \ le \ omega <\ pi \ tag {1} $$
但是，我还没有看到DSP教科书Proakis [1]通过设置$ z =来推导$（1）$右侧的右半部分。在$ u [n] $的$ \ mathcal {Z} $变换中的e ^ {j \ omega} $，并说它是有效的，除了$ \ omega = 2 \ pi k $（这当然是正确的）。然后他说，在$ \ mathcal {Z} $变换的极点，我们必须添加一个面积为$ \ pi $的增量冲量，但对我而言，这似乎比其他任何东西都更适合。
在此上下文中提到了奥本海姆（Oppenheim）和舍弗（Schafer）[2]
尽管显示起来并不完全简单，但是可以通过以下傅立叶变换来表示该序列：
，后跟一个等于$（1）$的公式。不幸的是，他们并没有麻烦地向我们展示“并非完全简单”的证明。
我实际上并不知道，但是在寻找$（ 1）$是BA的数字信号处理和滤波器设计简介神社在页138上有$（1）$的“派生”，但不幸的是，这是错误的。我问了一个“ DSP难题”问题，让人们展示该证明有什么问题。]
所以我的问题是：
任何人都可以提供以下证明/推论吗？ $（1）$是合理的甚至严谨的，但对数学偏爱的工程师来说是可用的吗？只是从书中复制并不重要。我认为将它放在此网站上还是不错的。
请注意，即使在math.SE上也几乎找不到任何相关的问题：这个问题没有答案，一个问题有两个答案，其中一个是错误的（与Shenoi的说法相同），另一个是使用“累积属性” ，我会很满意，但是接下来需要证明该属性，这会让您重新开始（因为两个证明基本上都证明了同一件事）。
作为最后的说明，我做了提出类似证明的内容（嗯，我是一名工程师），几天后我也将其发布为答案，但我很乐意收集其他简单明了的已发布或未发布的证明，并且
PS：我毫不怀疑$（1）$的有效性，我只想看看一个或几个相对简单的证明。
[1] Proakis，JG和D.G. Manolakis，《数字信号处理：原理，算法和应用》，第3版，第4.2.8节
[2] Oppenheim，A.V。和R.W. Schafer，《离散时间信号处理》，第二版，第1页。 54.
受马库斯·穆勒（MarcusMüller）的评论启发，我想证明等式给出的$ U（\ omega）$。 $（1）$满足要求
$$ u [n] = u ^ 2 [n] \ rightarrow U（\ omega）= \ frac {1} {2 \ pi}（U \星号U）（\ omega）$$
如果$ U（\ omega）$是$ u [n] $的DTFT，则
$$ V（\ omega）= \ frac {1} {1-e ^ {-j \ omega}} $$
必须是
$$ v [n] =的DTFT \ frac12 \ text {sign} [n] $$
（我们在其中定义$ \ text {sign} [0] = 1 $），因为
$$ V （\ omega）= U（\ omega）-\ pi \ delta（\ omega）\ Longleftrightarrow u [n]-\ frac12 = \ frac12 \ text {sign} [n] $$
所以我们有
$$ \ frac {1} {2 \ pi}（V \ star V）（\ omega）\ Longleftrightarrow \ left（\ frac12 \ text {sign} [n] \ right） ^ 2 = \ frac14 $$
随之而来的
$$ \ frac {1} {2 \ pi}（V \ star V）（\ omega） = \ text {DTFT} \ left \ {\ frac14 \ right \} = \ frac {\ pi} {2} \ delta（\ omega）$$
这样我们得到
$$ \ begin {align} \ frac {1} {2 \ pi}（U \ star U）（\ omega）＆= \ frac {1} {2 \ pi} \ left [（\ pi \ delta（\ omega ）+ V（\ omega））\ star（\ pi \ delta（\ omega）+ V（\ omega））\ right] \\＆== frac {1} {2 \ pi} \ left [\ pi ^ 2 \ delta（\ omega）+2 \ pi V（\ omega）+（V \ star V）（\ omega）\ right] \\＆== frac {\ pi} {2} \ delta（\ omega）+ V （\ omega）+ \ frac {\ pi} {2} \ delta（\ omega）\\＆= U（\ omega）\ qquad \ text {qed} \ end {align} $$
#1 楼
雪铁龙道格（Cedron Dawg）在这个答案中提出了一个有趣的起点。它从以下步骤开始：$$ \ begin {align}
U（\ omega）＆= \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {+ \ infty} e ^ { -j \ omega n} \\
＆= \ lim_ {N \ to \ infty} \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} e ^ {-j \ omega n} \\
＆= \ lim_ {N \ to \ infty} \ left [\ frac {1-e ^ {-j \ omega N}} {1-e ^ {-j \ omega}} \ right] \\
＆= \ frac {1} {1-e ^ {-j \ omega}}--\ lim_ {N \ to \ infty} \ left [\ frac {e ^ {-j \ omega N}} {1 -e ^ {-j \ omega}} \ right]
\ end {align} $$
限制范围内的项可以扩展如下：
$$ \ begin {aligned}
\ frac {e ^ {-j \ omega N}} {1-e ^ {-j \ omega}}
= {}
＆\ frac {1} {\ sin ^ 2（\ omega）+（1- \ cos（\ omega））^ 2} \ cdot \\
＆\ left [-\ cos（\ omega）\ cos（N \ omega）+ \ cos（N \ omega）-\ sin（\ omega）\ sin（N \ omega）+ \\
j（-\ sin（\ omega）\ cos（N \ omega ）+ \ cos（\ omega）\ sin（\ omega）-\ sin（N \ omega））\ right]
\ end {aligned}
$$
方括号外的公因子可以表示为：
$$ \ frac {1} {\ sin ^ 2（\ omega）+（1- \ cos（\ omega））^ 2 } = \ frac {1} {4 \ sin ^ 2（\ omega / 2）} $$
方括号内的实部也等于：
$$- \ cos（\ omega）\ cos（N \ omega）+ \ cos（N \ omega）-\ sin（\ omega）\ sin（N \ omega）= 2 \ sin（\ omega / 2）\ sin [\ omega （-N + 1/2）] $$
另一方面，虚部可以重写为：
$$-\ sin（\ omega）\ cos（N \ omega）+ \ cos（\ omega）\ sin（\ omega）-\ sin（N \ omega）=-2 \ sin（\ omega / 2）\ cos [\ omega（-N + 1/2） ）] $$
改写原始术语，我们得到的是：
$$ \ begin {align}
\ frac {e ^ {-j \ omega N }} {1-e ^ {-j \ omega}}
== frac {2 \ sin \ left（\ frac \ omega 2 \ right）} {4 \ sin ^ 2 \ left（\ frac \ omega 2 \ right）}
\ left（\ sin [\ omega（-N + 1/2）]-j \ cos [\ omega（-N + 1/2）] \ right）\\
＆=-\ frac {\ sin [\ omega（M + 1/2）]} {2 \ sin \ left（\ frac \ omega 2 \ right）}-j \ frac {\ cos [\ omega（M +1/2）]} {2 \ sin \ left（\ frac \ omega 2 \ right）}
\ end {align}
$$
在这里我使用$ M = N-1 $，并且限制也不会受到$ M \到\ infty $的影响。
根据该网站的第7个定义：
$$ \ lim_ {M \ to \ infty}-\ frac {1} {2 \ sin（\ omega / 2）} \ sin [\ omega（M + 1/2）] =-\ pi \ delta（\ omega）$$
到目前为止，我们已经做到了：
$$ \ lim_ {M \ to \ infty} \ frac {e ^ {-j \ omega（M + 1）}} {1-e ^ {-j \ omega}} =-\ pi \ delta（\ omega）
-j \ lim_ {M \ to \ infty} \ frac {\ cos [\ omega（ M + 1/2）]} {2 \ sin（\ omega / 2）}
$$
如果我们可以证明等式右边的第二项是$ 0 $从某种意义上讲，我们就完成了。我在math.SE上问过，实际上，功能序列趋向于零分布。因此，我们有：
$$ \ begin {align}
U（\ omega）＆= \ frac {1} {1-e ^ {-j \ omega}}- \ lim_ {N \ to \ infty} \ left [\ frac {e ^ {-j \ omega N}} {1-e ^ {-j \ omega}} \ right] \\
＆= \ frac {1} {1-e ^ {-j \ omega}} + \ pi \ delta（\ omega）
+ j \ lim_ {M \ to \ infty} \ frac {\ cos [\ omega（M + 1/2）]}} {2 \ sin（\ omega / 2）} \\
＆= \ frac {1} {1-e ^ {-j \ omega}} + \ pi \ delta（\ omega ）
\ end {align} $$
评论
$ \ begingroup $
这非常好！我检查了一下，一切似乎都是正确的，因此虚部在某种意义上必须趋于零。我会考虑一下。
$ \ endgroup $
– Matt L.
18年1月19日在10:37
$ \ begingroup $
@MattL。让我知道您是否能够取得进展！
$ \ endgroup $
– Tendero
18年1月19日在17:11
$ \ begingroup $
@MattL。证明终于完成了！
$ \ endgroup $
– Tendero
18年1月23日在2:43
$ \ begingroup $
干得好！我已经发现，由于黎曼-勒贝格引理，余弦项将趋于零，但是我的问题是$ \ omega = 0 $。因为第一个公式基于几何和，所以仅对$ \ omega \ neq 0 $有效。毕竟这一切都可以解决，但这仍然是一个小缺陷。我有另一个推论，它没有将术语$ 1 /（1-e ^ {-j \ omega}）$分开，在这种情况下，$ \ omega = 0 $的处理要谨慎一些，但仍然是“工程师证明”。当我有更多时间时，我可能会发布它。
$ \ endgroup $
– Matt L.
18年1月23日在8:11
#2 楼
我将提供两个相对简单的证明，它们不需要任何分布理论知识。有关使用分布理论的结果通过极限过程计算DTFT的证明，请参见Tendero的回答。在这里我仅提及（而不是详细介绍）第一个证明，因为我已经将其发布为对此问题的解答，其目的是为了证明某个已发布的证明有误。
另一种证明如下。让我们首先写下单位步序$ u [n] $的偶数部分：
$$ u_e [n] = \ frac12 \ left（u [n] + u [-n] \ right）= \ frac12 + \ frac12 \ delta [n] \ tag {1} $$
$（1）$的DTFT是
$$ \ text {DTFT } \ {u_e [n] \} = \ pi \ delta（\ omega）+ \ frac12 \ tag {2} $$
等于$ u [n]的DTFT的实部$：
$$ U_R（\ omega）= \ text {Re} \ {U（\ omega）\} = \ pi \ delta（\ omega）+ \ frac12 \ tag {3} $ $
因为$ u [n] $是实值序列，所以我们完成了，因为$ U（\ omega）$的实部和虚部通过Hilbert变换关联，因此，$ U_R（\ omega）$唯一确定$ U（\ omega）$。但是，在大多数DSP文本中，这些希尔伯特变换关系是从公式$ h [n] = h [n] u [n] $（对于任何因果序列$ h [n] $有效）得出的，遵循$ H（\ omega）= \ frac {1} {2 \ pi}（H \ star U）（\ omega）$。因此，为了显示DTFT的实部和虚部之间的希尔伯特变换关系，我们需要$ u [n] $的DTFT，我们实际上要在这里导出。因此，证明变为循环。这就是为什么我们将选择另一种方式来导出$ U（\ omega）$的虚部的原因。
用于导出$ U_I（\ omega）= \ text {Im} \ {U（\ omega）\} $，我们将$ u [n] $的奇数部分写成如下：
$$ u_o [n] = \ frac12 \ left（u [n] -u [-n] \ right）= u [n-1]-\ frac12 + \ frac12 \ delta [n] \ tag {4} $$
取$（4）$的DTFT给出
$$ \ begin {align} jU_I（\ omega）＆= e ^ {-j \ omega} U（\ omega）-\ pi \ delta（\ omega）+ \ frac12 \\ && = e ^ {-j \ omega }（U_R（\ omega）+ jU_I（\ omega））-\ pi \ delta（\ omega）+ \ frac12 \\＆= e ^ {-j \ omega} \ left（\ pi \ delta（\ omega）+ \ frac12 \ right）+ e ^ {-j \ omega} jU_I（\ omega）-\ pi \ delta（\ omega）+ \ frac12 \\＆= \ frac12（1 + e ^ {-j \ omega}）+ e ^ {-j \ omega} jU_I（\ omega）\ tag {5} \ end {align} $$
我曾用过$（3）$。等式$（5）$可以写为
$$ jU_I（\ omega）（1-e ^ {-j \ omega}）= \ frac12（1 + e ^ {-j \ omega} ）\ tag {6} $$
$（6）$的正确结论是（有关更多详细信息，请参见此答案）
$$ jU_I（\ omega）= \ frac12 \ frac {1 + e ^ {-j \ omega}} {1-e ^ {-j \ omega}} + c \ delta（\ omega）\ tag {7} $$
但由于我们知道$ U_I（\ omega）$必须是$ \ omega $的奇数函数（因为$ u [n] $是实值），所以我们可以立即得出结论，$ c = 0 $。因此，从$（3）$和$（7）$中我们最终得到
$$ \ begin {align} U（\ omega）＆= U_R（\ omega）+ jU_I（\ omega） \\＆= \ pi \ delta（\ omega）+ \ frac12 + \ frac12 \ frac {1 + e ^ {-j \ omega}} {1-e ^ {-j \ omega}} \\＆= \ pi \ delta（\ omega）+ \ frac12 \ left（1+ \ frac {1 + e ^ {-j \ omega}} {1-e ^ {-j \ omega}} \ right）\\＆== pi \ delta （\ omega）+ \ frac {1} {1-e ^ {-j \ omega}} \ tag {8} \ end {align} $$
评论
哇啊。不要破坏我的世界。对这个公式的怀疑引起了混乱的境界。例如，$ u ^ 2（t）= u（t）$，因此（具有FT定义常量，取决于常量$ c $），$$ \ begin {align} \ text {DTFT}（u ^ 2 ）（\ omega）＆= c \，\ cdot \，U（\ omega）* U（\ omega）\\＆= c \ pi U（\ omega）+ \ frac {c} {1 + e ^ {- j \ omega}} * U（\ omega）\\＆= c \ pi \ left（\ pi \ delta（\ omega）+ \ frac {1} {1-e ^ {-j \ omega}} \ right） + \ frac {c \ pi} {1 + e ^ {-j \ omega}} + c \ frac {1} {1 + e ^ {-j \ omega}} * \ frac {1} {1 + e ^ {-j \ omega}} \\＆= c \ pi ^ 2 \ delta（\ omega）+ \ frac {2c \ pi} {1 + e ^ {-j \ omega}} + c \ frac {1} { 1 + e ^ {-j \ omega}} * \ frac {1} {1 + e ^ {-j \ omega}} \\＆\ overset {\ text {magic？}} = U \ end {align} $ $@MarcusMüller：毫无疑问，这是正确的。问题是，如何以一个头脑简单的工程师可以理解的方式来显示它。对于给定的DTFT，$ u ^ 2 [n] = u [n] $可以计算出来，没问题。
我认为自己的想法很简单，这意味着当我看不到它们的派生方式时，事情变得“安全”时我会担心。
我看到您追求的不是要证明方程是否正确，而是要从DTFT的第一原理和定义中严格直接得出$ U（w）$。然后，每当有人想对脉冲进行严格的证明时，我想最好参考广义函数理论中的被引书籍：Opp＆Schafer中引用了Lighthill-1958，讨论了脉冲函数及其在傅立叶变换中的使用。所有其他证明将不可避免地依赖于这些参考文献中的证明，并且不足以替代严格的证明。
@ Fat32：这是一个有效的观点。但是，我认为，如果我们接受诸如$ \ text {DTFT} \ {1 \} = 2 \ pi \ delta（\ omega）$之类的基本转换，并且我们愿意定义，则可以合理地进行声音推导。积分通过柯西主值计算。