推导余弦和正弦的傅立叶变换

在这个答案中，吉姆·克莱写道：


...使用$ \ mathcal F \ {\ cos（x）\} = \ frac {\ delta（w-1 ）+ \ delta（w + 1）} {2} $ ...


上面的表达式与$ \ mathcal F \ {{\ cos（2 \ pi f_0t）\} = \ frac {1} {2}（\ delta（f-f_0）+ \ delta（f + f_0））} $。

我一直在尝试获取后面的表达式通过使用傅立叶变换的标准定义$ X（f）= \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} x（t）e ^ {-j2 \ pi ft} dt $，但我最终得到的是这种表达方式显然不同于答案。

这是我的工作：

\开始{align}
x（t）＆= \ cos（2 \ pi f_0t）\\
\ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x（t）\ right \}＆= \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ cos（2 \ pi f_0t）e ^ {-j2 \ pi ft} dt \ \
＆= \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left（e ^ {-j2 \ pi f_0t} + e ^ {j2 \ pi f_0t} \ right）e ^ { -j2 \ pi ft} dt \\
＆= \ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ left（e ^ {-j2 \ pi f_0t} e ^ {-j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {-j2 \ pi ft} \ right）dt \\
＆= \ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ left（e ^ {-j2 \ pi t \ left（f_0 + f \ right）} + e ^ {-j2 \ pi t \ left（f-f_0 \ right）} \ right ）dt \\
＆= \ frac {1} {2} \ left（\ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ left（e ^ {-j2 \ pi t（f_0 + f） } \ right）dt + \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ left（e ^ {-j2 \ pi t（f-f_0）} \ right）\ right）dt
\ end {align }

这就是我被困住的地方。