在浏览http://1drv.ms/1tbV45S时，它说如果$ s> 0 $变成一个快速递减的函数，而如果$ s <0 $它变成一个迅速增加的函数，我无法理解。任何人都可以说明这一点。
#1 楼
马特（Matt）正确的说法是约定。我认为这是有原因的。如果我们查看复杂平面中的复杂频率，它们看起来就像是一个沿一个方向或另一个方向旋转的常数向量。正频率逆时针旋转，负频率顺时针旋转，“ 0 Hz”频率根本不旋转。
傅立叶变换对
反向旋转的原因是，当两个频率向量相乘时，它们的相位将反复抵消，因此将所有结果相加时，由于所有单个向量都排成一行，因此将有一个庞大的向量。
$$
X（f）= \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x（n）e ^ {-j2 \ pi kn / N}
$$
这就是傅立叶变换“寻找”频率的方式。如果两个频率相同或“接近”（它们需要接近的程度取决于DFT的长度），则它们会很好地对齐并在总和中引起巨大的响应。我已经展示了这对于离散傅立叶变换（DFT）的工作原理，但是完全相同的推理也适用于连续变换。
希望这解释了为什么傅立叶变换会希望向量沿相反方向旋转。老实说，我不知道拉普拉斯变换的效果如何足以为它的负号提供可靠的理由。由于这两个变换非常紧密相关（拉普拉斯变换是傅立叶变换的概括），因此我认为这是出于类似原因。
#2 楼
对于傅立叶变换，指数的符号是纯常规。请注意，对于逆变换，您的指数中有一个正号。您还可以在指数中用正号定义Laplace变换。无论如何，您都希望变换时域函数的指数阻尼，因此复指数的实部应为负。如果将$ s $更改为$ -s $，则单边拉普拉斯变换的收敛区域将从$ \ Re \ {s \}> a $变为$ \ Re \ {s \}评论
$ \ begingroup $
我已经更新了帖子。您能看一下吗？
$ \ endgroup $
–贾斯汀
2014年11月5日14:13
$ \ begingroup $
@justin：被积数是$ f（t）e ^ {-st} $。使用$ s = \ sigma + j \ omega $，您将获得$ f（t）e ^ {-\ sigma t} e ^ {-j \ omega t} $。对于$ sigma> 0 $，您将得到$ f（t）$的指数阻尼（对于$ t> 0 $）。否则，您将获得一个指数级增长的因数，该因数可能会使积分产生偏差。
$ \ endgroup $
– Matt L.
2014年11月5日14:17
$ \ begingroup $
您能说出$ j $，$ \ omega $和$ \ sigma $在信号分析的复数s变量中代表什么。
$ \ endgroup $
–贾斯汀
2014年11月5日14:19
$ \ begingroup $
@justin：我用$ j $作为假想单位（在EE中通常，其他人称为$ i $）。由于$ s = \ sigma + i \ omega $，因此$ \ sigma $是$ s $的实部，而$ \ omega $是$ s $的虚部。
$ \ endgroup $
– Matt L.
2014年11月5日14:22
$ \ begingroup $
您可以使用信号特征代替理论方法来解释它吗？
$ \ endgroup $
–贾斯汀
2014年11月5日14:23
#3 楼
我只想说，原始约定是代表具有正指数的复杂正弦曲线。因此电压“相量”为$$ v（t）= V e ^ {j \ omega t} $$
（$ V $是一个复数常数，而$ | V | $表示相量的大小，$ \ arg \ {V \} $表示相量的相位。）我假设可以将约定定义为
$ $ v（t）= V e ^ {-j \ omega t} $$
，但我的问题是“为什么要打扰？”
为什么需要复杂的指数？因为$ e ^ {s t} $是线性时不变（LTI）系统的本征函数（本质上是本征函数），这是我们应用Fourier和Laplace变换的对象。当$ e ^ {st} $进入LTI系统时，有时会出现$ e ^ {st} $。
LTI系统可以完全描述，也可以完全具有它们的输入/输出关系用他们的冲激反应$ h（t）$来描述。该描述就是卷积：
$$ y（t）= \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {\ infty} h（\ tau）x（t- \ tau）\ d \ tau $$
如果输入
$$ x（t）= e ^ {st} $$
输出为
$$ \开始{align}
＆= \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {\ infty} h（\ tau）e ^ {s（t- \ tau）} \ d \ tau \\
＆= \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {\ infty} h（\ tau）e ^ {-s \ tau} \ d \ tau \ \ e ^ {st} \\
＆= H（ s）\ e ^ {st} \\
＆= H（s）\ x（t）\\
\ end {align} $$
so $ x（ t）= e ^ {st} $是一个本征函数，并且是本征值，在LTI系统中缩放本征函数的事物是$ H（s）$，与$ h（t）$直接相关。
剩下的就是傅里叶了。因此，傅立叶概括了一下，首先用一个周期性的$ x（t）$表示傅立叶所假定的正弦曲线，这些正弦波都具有与$ x（t）$相同的周期。
$$$ x（ t + T）= x（t）\ quad \ forall t $$
$$ x（t）= \ sum \ limits_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} X [k ] \ e ^ {j \ frac {2 \ pi k} {T} t} $$
仍然是原始约定：将信号定义为相量$ e ^ {j \ omega t} $。正指数仍然存在。 $ X [k] $是“傅立叶系数”。
所以我们知道输出是
$$ \ begin {align}
y（t ）＆= \ sum \ limits_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} H \ left（j \ frac {2 \ pi k} {T} \ right）X [k] \ e ^ {j \ frac { 2 \ pi k} {T} t} \\
＆= \ sum \ limits_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} Y [k] \ e ^ {j \ frac {2 \ pi k } {T} t} \\
\ end {align} $$
另一个周期函数，周期相同，但傅立叶系数不同。
因此，指数中的$ \ omega $为正。
那些傅里叶系数是多少？
$$ \ begin {align}
\ int \ limits_ { 0} ^ {T} x（t）e ^ {-j \ frac {2 \ pi m} {T} t} \ dt＆= \ int \ limits_ {0} ^ {T} x（t）e ^ { -j \ frac {2 \ pi m} {T} t} \ dt \\
＆= \ int \ limits_ {0} ^ {T} \ sum \ limits_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} X [k] e ^ {j \ frac {2 \ pi k} {T} t} e ^ {-j \ frac {2 \ pi m} {T} t} \ dt \\
＆ = \ int \ limits_ {0} ^ {T} \ sum \ limits_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} X [k] e ^ {j \ frac {2 \ pi（km）} {T} t } \ dt \\
＆= \ sum \ limits_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} X [k] \ int \ limits_ {0} ^ {T} e ^ {j \ frac {2 \ pi （km）} {T} t} \ dt \\
\ end {align} $$
每和$ k $，其中$ k \ ne m $为整数为零，因此求和项为零。
$$ \ int \ limits_ {0} ^ {T} e ^ {j \ frac {2 \ pi（km）} {T} t } \ dt =
\ begin {cases}
0，＆\ text {for} k \ ne m \\
T，＆\ text {for} k = m
\ end {cases} $$
对于单个非零项，当$ k = m $时，我们有
$$ \ int \ limits_ {0} ^ {T} x（t）e ^ {-j \ frac {2 \ pi m} {T} t} \ dt = X [m] T $$
so
$$ X [m] = \ frac {1} {T} \ \ int \ limits_ {0} ^ {T} x（t）e ^ {-j \ frac {2 \ pi m} {T} t } \ dt $$
那就是负指数的来源。我们需要使该指数为负，以便求和中只有$ m ^ {\ text {th}} $项可以生存（当$ k = m $和$ e ^ {j \ frac {2 \ pi（km）}时） {T} t} = 1 $），因此隔离了一个$ X [m] $，所以我们知道它是什么。否则，这将是$ -m ^ {\ text {th}} $生存期，我们将不得不更改原始定义$ x（t）$的约定。
本质上仍然如此傅立叶级数表示形式被推广到非周期$ x（t）$的情况下，总和成为整数。因为我们将信号定义为这些指数函数（具有正指数）的本征求和：
$$ x（t）= \ frac {1} {2 \ pi} \ int \ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty} X（j \ omega）e ^ {j \ omega t} \ d \ omega $$
再次，要获得这些傅立叶“系数”，我们需要负指数：
$$ X（j \ omega）= \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）e ^ {-j \ omega t} dt $ $
Laplace通过将纯虚值$ j \ omega $设为更一般的复杂值$ s = \ sigma + j \ omega $来进一步推广。但这不会改变符号约定。
评论
$ \ begingroup $
你能说为什么$ e ^ {st} $是本征函数吗？
$ \ endgroup $
–贾斯汀
2014年11月10日下午6:29
$ \ begingroup $
当然，我已经知道了。首先，LTI系统的一般输入/输出方程为卷积方程：$$ y（t）= \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {\ infty} h（\ tau）x（t- \ tau） \ d \ tau $$将输入定义为$$ x（t）= e ^ {st} $$，然后将其插入到卷积方程中，并查看$ y（t）$的结果。您是否需要有人来解释卷积积分是如何得出的？
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
2014年11月10日14:08
$ \ begingroup $
：我想知道是仅输入$ e ^ {st} $才获得$ e ^ {st} $的输出，还是还有其他功能？知道为什么在大多数变换（例如DFT，拉普拉斯变换，Z变换等）中都强调'$ e ^ {xt} $（x可以是复数或实数）。
$ \ endgroup $
–贾斯汀
2014年11月24日8:57
$ \ begingroup $
我相信指数形式$ x（t）= e ^ {st} $是线性时不变（LTI）系统本征函数的唯一函数形式。请记住，$ s $通常只定义指数的底数，因为$ e ^ {st} = \ left（e ^ s \ right）^ t = a ^ t $，因此$ t的任何指数函数$有效。我不认为任何其他一般形式的功能都可以通过卷积积分而不会改变形式。也许幂级数将是：$$ x（t）= \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n t ^ n $$就是这样。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
2014年11月24日18:45
评论
$ \ begingroup $
另一种观点是看逆变换，并声称将信号组合成复指数（在指数中带有正号）的和（或积分）是最自然的。但是无论如何，如果更改了符号约定，则不会发生重大变化。
$ \ endgroup $
– Matt L.
2014年11月5日14:50
$ \ begingroup $
@MattL。双方都同意。
$ \ endgroup $
– Jim Clay
2014年11月5日下午14:55
$ \ begingroup $
@JimClay：插图很好。您是说向量的点积包括$ \ cos \ theta $，如果旋转相反，向量将加起来。或者您是否在说叉积。我不明白您所说的“相反旋转”是什么意思。
$ \ endgroup $
–贾斯汀
2014年11月6日下午6:03
$ \ begingroup $
@justin我不确定您所谈论的$ cos \ theta $来自哪里。也许您是从$ e ^ {j \ theta} = cos（\ theta）+ j * sin（\ theta）$中得到的？无论如何，第二张图片是用来说明傅立叶变换叉积中的$ e ^ {-j2 \ pi kn / N} $。它在复平面中沿顺时针方向旋转。换句话说，每个样本与先前的样本处于相同的相位，减去某个恒定相位。低频具有小的相位差，高频具有大的相位差。
$ \ endgroup $
– Jim Clay
2014年11月6日11:16
$ \ begingroup $
@JimClay：但是在傅立叶变换中，我们真的是“添加”每个信号还是“相乘”它们？
$ \ endgroup $
–贾斯汀
2014年11月6日，11：22