\ begin {align}
\ Lambda \ ddot {e} + D_d \ dot {e} + K_d e = F_ { ext}
\ end {align}
机器人需要动态阻尼矩阵，以考虑运动过程中$ \ Lambda $的结构和变化。因此，以下方法称为“双对角化”。给定一个对称正定矩阵$ \ Lambda \ in \ mathcal {R} ^ {n \ times n} $和一个对称矩阵$ K_d \ in \ mathcal {R} ^ {n \ times n} $，可以找到一个非奇异矩阵$ Q \ in \ mathcal {R} ^ {n \ times n} $和一个对角矩阵$ B_0 \ in \ mathcal {R} ^ {n \ times n} $这样：
\开始{align}
\ Lambda＆= Q ^ \ intercal Q \\
K_d＆= Q ^ \ intercal B_0 Q
\ end {align}
其中$ B_0 $的对角元素是$ K_d $的广义特征值。
阻尼矩阵的设计变为：
\ begin {align}
D_d = 2 Q ^ \ intercal diag（\ xi \ sqrt（\ lambda_ {K，i} ^ \ Lambda）Q）
\ end {align}
\开始{align}
Q ^ \ intercal Q \ ddot {x} + 2 Q ^ \ intercal diag（\ xi \ sqrt（\ lambda_ {K，i} ^ \ Lambda）Q）\ dot {x} + Q ^ \ intercal B_0 Q = F_ {ext}
\ end {align}
其中$ \ xi_i $是阻尼系数$ [0,1] $，$ \ lambda_ {K，i} ^ \ Lambda $的范围是第i个诊断是$ B_0 $
-
的onal元素是的，我很傻（我猜解决方案很简单，但我看不到）。我无法弄清楚如何求解矩阵$ Q $和$ B_0 $，使得（尤其）$ \ Lambda = Q ^ \ intercal Q $。我想念什么？能为我详细说明吗？
我该如何解决？
资料来源：（本文应该是免费的，并提供一些上下文。）
（Albu-Schaffer，Alin等人。 ，2003）
#1 楼
提示本文给出了答案。即，可以使用广义特征值分解，在这种情况下，可以将其表示为找到特征值$ \ lambda \ in \ mathbb {R} $和特征向量$ v \ in \ mathbb {R} ^ n $以使得$$
（\ lambda \，\ Lambda-K_d）\，v =0。\ tag {1}
$$
考虑两个不同的解决方案$（1）$中的$（\ lambda_i，v_i）$和$（\ lambda_j，v_j）$，也可以写成
\ begin {align}
\ lambda_i \ ，\ Lambda \，v_i＆= K_d \，v_i，\ tag {2a} \\
\ lambda_j \，\ Lambda \，v_j＆= K_d \，v_j。 \ tag {2b}
\ end {align}
通过将$（2a）$乘以$ v_j ^ \ top $和$（2b）$乘以$ v_i ^ \ top $ one gets
\ begin {align}
\ lambda_i \，v_j ^ \ top \ Lambda \，v_i＆= v_j ^ \ top K_d \，v_i，\ tag {3a} \ \
\ lambda_j \，v_i ^ \ top \ Lambda \，v_j＆= v_i ^ \ top K_d \，v_j。 \ tag {3b}
\ end {align}
使用$ M = M ^ \ top $和$ K_d = K_d ^ \ top $时，可以得出以下结论：从$（3a）$获得的$（3b）$
$$
（\ lambda_i-\ lambda_j）\，v_j ^ \ top \ Lambda \，v_i = 0. \ tag {4}
$$
因此，当$ \ lambda_i \ neq \ lambda_j $时，得出$ v_j ^ \ top \ Lambda \，v_i = 0 $，从中与$（ 3a）$也得出$ v_j ^ \ top K_d \，v_i = 0 $。当$ i \ neq j $但$ \ lambda_i = \ lambda_j $时，矢量$ v_i $和$ v_j $与矩阵$ \ Lambda $和$ K_d $之间的正交性不会立即跟随。可以注意到$ \ lambda_i = \ lambda_j = \ lambda $表示$ \ lambda \，\ Lambda-K_d $的内核的尺寸大于一，因此对于所有$ \ alpha，\ beta \ in \ mathbb {R} $向量$ v = \ alpha \，v_i + \ beta \，v_j $将满足$（1）$。但是，大多数广义特征值问题求解器会“选择” $ \ alpha $和$ \ beta $，以确保确实确保$ v_j ^ \ top \ Lambda \，v_i = 0 $和$ v_j ^ \ top K_d \，v_i = 0 $每当$ \ lambda_i = \ lambda_j $。
当将$ V $定义为其列等于$ v_i \ \ forall \，i = 1,2，\ cdots，n $的矩阵时，它从$ v_j ^ \ top \ Lambda \，v_i = v_j ^ \ top K_d \，v_i = 0 $，即$ V ^ \ top \ Lambda \，V $和$ V ^ \ top K_d \，V $是对角矩阵。通过将$ V $的每个$ i $列除以$ \ sqrt {v_i ^ \ top \ Lambda \，v_i} $，还可以得出$ V ^ \ top \ Lambda \，V = I $和$ V ^ \ top K_d \，V = \ text {diag}（\ lambda_1，\ lambda_2，\ cdots，\ lambda_n）$。为$ \ Lambda $和$ K_d $求解可得出
\ begin {align}
\ Lambda＆= V ^ {-\ top} V ^ {-1}，\ tag { 5a} \\
K_d＆= V ^ {-\ top} \ text {diag}（\ lambda_1，\ lambda_2，\ cdots，\ lambda_n）\，V ^ {-1}，\ tag {5b}
\ end {align}
等效于使用$ Q = V ^ {-1} $和$ B_0 = \ text {diag}（\ lambda_1，\ lambda_2，\ cdots ，\ lambda_n）$。
有关此推导的更多信息，请参见De Kraker，A.（2009）一书中的3.3.2节。机械振动。 Shaker Publishing BV。
评论
$ \ begingroup $
我爱你，伙计。
$ \ endgroup $
–太空人
20 May 26 '20：28
评论
好问题！我将其添加为书签，因为使用香草状态反馈控制器的结果令人不满意，并且我将着手进行自己的阻抗控制项目。当论文跳过主要步骤时，我总是特别恼怒。他们通常会完成一些推导工作，跳过重要的实施步骤，然后直接跳入一些结果数字。无论如何，祝您好运，我会一直在寻找答案！@Chuck是的，我与此非常相关-这正是我对这个话题的看法。并感谢您的鼓励：）！现在有点迟了，因为有人回答了这个问题。但是谢谢。