有些东西告诉我这与半球中的球面度数是$ 2 \ pi $，但我看不到它是如何连接的。我们可以针对立体角提出另一种测量方法（例如，“ blibs”），其中半球中的blibs数量为$ 8000 \ pi $，但我希望均匀地选择方向的概率不会改变。
编辑：我现在明白了。之所以引起困惑，是因为我没有清楚地考虑概率密度函数的单位，即$ \ frac {1} {sr} $。我因考虑到面积而被淘汰，并以为pdf单位是逆面积（或其他东西）而令人困惑！
#1 楼
实际上，如果您更改$ \ textit {pdf} $定义中的单位，它会改变。根本原因是$ \ textit {pdf} $被定义为每个球面度的概率。这就是密度部分的意思。您可以很好地将其重新定义为每个半球的概率，并以$ \ textit {pdf} $的示例为$ 1 $。#2 楼
之所以这样，是因为单位球的表面积为$ 4 \ pi $。正如棘轮怪胎所指出的那样，其域上的概率分布的积分必须为1。换句话说，选择某个方向的概率为1。半球的表面积为$ 2 \ pi $。您在$ 2 \ pi $域上积分以获得1的常量是$ \ frac {1} {2 \ pi} $。与球面度的关系是将1球面度定义为实体在单位球面上对着区域1的表面的角度。也就是说，一个单位球体具有$ 4 \ pi $球面度和$ 4 \ pi $的表面积。
在二维上相同。选择一个弧度，使一个单位圆的1个弧度的弧长为1，因此，一个圆中有$ 2 \ pi $弧度，而在半圆中有$ \ pi $弧度。如果在半圆上均匀地选择2D方向，则概率分布为$ \ frac {1} {\ pi} $。
评论
$ \ begingroup $
我没有考虑面积，所以非常感谢。我的可怜的大脑仍然有一个尚未解决的悖论。想象一个单位半球和一个半径为2的半球，以同一点为中心。第一个具有表面积$ 2 \ pi $，第二个具有$ 8 \ pi $。在这些半球上选择特定方向的可能性似乎相同，但是分别为$ \ frac {1} {2 \ pi} $和$ \ frac {1} {8 \ pi} $。我无法理解为什么它在数学上是不同的，但在理论上似乎是相同的。换句话说，为什么单位半球优先于其他半径？
$ \ endgroup $
– PeteUK
17年5月5日在10:06
$ \ begingroup $
我认为奥利维尔的回答很好地说明了这一点。弧度和单位球体的弧度相同，弧度和单位球体的弧度也相同。如果更改单位以使球体具有不同的半径，则该半径将成为积分的一个额外因素。 “选择方向”和“在单位球面上选择点”可以被视为同一事物。
$ \ endgroup $
–丹·赫尔姆
17年5月8日在8:56
评论
如果在整个域上集成PDF，则IIRC的结果必须为1。