#1 楼
这三个变换都是内积变换，这意味着输出是带有信号的一系列基函数的内积。基本函数的参数化和形式决定了变换的性质。完整图片的基本函数（即包含足以重构原始信号的信息的结果）的数量在所有三种情况下都是相同的。这是由于海森堡不确定性或更笼统的信息保留导致的。1）对于标准傅立叶变换，基函数只是复数振荡$ b_ \ omega（t）：= \ exp（i \ omega t）$其中t是信号的时间轴，$ \ omega $是确定该族中基函数的单个频率参数。每个$ \ omega $有一个基函数。然后，信号$ s（t）$的傅立叶变换就是写成整数的内部乘积：
$$ \ mathcal {F} \ left \ {s（t）\ right \}（\ omega） = \ langle b（\ omega，t），s（t）\ rangle = \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ exp（-i \ omega \ tau）s（\ tau）d \ tau $$
指数中的负号来自一般内积定义中的复杂共轭$$ \ langle a（t），b（t）\ rangle = \ int _ {-\ infty} ^ \ infty a（\ tau） ^ * b（\ tau）d \ tau $$
2）短时傅立叶变换通过将无限长的复指数与窗口相乘来将时间维添加到基本函数参数中。然后，基本函数类似于$ b _ {（\ omega，t_0）}（t）：= w（t-t_0）\ exp（i \ omega t）$，其中$ w（t）$是消失的窗口函数在某个间隔之外和$（\ omega，t_0）$是该族中基本函数的时频坐标。这样，内积就变成了
$$ \ mathcal {S} \ left \ {s（t）\ right \}（\ omega，t_0）= \ int _ {-\ infty} ^ \ infty w（\ tau） ^ * \ exp（-i \ omega \ tau）s（\ tau）d \ tau $$
并为您提供时间和频率信息。时间和频率之间的实际权衡取决于窗口功能的选择。该变换的结果也可以看作是具有带通滤波器的滤波器组，该带通滤波器具有作为频率响应的窗$ w（t）$的傅立叶变换，但是移至中心频率$ \ omega $。因此，所有滤波器具有相同的带宽。
3）小波变换消除了恒定的带宽约束，并根据频率调整了窗口大小。而且这种变化以特定的比例不变的方式发生，甚至不再需要复杂的调制。您从局部且振荡的通用基本函数开始，并且它的均值也为零（即整个空间的积分为0）。那是你的小波。现在，如果您在时间方向上缩放小波，振荡频率也会发生变化，因此您可以使用链接两者的单个参数来控制定位和振荡。因此，基本函数族类似于$ b _ {（\ sigma，t_0）}（t）= w（\ frac {t-t_0} {\ sigma}）$，其中$ w $是原始小波，而$ \ sigma $ scale参数。这样内积就变成$$ \ mathcal {W} \ left \ {s（t）\ right \}（\ sigma，t_0）= \ int _ {-\ infty} ^ \ infty w \ left（\ frac {t- t_0} {\ sigma} \ right）^ * s（t）$$
再次给出二维参数化结果，也可以将其视为滤波器组，但这一次的带宽为滤波器与频段的中心频率成正比。因此，时频平面被非均匀地划分，并且更适合于许多实际信号，其中典型的过程时间常数自然取决于比例。