$$
$$
P_ {k | k} = Var（\ hat {x} _ {k | k}-x_k），\ text {或} Var（\ hat {x} _ {k | k}），\ text {或} Var（x_k）？
$$
其中
$ x_k $是时间$ k $的状态，它是随机的
$ \ hat {x} _ {k | k} $和$ P_ {k | k} $是卡尔曼同义，即卡尔曼滤波器的输出。
有参考文献提及这些吗？
谢谢！
#1 楼
以下两个语句等效于说：$$
E（\ hat {x} _ {k | k}-x_k）= 0
$$
（1）估计量是无偏的；和
$$
P_ {k | k} = Var（\ hat {x} _ {k | k}-x_k）
$$
（2）估计值是一致的。
这两个条件都是必要的，以便滤波器达到最佳-即$ \ mathbf {x} _ {k | k} $关于某些准则。
如果（1）不正确，则均方误差（MSE）将是偏差加方差（在标量情况下）。显然，这仅比方差大，因此次优。
如果（2）不为真（即，过滤器计算的协方差与真实协方差不同），则过滤器也将为次优。由于卡尔曼增益基于所计算的状态协方差，因此协方差的误差将导致增益误差。增益误差意味着测量的权重欠佳。
（碰巧，对于正确建模的滤波器，这两个条件都是正确的。建模误差，例如动态模型或噪声协方差也会呈现过滤器次优）。
来源：Bar-Shalom，尤其是第232-233页的5.4节。
#2 楼
重要的是要注意$ x_k $不是随机变量。系统状态是确定性的，通常在$ k $中是变量。$$$
E（\ hat {x} _ {k | k}）= x_k
$$
，相当于说
$$
E（\ hat {x} _ {k | k}-x_k）= 0
$$
此外，
$$ Var（x_k）= 0 $$
并且
$$ P_ {k | k} = Var（\ hat {x} _ {k | k}）$$
，鉴于$ x_k $是确定性的，它恰好也等于$ Var（\ hat {x} _ {k | k}-x_k）$
背景
$ x_k $是确定性的系统状态。这与系统噪声相反，系统噪声在大多数文献中都表示为$ w $，且方差为$ Q $。更甚者，一些文献使用系数矩阵对系统噪声进行建模。在这种情况下，在传播估计中，将$ Q $矩阵替换为$ GQG ^ T $，其中$ G $是噪声系数矩阵。详细地说，在这种情况下，系统表示为：
$$
x_ {k + 1} = Ax_k + Bu_k + Gw
$$
作为参考：卡尔曼的论文本身：
http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf 评论
$ \ begingroup $
据我所知$ \ left \ {x_k \ right \} _ {k =-\ infty} ^ {\ infty} $是随机过程。 $ x_k $的方差由过程噪声给出。对于给定的实现，$ x_k $是确定性的。
$ \ endgroup $
–罗伊
2013年6月10日5:42
$ \ begingroup $
@Drazick过程噪声通常用符号w表示，方差Q。 x k是系统状态，状态是随机的没有任何意义；另一方面，估计值是随机变量，确实有意义
$ \ endgroup $
–ao
2013年6月10日13:39
$ \ begingroup $
我很困惑：如果添加$ Gw $（随机）来形成$ x_ {k + 1} $，该如何确定呢？ $ x_ {k + 1} $可以确定的唯一方法是随机分量是否为零，是吗？
$ \ endgroup $
– Peter K.♦
2013年6月10日19:00
$ \ begingroup $
@PeterK。因为$ w $假设每$ k $有一个确定的实现
$ \ endgroup $
–ao
2013年6月10日19:32
$ \ begingroup $
虽然卡尔曼本人从未考虑过状态向量是随机变量（我认为我可以将其归因于Doucet，但我可能是错的），但卡尔曼滤波器可以从贝叶斯规则导出。在这种情况下，状态向量$ \ mathbf {x} _ {k | k} \ sim N \ left（\ hat {\ mathbf {x}} _ {k | k}，\ mathbf {P} _ {k | k} \ right）$。参见维基百科。
$ \ endgroup $
– Damien
13年6月11日在11:29
评论
$ P_ {k | k} $是时间$ k $的后验估计协方差矩阵吗？实际上并没有使用标准的符号，因此还不清楚“卡尔曼估计”的含义。@Jason：是的，这是...