我的第一个想法是通过一个中心差来估算该值：
$ f'（t_i ）= \ frac {f（t_ {i + 1}）− f（t_ {i-1}）} {2 \ Delta t} $
但是信号可能会有很多高频可能会导致f'快速波动的噪声。
我想适当的选择可能是通过与窗函数（例如Hann）进行卷积来平滑信号，然后从差异中找到导数。
一位同事建议了一种更快的求导数平滑估计的方法：
使用2n个样本的中心差，其中n >> 1：
$ f'（t_i）= \ frac {f（t_ {i + n}）− f（t_ {i-n}）} {2n \ Delta t} $
这当然是计算上的比第一次使用窗口函数进行卷积运算要快，但这是一个好的解决方案吗？ i-n + 1}）+ f'（t_ {i-n + 2}）+ .. + f'（t_ {i + n-1}）] $
并展开每个导数通过步骤$ \ Delta t $的中心差：
$ S = f（t_ {i-n + 2}）-f（t_ {in}）+ f（t_ {i-n +3}）-f（t_ {i-n + 2}）+ .. + f（t_ {i + n}）-f（t_ {i + n-2}）$
除两个之外的所有项都被抵消：
$ S = f（t_ {i + n}）-f（t_ {in}）= 2n \ Delta tf'（t_i）$
因此：
$ f'（t_i）= \ frac {1} {n} [f'（t_ {i-n + 1}）+ f'（t_ {i-n +2}）+ .. + f'（t_ {i + n-1}）] $
因此，取2n个样本的中心差等效于首先通过大小为2n的矩形窗口进行卷积-2然后取一个中心差超过+/- 1个样本。
用矩形窗口平滑有多“不好”？
如果进行FFT，这会导致“振铃”，但我们不需要进行FFT。
预先感谢您的回答！
#1 楼
通常这是一个很难解决的问题。一直使用矩形窗口进行平滑（通常称为“移动平均值”），因此这不一定是问题。我不确定您指的是什么响声，也许是矩形窗口的频率响应的旁瓣。区别本质上是高通操作；理想的连续时间微分器的传递函数为：
$$
H（s）= s
$$
因此其幅度响应为：
$$
| H（j \ omega）| = \ omega
$$$
因此，微分器的增益随频率单调增加。如果您的信号包含高频噪声，则可以通过应用微分器将其放大。为了解决这个问题，有两种方法很明显：
设计一个更复杂的微分滤波器，该滤波器在覆盖感兴趣信号的频带部分具有所需的线性幅度响应，然后急剧衰减更高的频率。例如，您可以使用最小二乘方法或频率采样方法来设计这样的滤波器。
使用级联方法，首先抑制所有可以使用低通滤波器的高频噪声，然后再跟随与微分。微分器的频率覆盖范围不必太紧，因为低通滤波器将消除带外噪声。
如果您使用线性滤波器，则这些方法应该大致等效；您可能会想到第一个单滤波器方法只是微分器和低通滤波器的级联。如您所述，可以通过这种方式对中心差方法进行建模。没有人不了解您的应用程序，很难有人说这是“不好的”。我的主要思想是，如果平滑操作有形地衰减您感兴趣的信号，则这是“不好的”，这样导数估计不再有用。但是，如果信号的参数使得您可以平滑噪声而又不会明显失真信号（即，如果信号被很好地过采样），则可能是个好选择。