哪一个找到质数最快的算法？

#1 楼

丹·伯恩斯坦（Dan Bernstein）的primegen是阿特金筛网（Sieve of Atkin）的一个非常快速的实现。该筛子比Eratosthenes筛子更有效。他的页面上有一些基准信息。

#2 楼

如果必须非常快，则可以包含素数列表：http：//www.bigprimes.net/archive/prime/

如果您只需要知道某个数字是否为素数数字，维基百科上列出了各种主要测试。它们可能是确定大数是否为质数的最快方法，尤其是因为它们可以告诉您数字是否不是质数。

#3 楼

他，他，我知道我是一个死灵法师，正在回答旧问题，但是我刚刚发现这个问题正在网上搜寻实现有效质数测试的方法。

直到现在，我相信最快的质数测试算法是强概率质数（SPRP）。我在Nvidia CUDA论坛上引用：


数论中较实际的利基问题之一与素数的确定有关。给定N，您如何有效地确定它是否为素数？这不仅是一个棘手的问题，而且可能是代码中真正需要的一个问题，也许当您需要动态地找到特定范围内的素数哈希表大小时。如果N
约为2 ^ 30，那么您真的要进行30000
除法测试以查找任何因素吗？显然不是。

解决此问题的常用方法是一个简单的测试，称为
Euler可能素数测试，一个更强大的泛化，称为强概率素数（SPRP）。 。这是一个对于整数
可以将N概率地归类为素数的测试，而
重复测试可以提高正确性的概率。测试本身的最慢部分主要涉及计算与A ^（N-1）模N类似的值。实现RSA公钥加密
变体的任何人都使用了此算法。对于巨大的整数
（例如512位）以及普通的32或64位整数，这都是有用的。

可以将测试从概率拒绝更改为确定的证明。通过预先计算某些在N范围内总是成功的测试输入来确定素数。
不幸的是，发现这些“最知名的测试”实际上是对一个巨大的（在事实无限）域。 1980年，卡尔·波默兰斯（Carl Pomerance）创建了第一个有用的测试列表（以测试为名
后来，Jaeschke
在1993年对结果进行了重大改进。2004年，Zhang和Tang
对搜索域的理论和范围进行了改进。迄今为止，Greathouse和
Livingstone在http://math.crg4.com/primes.html的
网站上发布了最新的搜索结果，这是巨大的
搜索域的最佳结果。 。


更多信息请参见此处：
http://primes.utm.edu/prove/prove2_3.html和http://forums.nvidia.com/index .php？showtopic = 70483

如果您只需要一种生成非常大的质数的方法，而又不想生成所有小于整数n的质数，则可以使用Lucas-Lehmer测试来验证梅森素数。梅森素数的形式为2 ^ p -1。我认为Lucas-Lehmer测试是发现梅森素数最快的算法。

如果您不仅要使用最快的算法，而且想要最快的硬件，请尝试使用Nvidia CUDA来实现，为CUDA编写内核并在GPU上运行。

如果发现足够大的素数，您甚至可以赚到一些钱，EFF提供的奖金从$ 50K到$ 250K：
https： //www.eff.org/awards/coop

#4 楼

有一个100％的数学测试，称为qS120120qq是质数还是复合数，称为AKS Primality Test。

概念很简单：给定数字P，如果P的所有系数都可以被(x-1)^P - (x^P-1)整除，则P是质数，否则是一个复合数。

例如，给定P，将得出多项式：

   (x-1)^3 - (x^3 - 1)
 = x^3 + 3x^2 - 3x - 1 - (x^3 - 1)
 = 3x^2 - 3x

系数均可以被P = 3整除，因此数字为质数。

还有一个不是素数的3将产生的示例：

   (x-1)^4 - (x^4-1)
 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 - (x^4 - 1)
 = -4x^3 + 6x^2 - 4x

在这里我们可以看到系数P = 4不可除由6组成，因此它不是素数。

多项式4将具有(x-1)^P项，可以使用组合找到。因此，此测试将在P+1运行时中运行，所以我不知道这会有多大用处，因为您可以简单地将O(n)从0迭代到i，然后测试其余部分。

#5 楼

您是否要确定某个数字是否为质数？然后，您需要进行素数测试（简单）。还是您需要所有给定数的素数？在那种情况下，主要的筛子是好的（容易，但需要记忆）。还是您需要数字的主要因素？这将需要分解（如果您确实想要最有效的方法，则很难进行大量运算）。您要查看的数字有多大？ 16位？ 32位？更大吗？

一种聪明而有效的方法是预先计算素数表，并使用位级编码将它们保存在文件中。该文件被认为是一个长位向量，而位n代表整数n。如果n为质数，则其位设置为1，否则设置为0。查找非常快（您可以计算字节偏移量和位掩码），并且不需要将文件加载到内存中。

#6 楼

这取决于您的应用程序。有一些注意事项：


您是否只需要一些数字是否为质数的信息，是否需要达到一定限制的所有质数，或者是否（可能）全部质数？
您必须处理多少个数？

对于一定大小以上的数字（某些地方大约有几个，Miller-Rabin和模拟测试仅比筛子快）我相信）。在此之下，使用试验师（如果您只有几个数字）或筛子更快。

#7 楼

Rabin-Miller是标准的概率素数测试。 （您将其运行了K次，并且输入数字肯定是复合的，或者它可能是素数，出现错误的可能性为4-K。（几百次迭代，几乎可以肯定地说出了事实）

Rabin Miller有一个非概率（确定性）变体。

Internet Mersenne Prime搜索（GIMPS）发现了世界上最大的被证明素数的记录（截至2017年6月为274,207,281-1）。 ，使用了几种算法，但是它们是特殊形式的质数，但是上面的GIMPS页面的确包含一些通用的确定性素数测试，它们似乎表明哪种算法“最快”取决于要测试的数字的大小。数字适合64位，那么您可能不应该使用旨在处理数百万个质数的方法。

#8 楼

我会让您决定它是否最快。

using System;
namespace PrimeNumbers
{

public static class Program
{
    static int primesCount = 0;


    public static void Main()
    {
        DateTime startingTime = DateTime.Now;

        RangePrime(1,1000000);   

        DateTime endingTime = DateTime.Now;

        TimeSpan span = endingTime - startingTime;

        Console.WriteLine("span = {0}", span.TotalSeconds);

    }


    public static void RangePrime(int start, int end)
    {
        for (int i = start; i != end+1; i++)
        {
            bool isPrime = IsPrime(i);
            if(isPrime)
            {
                primesCount++;
                Console.WriteLine("number = {0}", i);
            }
        }
        Console.WriteLine("primes count = {0}",primesCount);
    }



    public static bool IsPrime(int ToCheck)
    {

        if (ToCheck == 2) return true;
        if (ToCheck < 2) return false;


        if (IsOdd(ToCheck))
        {
            for (int i = 3; i <= (ToCheck / 3); i += 2)
            {
                if (ToCheck % i == 0) return false;
            }
            return true;
        }
        else return false; // even numbers(excluding 2) are composite
    }

    public static bool IsOdd(int ToCheck)
    {
        return ((ToCheck % 2 != 0) ? true : false);
    }
}
}

在我的计算机上查找和打印1到1,000,000范围内的素数大约需要82秒。配备2.40 GHz处理器的Core 2 Duo笔记本电脑。它发现了78,498个质数。

#9 楼

我今天用C编写，与tcc一起编写，是几年前在准备竞争性考试时发现的。不知道有没有人写过它。它确实非常快（但是您应该决定是否很快）。花一两分钟在i7处理器上找出大约1,00,004个质数在10到1,00,00,000之间，平均CPU使用率为32％。
您知道，只有那些最后一位数字为1的质数，3,7或9
，并检查该数字是否为质数，则必须将该数字除以先前找到的质数。
因此，首先取四个数字= {1,3 ，7,9}，
通过除以已知质数来测试它，
如果提示不是零，则数字为素数，将其添加到素数数组中。
然后将10加到组中它变为{11,13,17,19}并重复该过程。

#include <stdio.h>
int main() {    
    int nums[4]={1,3,7,9};
    int primes[100000];
    primes[0]=2;
    primes[1]=3;
    primes[2]=5;
    primes[3]=7;
    int found = 4;
    int got = 1;
    int m=0;
    int upto = 1000000;
    for(int i=0;i<upto;i++){
        //printf("iteration number: %d\n",i);
        for(int j=0;j<4;j++){
            m = nums[j]+10;
            //printf("m = %d\n",m);
            nums[j] = m;
            got = 1;
            for(int k=0;k<found;k++){
                //printf("testing with %d\n",primes[k]);
                if(m%primes[k]==0){
                    got = 0;
                    //printf("%d failed for %d\n",m,primes[k]);
                    break;
                }
            }
            if(got==1){
                //printf("got new prime: %d\n",m);
                primes[found]= m;
                found++;
            }
        }
    }
    printf("found total %d prime numbers between 1 and %d",found,upto*10);
    return 0;
}

#10 楼

#include <stdio.h>

int main() //works for first 10000 primes.
{
#define LEAST_PRIME 2

int remainder, number_to_be_checked = LEAST_PRIME, divisor = 2, remainder_dump, 
upper_limit; //upper limit to be specified by user.
int i = 1;
printf("            SPECIFY UPPER LIMIT:   ");
scanf("%d", &upper_limit);
printf("1. 2,\n", number_to_be_checked); //PRINTS 2.
do
{
    remainder_dump = 1;
    divisor = 2;

    do
    {
        remainder = number_to_be_checked % divisor;
        if (remainder == 0)
        {
            remainder_dump = remainder_dump * remainder; // dumping 0 for rejection.
        }
        ++divisor;

    } while (divisor <= number_to_be_checked/divisor); // upto here we know number is prime or 
not.
    if (remainder_dump != 0)
    {
        ++i;
        printf("%d.) %d.\t", i, number_to_be_checked); //print if prime.
    };
    number_to_be_checked = number_to_be_checked + 1;
} while (number_to_be_checked <= upper_limit);
printf("\nNUMBER OF PRIMES:           \t%d", i);

return 0;
}

可以无限期列出质数。很抱歉，我只花了3天的时间就编写了该程序，因此它使用了非常基本的功能。
在注释部分中建议的编辑后，它在13秒钟内最多输出100万个素数。

#11 楼

我总是使用这种方法来计算带有sieve算法的素数。

void primelist()
 {
   for(int i = 4; i < pr; i += 2) mark[ i ] = false;
   for(int i = 3; i < pr; i += 2) mark[ i ] = true; mark[ 2 ] = true;
   for(int i = 3, sq = sqrt( pr ); i < sq; i += 2)
       if(mark[ i ])
          for(int j = i << 1; j < pr; j += i) mark[ j ] = false;
  prime[ 0 ] = 2; ind = 1;
  for(int i = 3; i < pr; i += 2)
    if(mark[ i ]) ind++; printf("%d\n", ind);
 }

#12 楼

#include<stdio.h>
main()
{
    long long unsigned x,y,b,z,e,r,c;
    scanf("%llu",&x);
    if(x<2)return 0;
    scanf("%llu",&y);
    if(y<x)return 0;
    if(x==2)printf("|2");
    if(x%2==0)x+=1;
    if(y%2==0)y-=1;
    for(b=x;b<=y;b+=2)
    {
        z=b;e=0;
        for(c=2;c*c<=z;c++)
        {
            if(z%c==0)e++;
            if(e>0)z=3;
        }
        if(e==0)
        {
            printf("|%llu",z);
            r+=1;
        }
    }
    printf("|\n%llu outputs...\n",r);
    scanf("%llu",&r);
}    

#13 楼

#include <iostream>

using namespace std;

int set [1000000];

int main (){

    for (int i=0; i<1000000; i++){
        set [i] = 0;
    }
    int set_size= 1000;
    set [set_size];
    set [0] = 2;
    set [1] = 3;
    int Ps = 0;
    int last = 2;

    cout << 2 << " " << 3 << " ";

    for (int n=1; n<10000; n++){
        int t = 0;
        Ps = (n%2)+1+(3*n);
        for (int i=0; i==i; i++){
            if (set [i] == 0) break;
            if (Ps%set[i]==0){
                t=1;
                break;
            }
        }
        if (t==0){
            cout << Ps << " ";
            set [last] = Ps;
            last++;
        }
    }
    //cout << last << endl;


    cout << endl;

    system ("pause");
    return 0;
}

#14 楼

我知道会晚一些，但这对于通过搜索到达此处的人们可能很有用。无论如何，这里有一些JavaScript依赖于这样一个事实，即仅需要测试素数因子，因此，由代码生成的较早素数将被重新用作后面的素数。当然，所有偶数和mod 5值都将首先被过滤掉。结果将在数组P中，并且此代码可以在i7 PC上在1.5秒内处理1000万个素数（或20亿个约1亿个素数）。用C重写应该非常快。

var P = [1, 2], j, k, l = 3

for (k = 3 ; k < 10000000 ; k += 2)
{
  loop: if (++l < 5)
  {
    for (j = 2 ; P[j] <= Math.sqrt(k) ; ++j)
      if (k % P[j] == 0) break loop

    P[P.length] = k
  }
  else l = 0
}

#15 楼

#include<iostream>
using namespace std;

void main()
{
    int num,i,j,prime;
    cout<<"Enter the upper limit :";
    cin>>num;

    cout<<"Prime numbers till "<<num<<" are :2, ";

    for(i=3;i<=num;i++)
    {
        prime=1;
        for(j=2;j<i;j++)
        {
            if(i%j==0)
            {
                prime=0;
                break;
            }
        }

        if(prime==1)
            cout<<i<<", ";

    }
}