为什么傅立叶变换如此重要？

#1 楼

这是一个广泛的问题，确实很难确定为什么精确的傅立叶变换在信号处理中很重要。可以提供的最简单的挥手答案是，它是一种功能非常强大的数学工具，可让您在不同的域中查看信号，在其中可以轻松分析几个难题。由于不同的原因，几乎在工程和物理科学的每个领域中都普遍存在，这使得确定原因变得更加困难。我希望看看它的一些特性，使其得到广泛采用，并结合一些实际的例子和一点历史，可能有助于人们理解它的重要性。

历史： >要了解傅立叶变换的重要性，一定要退后一步，欣赏约瑟夫·傅立叶提出的傅立叶级数的强大功能。简而言之，在域$ \ mathcal {D} = [-\ pi，\ pi] $上可积分的任何周期函数$ g（x）$可以写成正弦和余弦的无穷和，如>
$$ g（x）= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} \ tau_k e ^ {\ jmath kx} $$
$$ \ tau_k = \ frac {1 } {2 \ pi} \ int _ {\ mathcal {D}} g（x）e ^ {-\ jmath kx} \ dx $$

其中$ e ^ {\ imath \ theta} = \ cos（\ theta）+ \ jmath \ sin（\ theta）$。可以将函数分解为其组成频率（即，分解为所有频率的正弦和余弦）的想法是有力的，并且构成了Fourier变换的主干。 br />
傅里叶变换可以看作是上述傅里叶级数对非周期函数的扩展。为了完整和清楚起见，我将在此处定义傅立叶变换。如果$ x（t）$是连续的可积分信号，则其傅立叶变换$ X（f）$由

$$ X（f）= \ int _ {\ mathbb {R }} x（t）e ^ {-\ jmath 2 \ pi ft} \ dt，\ quad \ forall f \ in \ mathbb {R} $$

，逆变换由

$$ x（t）= \ int _ {\ mathbb {R}} X（f）e ^ {\ jmath 2 \ pi ft} \ df，\ quad \ forall t \ in \ mathbb {R} $$

信号处理中的重要性：

首先，对信号进行傅立叶变换可以告诉您信号中存在哪些频率以及比例如何。


示例：您是否曾经注意到，在通话过程中按每个电话的数字键
听起来会有所不同，并且每种电话的听起来都一样吗？这是因为它们每个都由两个不同的正弦曲线组成，可用于唯一地标识按钮。当您使用手机打组合键来导航菜单时，对方知道您所按下的键的方式是通过对输入进行傅立叶变换并查看当前的频率。


除了一些非常有用的基本属性使数学运算变得简单以外，它在信号处理中具有如此广泛的重要性的其他一些原因还包括：


傅立叶变换$ \ vert X（f）\ vert ^ 2 $立即告诉我们信号$ x（t）$在特定频率$ f $处具有多少功率。
从Parseval定理（更一般地说是Plancherel定理），我们有
$$ \ int_ \ mathbb {R} \ vert x（t）\ vert ^ 2 \ dt = \ int_ \ mathbb {R} \ vert X（f）\ vert ^ 2 \ df $$
，这意味着信号在整个时间范围内的总能量等于变换在所有频率上的总能量。因此，该变换是节能的。

时域中的卷积等效于频域中的乘法，即给定两个信号$ x（t）$和$ y（t）$，然后如果

$$ z（t）= x（t）\ star y（t）$$
其中$ \ star $表示卷积，则对$ z（t）进行傅立叶变换$仅仅是

$$ Z（f）= X（f）\ cdot Y（f）$$

对于离散信号，随着高效FFT算法的发展，几乎总是在频域中实现卷积运算要比在时域中快。

与卷积运算相似，互相关在频域中也可以轻松实现为$ Z（f）= X（f）^ * Y（f）$，其中$ ^ * $表示复共轭。

能够分离信号在它们的构成频率中，可以通过取消它们的贡献来轻松地有选择地阻止某些频率。


示例：如果您是足球迷，那么您可能一直/>恼怒的呜呜祖拉（Vuvuzelas）恒定的无人机
淹没了2010年南非世界杯期间的所有评论。 />对于广播公司来说，很容易实现陷波滤波器来消除
有害噪声。[1]频域表现为频域中的相位变化。尽管这属于基本属性类别，但实际上它是一种广泛使用的属性，尤其是在成像和断层摄影应用中。 br />根据波在介质中传播的速度的变化而减慢和加快。因此，通过观察期望值和测量值的相位变化，可以推断出多余时间
延迟，从而可以告诉您波速在介质中发生了多少变化。当然，这是一个非常简单的外行解释，但是
构成了层析成像的基础。


信号的导数（也可以是n个导数）可以很容易地计算出来（参见106）使用傅里叶变换。

数字信号处理（DSP）与模拟信号处理（ASP）

傅立叶变换的理论是适用的，而不管信号是连续的还是离散的，只要它是“好的”且绝对可积分即可。因此，是的，只要信号满足此条件，ASP就会使用傅立叶变换。但是，在ASP中谈论拉普拉斯变换（这是广义傅里叶变换）也许更常见。拉普拉斯变换定义为

$$ X（s）= \ int_ {0} ^ {\ infty} x（t）e ^ {-st} \ dt，\ quad \ forall s \ in \ mathbb {C} $$

的优点是，不一定像傅立叶变换那样将其局限于“好的信号”，而是该变换仅在收敛的特定区域内有效。它广泛用于研究/分析/设计LC / RC / LCR电路，这些电路又用于收音机/电吉他，哇哇踏板等。


我现在几乎能想到的一切，但请注意，没有任何编写/解释可以完全抓住傅里叶变换在信号处理和科学/工程学中的真正重要性

#2 楼

洛雷姆·伊普苏姆（Lorem Ipsum）的出色答案错过了一件事：傅立叶变换将信号分解为组成复杂的指数：

$$ e ^ {\ jmath \ omega t} $$

是线性时不变系统的本征函数。简单地说，如果系统$ H $是线性且时不变的，那么它对复指数的响应就是相同的复指数频率，但（可能）相位$ \ phi $和幅度$ A $，---且幅度可能为零：

$$ y = H [e ^ {\ jmath \ omega t}] = A e ^ {\ jmath \ phi} e ^ {\ jmath \ omega t} $$

因此，傅立叶变换是分析线性，时不变系统的有用工具。

#3 楼

另一个原因：
由于它的线性时间复杂度（特别是FFT的时间复杂度），因此速度很快（例如对卷积有用）。
编辑：由于人们要我写出为什么FFT快速的原因...
是因为它巧妙地避免了做额外的事情
举一个具体的例子，假设您要将两个多项式相乘，即$ a_0 x ^ 0 + a_1 x ^ 1 + \ ldots + a_nx ^ n $和$ b_0 x ^ 0 + b_1 x ^ 1 + \ ldots + b_nx ^ n $。 br />但是，我们可以做一个看似平凡的观察：为了使两个多项式相乘，我们不需要将系数设为FIL。取而代之的是，我们可以简单地在（足够）个点处评估多项式，对评估值进行逐点乘法，然后进行插值以获取结果。毕竟，每个多项式都有$ n $个项，如果我们以$ 2n $分来评估每个项，那仍将导致$ \ approx n ^ 2 $运算，因此它似乎无济于事。 />但是，如果我们正确地做到了，那就可以了！如果我们在“正确”的点上进行评估，一次在多个点上评估一个多项式比在每个点上一次评估要快。什么是“正确的”点？
事实证明，这些是统一的根源（即所有复数$ z $这样$ z ^ n = 1 $）。如果我们选择从整数的根来评估多项式，那么很多表达式将变为相同（因为很多单项式变为相同）。这意味着我们可以进行一次算术运算，然后在其他所有点重新使用它来评估多项式。
我们可以做一个非常相似的过程，通过使用点的插值来取结果的多项式系数，而只需使用单位的逆根即可。
显然我在这里跳过了很多数学，但是有效地， FFT基本上就是我刚刚描述的用于评估和内插多项式的算法。
如我所展示的，它的用途之一是在比正常情况下少得多的时间内乘以多项式。
结果是这样可以节省大量工作，将运行时间减少到与$ n \ log n $（即线性运算）成正比，而不是与$ n ^ 2 $（二次数）成正比。
因此可以使用FFT更快地执行典型运算（例如多项式乘法）使其变得有用，这就是为什么人们现在对MIT的稀疏FFT算法的新发现感到兴奋。

#4 楼

除了彼得的回答，还有另一个与本征函数有关的原因。即$ e ^ {kx} $是微分算子$ \ frac {d ^ n} {dx ^ n} $的本征函数。这就是为什么可以使用傅立叶变换（对应于纯虚数$ k $）和拉普拉斯变换（对应于复数$ k $）来求解微分方程的原因。卷积和微分算子的本征函数，也许这就是为什么LSIV系统可以用微分方程表示的原因之一。

编辑：事实上，微分（和积分）算子是LSIV算子，请参见此处。

#5 楼

该线程中的其他一些答案对傅立叶变换的定义和性质进行了极好的数学讨论；作为音频程序员，我只想提供我自己的直觉，以了解为什么它对我很重要。方法。轻松解决难题。

录音包含一组三个音符。有哪些注意事项？如果您将记录保留为一组随时间变化的幅度，则这不是一个容易的问题。如果您将录音随时间转换为一组频率，那真的很容易。

我想更改录音的音高而不改变其持续时间。我该怎么做呢？仅通过操纵输入信号的幅度是可能的，但并不容易。但是，如果您知道构成信号的频率，这很容易。

此录音是否包含语音或音乐？仅使用基于幅度的方法很难做到。但是有一些好的解决方案几乎可以一直基于傅立叶变换及其系列来猜测正确的答案。使用离散版本的傅立叶变换来转换录音。

实际上，每个现代数字音频设备都严重依赖于与傅立叶变换非常相似的功能。高度非正式的描述；这只是我个人对傅立叶变换为何如此重要的直觉。

#6 楼

其他人给出了很好的有用的答案。只需考虑一些信号：您只关心其中的频率（及其相位），而不关心时域。我不知道这是最终的还是完整的答案，但这只是傅里叶变换有用的另一个原因。
当您有信号时，它可能由无限（或接近）组成频率数量，取决于您的采样率。但是，事实并非如此：我们知道大多数信号可能的频率最少，或者我们正在以足够高的速率进行采样。

如果我们知道，为什么我们不能用它？这就是压缩感测领域所做的。他们知道最可能的信号是误差最小且频率最少的信号。因此，它们将相对于我们的测量以及傅立叶变换的幅度的总误差降到最低。就像他们在压缩感测中所说的那样。例如，一个频率的信号仅具有增量功能。

我们也可以使用形式上的数学定义。

$ \ bar {x} = \ textrm {arg min} || y-Ax || + \ lambda || F（x）|| $

这里，我们要做的就是最小化误差（第一组$ || \ cdot || $）并最小化傅立叶变换（ $ || \ cdot || $的第二组）。在这里，我们将


$ \ bar {x} $作为我们的重构信号（很可能接近原始信号）
$ y $，我们的测量值
$ A $，选择矩阵
$ x $，我们的信号
$ \ lambda $一些常数
$ F（x）$傅立叶变换。

您可以回想一下，奈奎斯特（Nyquist）说过，您必须以最高频率的两倍进行测量才能获得良好的表示。好吧，那是假设您的信号中有无限的频率。我们可以克服！！

压缩感测领域可以重构在某些域中几乎为零（或稀疏）的任何信号。好吧，傅立叶变换就是这种情况。

#7 楼

傅里叶变换的主要重要性在于系统分析。宇宙的主要组成部分是真空，真空基本上是场的线性和时不变的载体：不同的场通过相加各自的矢量来叠加，并且无论何时重复应用某些场，其结果都是相同的。

因此，许多涉及物理物质的系统也近似地表现为线性，时不变的系统。通过将信号与脉冲响应进行卷积来描述它们的“脉冲响应”以及对任何时间分布信号的响应。

卷积是一种可交换的关联运算，但在计算和概念上也相当昂贵。但是，函数的卷积通过傅立叶变换映射为分段乘法。

这意味着线性时不变系统及其组合的性质在傅立叶变换后得到了更好的描述和操纵。

结果，诸如“频率响应”之类的特征对于描述许多系统的行为具有相当大的特征，并且对于表征它们的系统很有用。但并非完全相同，完全不同于傅立叶变换”类，因为尽管在其理论中确定了路线，但它们的结果并不能真正理解为傅立叶变换。仅当以变换间隔的周期性谈论采样信号时，它们完全对应于傅立叶变换。特别是，几乎总是不符合“定期性”标准。但是，在做正确的事情时，FFT可以用于离散时间卷积，它是一种高效的算法，对很多事情都有用。也适用于数论变换（在离散数域而不是复杂的“实数”中工作）以进行快速卷积，例如在乘以庞大的数或多项式时。在这种情况下，基本上对于任何输入，“频域”都与白噪声没有区别，并且在再次进行逆变换之前没有有用的解释。

#8 楼

傅立叶变换的物理意义是它告诉信号中出现的频率的相对幅度。它既可以定义为离散时间信号也可以定义为连续时间信号。
任何信号都可以表示为许多谐波频率的混合。傅里叶变换在滤波器应用中有帮助，在滤波器应用中，我们只需要特定范围的频率，然后我们首先需要知道信号中包含的频率幅度是多少。