负频率的物理意义是什么？

#1 楼

负频率对于正弦波没有多大意义，但是傅立叶变换不会将信号分解为正弦波，而是将其分解为复指数（也称为“复正弦波”或“正弦波”）：

$$ F（\ omega）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} f（t）\ color {Red} {e ^ {-j \ omega t}} \\，dt $$

这些实际上是螺旋形的，在复杂的平面中旋转：可以是左手或右手（顺时针或逆时针旋转），这就是负频率的概念。您也可以将其视为在时间上向前或向后的相角。

在实信号的情况下，总是存在两个等幅复数指数，它们以相反的方向旋转，因此它们实部合并，虚部抵消，结果只剩下一个正弦曲线。这就是正弦波频谱始终具有2个尖峰，一个正频率和一个负频率的原因。根据两个螺旋的相位，它们可能会抵消，留下纯正弦波，纯余弦波或纯正弦波等。

正负频率分量两者都是产生真实信号所必需的，但是如果您已经知道它是真实信号，频谱的另一端不会提供任何额外的信息，因此通常会被手动挥舞并被忽略。对于复杂信号的一般情况，您需要了解频谱的两侧。

#2 楼

假设您有一个纺车。您如何描述旋转的速度？您可能会说它以每分钟X转（rpm）的速度旋转。现在，您如何向这个方向传递数字呢？如果顺时针或逆时针旋转，则等于q​​4312079q rpm。因此，您要挠着头说，哦，好吧，这是一个聪明的主意：我将使用X的约定表示它是顺时针旋转，而+X表示是逆时针旋转。瞧！您已经发明了负转速！


负频率与上述简单示例没有什么不同。从纯音正弦波的傅立叶变换可以看到一个简单的数学解释，说明负频率是如何产生的。 } \ longleftrightarrow \ delta（\ omega + \ omega_0）$（忽略常数乘项）。对于纯正弦波（实数），我们来自欧拉关系：

$$ \ cos（\ omega_0 t）= \ frac {e ^ {\ jmath \ omega_0t} + e ^ {-\ jmath \ omega_0 t}} {2} $$

以及其傅立叶变换对（再次忽略常数乘数）：

$$ \ cos（\ omega_0 t） \ longleftrightarrow \ delta（\ omega + \ omega_0）+ \ delta（\ omega- \ omega_0）$$

您可以看到它有两个频率：一个为$ \ omega_0 $，一个为负。根据定义，一个在$-\ omega_0 $！ $ ae ^ {\ jmath \ omega_0 t} $的复数正弦曲线被广泛使用，因为它在简化我们的数学计算中非常有用。但是，它只有一个频率，而实际的正弦波实际上有两个频率。

#3 楼

目前，我的观点（可能会发生变化）如下：对于正弦重复，只有正频率才有意义。物理解释很清楚。
对于复杂的指数重复，正负频率都是有意义的。可以将物理解释附加到负频率。负频率的物理解释与重复的方向有关。

Wiki上对频率的定义是：“频率是每单位时间重复事件的发生次数” >
如果坚持这个定义，负频率是没有意义的，因此没有物理解释。但是，对于复杂的指数重复（也可能具有方向），这种频率定义并不彻底。

在进行信号或系统分析时，始终使用负频率。其根本原因是欧拉公式$$ e ^ {j \ omega n} = \ cos（\ omega n）+ j \，\ sin（\ omega n）$$和复指数是LTI的本征函数的事实系统。

正弦曲线重复通常是令人感兴趣的，并且复杂的指数重复通常用于间接获得正弦曲线重复。通过考虑使用复杂指数编写的傅立叶表示，可以很容易看出两者之间的关系，例如
$$ x [n] = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ pi} ^ {\ pi} \！\！\！d \ omega \; \; \; \; X（e ^ {j \ omega}）e ^ {j \ omega n} $$

但是等效于

$$ x [n] = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {0} ^ {\ pi} \！\！d \ omega \; \; [ a（\ omega）\ cos（\ omega n）+ b（\ omega）\ sin（\ omega n）] = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {0} ^ {\ pi} \！\ d \ omega \; \; \ alpha（\ omega）\ sin（\ omega n + \ phi（\ omega））] $$

因此，与其考虑正弦“正弦频率轴”，不考虑正负“复指数”频率轴”。
在“复指数频率轴”上，对于实际信号，众所周知，负频率部分是多余的，仅考虑正“复指数频率轴”。在隐式地执行此步骤时，我们知道频率轴代表复指数重复而不是正弦重复。

复指数重复是复平面中的圆形旋转。为了创建正弦曲线重复，需要进行两个复杂的指数重复，一个顺时针重复，一个逆时针重复。
如果构造的物理设备产生正弦曲线重复的灵感是在复杂平面中产生正弦曲线重复的方式，也就是说，通过两个沿相反方向旋转的物理旋转设备，则可以说是一个旋转设备具有负频率，因此负频率具有物理解释。

#4 楼

在许多常见的应用中，负频率根本没有直接的物理意义。考虑在某些电路中具有电阻器，电容器和电感器的输入和输出电压的情况。仅存在一个频率的实际输入电压，而具有相同频率但幅度和相位不同的单个输出电压。

考虑复杂信号，复杂傅立叶变换和相量的唯一原因此时的数学在数学上很方便。您可以使用完全真实的数学来做得很好，但是要困难得多。

有不同类型的时间/频率变换。傅立叶变换使用复数指数作为其基函数，并且将其应用于单个实值正弦波时会产生两个值的结果，该结果被解释为正负频率。还有其他变换（例如离散余弦变换）根本不会产生任何负频率。同样，这是数学上的便利性问题；傅立叶变换通常是解决特定问题的最快，最有效的方法。

#5 楼

您应该研究傅立叶变换或级数以了解负频率。的确，傅里叶表明我们可以使用一些正弦波显示所有波。每个正弦波可以在该波的频率处显示两个峰值，一个峰值为正，另一个为负。因此理论上的原因很明确。但是出于物理原因，我经常看到人们说负频率只是数学意义。但是我想我不太确定是一种物理解释。当您将圆周运动作为讨论波浪的主要原理时，半圆上的运动速度方向与另一半相反。这可能就是为什么每个正弦波在频域的两侧都有两个峰值的原因。

#6 楼

负距离是什么意思？一种可能性是它是连续的，因此您不必在每次穿越赤道时都将地球翻转过来，而希望使用连续的一阶导数将位置北移。频率时，可能会进行调频调制，调制范围比载波频率宽。您将如何绘制？

#7 楼

解决问题的一种简单方法是对驻波成像。驻波（在时域中）可以表示为两个反向移动的行波之和（在频域中具有正和负k矢量，或者等价于+ w和-w）。这就是为什么您在FFT中有两个频率分量的答案。 FFT基本上是许多这样的反向传播波的和（卷积），它们在时域中表示您的功能。

#8 楼

过去通常是为了获得正确的功率答案，因此必须将答案加倍。但是，如果您从负无穷大到正无穷大进行积分，那么您会得到正确的答案，而不会出现任意倍数。所以他们说一定有负面的频率。但是没有人真正找到过它们。因此，它们是虚构的，或者至少是从物理角度无法解释的。

#9 楼

事实证明，这是一个非常热门的话题。

在阅读了许多丰富而多样的意见和解释并将
问题搁置一段时间后，我相信我已经负频率现象的物理解释。我相信这里的关键解释是傅立叶对时间不了解。进一步说明：

关于频率的“方向”已有很多讨论，因此它可以是
+ ve或-ve。作者的总体见解说这并没有丢失，但是该声明与时间频率的定义不一致，因此首先我们必须非常仔细地定义术语。例如：


距离是一个标量（只能是+ ve），而位移是一个向量。 （即具有
方向，可以为+ ve或-ve来说明标题。）
速度是标量（只能是+ ve），而速度是矢量。 （即再次具有
方向，可以是+ ve或-ve）。

因此，出于相同的原因，



时间频率是一个标量，（只能是+ ve）！频率定义为每单位时间的
循环数。如果这是公认的定义，我们不能简单地说它正在朝着“不同的方向”发展。它毕竟是标量。相反，我们必须定义一个新术语-频率的向量等效项。也许“角频率”在这里是正确的术语，而实际上，这正是数字频率所测量的。

现在，我们突然开始测量单位时间的转数，
（可以有方向的矢量），VS只是一些物理振荡的重排数。

因此，当我们询问负频率的物理解释时，我们是/>还隐式地询问有关
的数量的标量和非常真实的度量某些物理现象（如海滩上的波，导线上的正弦交流电）在单位时间内的振荡会映射到此角频率，现在所有突然发生的事情都顺时针或逆时针。

从这里开始，要对负频率进行物理解释，需要注意两个事实。第一个是如Fourier所指出的，可以通过将两个具有矢量角频率，+ w和-w的振荡复音（
）相加来构造具有
标量时间频率f的振荡实音。 。

$$
\ cos（\ omega_0 t）= \ frac {e ^ {\ jmath \ omega_0t} + e ^ {-\ jmath \ omega_0 t}} {2}
$$

很好，但是那又怎样呢？好吧，复杂的音调正以彼此相反的方向旋转。 （另请参阅塞巴斯蒂安的评论）。但是这里赋予我们角频率矢量状态的“方向”的意义是什么？旋转方向上反映了什么物理量？答案是时间。在第一个复调中，时间沿+ ve方向传播，而在第二个复调中，时间沿-ve方向传播。时间在倒退。

牢记这一点并迅速转移注意力以回想起时间频率是相位相对于时间的一阶导数，（相位随时间的变化） ），一切开始落入原位：

负频率的物理解释如下：也就是说，如果您考虑一下，在傅立叶分析中没有任何内容或变换本身可以告诉您时间的“方向”是什么。现在，想象一个物理振荡系统（例如，一个真实的正弦波，通过导线上的电流）以某个标量时间频率f振荡。

想象一下，随着时间的推移，在时间的前进方向上“俯视”这波浪。现在
想象一下在您进一步进步的每个时间点的相位差。
这将为您提供标量时间频率，并且您的频率为正。到目前为止，
很好。

但是请稍等-如果傅立叶对时间视而不见，那为什么只考虑在“前进”时间方向上波动呢？时间方向没有什么特别的。因此，通过对称，还必须考虑其他时间方向。因此，现在可以想象“看”到同一波（即时间倒退），并且执行相同的增量相位计算。由于时间现在在倒退，并且您的频率是相位变化/（负时间），因此您的频率现在将为负！在
频率档位f的时间上向前播放，但即使在频率档位
-f的时间上向后播放，ALSO也具有能量。从某种意义上说，它必须这样说是因为傅立叶无法“知道”时间的“真实”方向！

那么傅立叶如何捕获呢？好了，为了显示时间的方向，必须采用某种旋转方式，以使顺时针旋转将时间方向箭头中的信号“看”去，而逆时针旋转将信号方向中的信号“看”去。如果时间倒退。现在我们都熟悉的标量时间频率应该等于矢量角频率的（比例）绝对值。但是，一个表示正弦波位移的点如何在一个周期之后到达其起点，却又同时绕一个圆旋转并保持其表示的时间频率的表现？仅当该圆的主轴由测量该点相对于原始正弦曲线的位移组成，并且正弦曲线偏离90度时才可以。 （这正是傅立叶在每次执行DFT时针对您的投影获取正弦和余弦基准的方式！）最后，我们如何使那些轴分开？ “ j”保证了每个轴上的大小始终独立于另一个轴上的大小，因为不能在两个域中添加实数和虚数以产生新的数。 （但这只是附带说明）。

因此，总结：

傅立叶变换与时间无关。它不能说出时间的方向。这是负频率的核心。由于频率=相变/时间，因此，只要您对信号进行DFT，傅立叶就说，如果时间向前，您的能量位于+ ve频率轴上，但是如果时间向后，则您的能量为位于-ve频率轴上。

正如我们的宇宙先前所示，正是因为傅立叶不知道时间方向，DFT的两侧必须对称，以及为什么存在负频率是必要的，实际上非常真实。