为什么通过将FFT档归零进行过滤是个坏主意？

t = linspace(0, 1, 256, endpoint=False)
x = sin(2 * pi * 3 * t) + cos(2 * pi * 100 * t)
X = fft(x)
X[64:192] = 0
y = ifft(X)

#1 楼

频域中的归零仓与频域中的矩形窗相乘相同。频域中窗口的乘积与时域中该窗口的变换的循环卷积相同。矩形窗口的变换是Sinc函数（$ \ sin（\ omega t）/ \ omega t $）。请注意，Sinc函数具有许多较大的波纹，并且这些波纹会扩展时域孔径的整个宽度。如果可以输出所有这些纹波（振铃）的时域滤波器是一个“坏主意”，则归零箱也是如此。或FFT孔径宽度中的非整数周期。因此，如果您的原始FFT输入数据是该窗口中某些非周期性数据（例如，大多数非同步采样的“真实世界”信号）上的一个窗口，则这些特定的伪像将由归零仓产生。另一种看待它的方法是，每个FFT结果仓在时域中代表一定频率的正弦波。因此，将仓归零将产生与减去该正弦波相同的结果，或者等效地，添加一个具有精确FFT仓中心频率但相位相反的正弦波。请注意，如果时域中某些内容的频率在FFT宽度上不是纯粹的整数周期，则尝试通过添加正整数周期正弦波的逆来消除它，不会产生静默，而是看起来更像“拍子”音符（不同频率的AM调制正弦波）。同样，可能也不需要。相反，如果您的原始时域信号只是几个纯粹的未调制正弦波，这些正弦波在FFT孔径宽度中都是正整数周期的，则对FFT零位进行零位处理删除没有伪像的指定对象。

#2 楼

这个问题也让我很困惑。 @ hotpaw2的解释很好。
您可能对使用matlab的简单实验感兴趣。

https://poweidsplearningpath.blogspot.com/2019/04/dftidft.html


更新了信息。

要验证这一事实是否简单，我们只需要仔细观察理想的（？）带通滤波器的脉冲响应频谱即可，该滤波器只是归零FFT分档。为什么需要“谨慎”添加副词？如果我们仅使用相同大小的FFT来观察脉冲响应，就会被欺骗，如图1所示。尽管如此，如果在观察滤波器的输出时添加DFT的阶数，即零填充脉冲响应，我们可以发现所谓的吉布斯现象，即频域的波纹，如图2所示。

结果实际上来自开窗效应。如果您想完全理解问题，请参阅DSP（1）圣经的7.6章和10.1-10.2章。总结起来，这里要指出三个关键点。


窗口大小和DFT（FFT）的顺序是完全独立的。请勿将它们混合在一起。
窗口的属性（类型/大小）主导DTFT的形状。 （例如，更宽的主瓣导致频率响应中更宽的瞬变带。）
DFT只是DTFT在频域中的采样。而且，DFT的阶数越高，DFT的频谱越密集。

因此，借助图2中更密集的频谱，我们可以看到理想（伪）波段的蒙版通过过滤器。

欺骗频率。响应。

Freq中的吉布斯现象。回应。

（1）艾伦·奥本海姆和罗纳德·W·谢弗。 2009。离散时间信号处理（第3版）。美国新泽西州上萨德尔河Prentice Hall出版社。

fps = 15;

LPF = 1;
HPF = 2;

n = -511:512;
n0 = 0;
imp = (n==n0);

NyquistF = 1/2*fps;

%% Ideal BPF
tmp_N = 512;
tmp_n = 0:1:tmp_N-1;
freq = ( n .* fps) ./ tmp_N;
F = fft(imp, tmp_N);  
F_bpf = IdealBandpassFilter(F, fps, LPF, HPF);
imp_rep =[real(ifft(F_bpf))'];

% Zero padding.
imp_rep2 =[zeros(1,2048) real(ifft(F_bpf))' zeros(1,2048)];

N = 2^nextpow2(length(imp_rep));
F = fft(imp_rep,N);
freq_step = fps/N;
freq = -fps/2:freq_step:fps/2-freq_step;
freq = freq(N/2+1:end)';

figure;
plot(freq,abs(F(1:N/2)));
xlabel('freq(Hz)');
ylabel('mag');
title('Mis leading Freq Response');


N = 2^nextpow2(length(imp_rep2));
F = fft(imp_rep2,N);
freq_step = fps/N;
freq = -fps/2:freq_step:fps/2-freq_step;
freq = freq(N/2+1:end)';

figure;
plot(freq,abs(F(1:N/2)));
xlabel('freq(Hz)');
ylabel('mag');
title('Zero Padding (DFT) with more points');

%% Function
function filered_signal = IdealBandpassFilter(input_signal, fs, w1, w2)

    N = length(input_signal);
    n = 0:1:N-1;
    freq = ( n .* fs) ./ N;

    filered_signal = zeros(N, 1);

    for i = 1:N
        if freq(i) > w1 & freq(i) < w2
            filered_signal(i) = input_signal(i);
        end

    end
end

#3 楼

FFT的时间分辨率差，即在特定时间存在的时间没有给出信息。它给出了有关给定信号持续时间的现有频率分量的信息。

通过FFT中的归零仓在时域IFFT之后给出较差的分辨率。