系统的“脉冲响应”和“频率响应”是什么意思？

#1 楼

脉冲响应和频率响应是两个对于表征线性时不变（LTI）系统有用的属性。它们提供了两种不同的方式来计算给定输入信号下LTI系统的输出。连续时间LTI系统通常如下所示：



通常，系统$ H $将其输入信号$ x（t）$映射到相应的输出信号$ y（t）$。有很多类型的LTI系统可以对通过它们的信号进行非常不同的转换。但是，它们都具有两个关键特征：系统是线性的，因此它遵循叠加原理。简而言之，如果您将两个信号线性组合并输入到系统中，则输出与单个传递信号时输出的线性组合相同。也就是说，如果$ x_1（t）$映射到$ y_1（t）$和$ x_2（t）$映射到$ y_2（t）$输出，则对于$ a_1 $和$的所有值a_2 $，

$$
H \ {a_1 x_1（t）+ a_2 x_2（t）\} = a_1 y_1（t）+ a_2 y_2（t）
$ $


系统是随时间变化的，因此其特性不会随时间变化。如果将延迟添加到输入信号，则只需将相同的延迟添加到输出。对于映射到输出信号$ y（t）$的输入信号$ x（t）$，则对于$ \ tau $的所有值，

$$
H \ { x（t-\ tau）\} = y（t-\ tau）
$$

离散时间LTI系统具有相同的属性；由于离散与连续的差异，因此表示法有所不同，但是它们非常相似。这些特性允许使用其脉冲和频率响应来直接表征系统的运行。他们提供了可以在不同上下文中使用的系统的两种观点。

脉冲响应：

在术语脉冲响应中所指的脉冲通常是短时域的时域信号。对于连续时间系统，这是狄拉克增量函数$ \ delta（t）$，而对于离散时间系统，通常使用Kronecker增量函数$ \ delta [n] $。系统的脉冲响应（对于连续时间系统，通常标注为$ h（t）$；对于离散时间系统，通常标注为$ h [n] $），是将脉冲施加到系统输入时产生的输出信号。

为什么有用？它使我们能够预测时域中系统的输出情况。还记得上面提到的线性和时不变性吗？如果我们可以将系统的输入信号分解为一堆组件之和，则输出等于这些组件中每个组件的系统输出之和。如果我们可以将输入信号分解成按比例缩放和时移的脉冲，该怎么办？然后，输出将等于脉冲响应副本的总和，以相同的方式缩放和时移。

对于离散时间系统，这是可能的，因为您可以将任何信号$ x [n] $写为缩放和时移的Kronecker增量函数的和： > $$
x [n] = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} x [k] \ delta [n-k]
$$

每个总和中的项是在该瞬间按$ x [n] $的值缩放的脉冲。如果通过LTI系统传递$ x [n] $来产生$ y [n] $，将会得到什么？简单：我们输入的每个按比例缩放和时间延迟的脉冲都会在输出处产生按比例缩放和时间延迟的脉冲响应副本。即：

$$
$$

其中$ h [n] $是系统的脉冲响应。上式是离散LTI系统的卷积定理。也就是说，对于输入到LTI系统的任何信号$ x [n] $，系统的输出$ y [n] $等于输入信号的离散卷积和系统的脉冲响应。

对于连续时间系统，上述严格意义上的直接分解是不可能的（狄拉克三角洲的宽度为零，高度为无限），但是在工程水平上，这是一种近似，直观的观察问题。对于这些系统，类似的卷积定理也适用： tau）d \ tau
$$

其中，$ h（t）$是系统的脉冲响应。有多种方法可以推导这种关系（我认为您可以通过声明Dirac delta函数在所有时间偏移上都构成$ L ^ 2 $ Hilbert空间的正交基础来提出类似的论点，请注意，您可以使用增量函数的筛选属性在该基础上投影$ L ^ 2 $中的任何函数，因此允许您根据与基础相关的输出来表示系统输出（即时移脉冲响应），但是我不是有执照的数学家，因此我将其放在一边）。

总结：对于离散时间系统和连续时间系统，脉冲响应都是有用的，因为它使我们能够计算出LTI系统的输出。这些系统用于任何输入信号；输出只是与脉冲响应函数卷积的输入信号。

频率响应：

LTI系统的频率响应提供了类似的功能：它允许您计算效果系统将对输入信号产生的影响，除非在频域中说明了这些影响。回顾傅立叶变换的定义：

$$
X（f）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）e ^ {-j 2 \ pi ft} dt
$$

为了说明这个问题，请看一下它的反函数：

$$
x（t）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X（f）e ^ {j 2 \ pi ft} df
$$

本质上，这种关系告诉我们，任何时域信号$ x（t）$都可以分解为许多复指数的线性组合函数可以在不同的频率下运行（离散时间信号存在类似的关系，称为离散时间傅立叶变换；为简单起见，我仅在下面处理连续时间情况）。对于时域信号$ x（t）$，傅立叶变换产生相应的函数$ X（f）$，该函数为每个频率$ f $指定在频率$ f $处应用于复指数的比例因子在上述线性组合中。这些比例因子通常是复数。一种查看复数的方法是幅度/相位格式，即：

$$
X（f）= A（f）e ^ {j \ phi（f）}
$$

这样看，那么，$ x（t）$可以写成许多复杂的指数函数的线性组合，每个函数的幅度由函数$ A缩放（f）$并通过函数$ \ phi（f）$进行相移。这与我们之前讨论的LTI系统属性非常吻合。如果我们可以将输入信号$ x（t）$分解成一堆复杂的指数函数的线性组合，那么我们可以将系统的输出写成系统对那些复杂的指数函数的线性组合。 br />
在这里变得更好：指数函数是线性时不变系统的本征函数。这个想法类似于线性代数中的特征向量，如果将指数函数放入LTI系统中，则会得到相同的指数函数，并按（通常为复数）值进行缩放。这具有更改您所输入的指数函数的振幅和相位的效果。

当与上面讨论的基于傅立叶变换的分解结合使用时，这非常有用。如前所述，我们可以将任意信号$ x（t）$写为频率变化时许多复指数函数的线性组合。如果将$ x（t）$传递到LTI系统中，那么（因为那些指数是系统的本征函数），输出将包含相同频率下的复杂指数，仅在幅度上缩放并且在相位上移动。这些对指数幅度和相位的影响（作为频率的函数）是系统的频率响应。也就是说，对于将具有傅立叶变换$ X（f）$的输入信号传递到系统$ H $以产生具有傅立叶变换$ Y（f）$的输出，

$$
Y（f）= H（f）X（f）= A（f）e ^ {j \ phi（f）} X（f）
$$

总结：因此，如果我们知道系统的频率响应$ H（f）$和放入其中的信号$ X（f）$的傅立叶变换，则可以很容易地计算出系统输出的傅立叶变换。它仅仅是频率响应和输入信号变换的乘积。对于频谱$ X（f）$中存在的每个复数指数频率，系统都会将幅度上的指数按比例缩放$ A（f）$，并将相位上的指数相移$ \ phi（f）$。弧度。

将它们组合在一起：

LTI系统的脉冲响应和频率响应密切相关。频率响应只是系统脉冲响应的傅立叶变换（要了解这种关系为何成立，请参见另一个问题的答案）。因此，对于连续时间系统：

$$
H（f）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} h（t）e ^ {-j 2 \ pi ft} dt
$$

因此，给定一个系统的脉冲响应或其频率响应，就可以计算另一个。任一个都足以完全表征系统的行为。脉冲响应在时域中工作时很有用，而频率响应在分析频域中的行为时很有用。

#2 楼

迅速敲击一下某个东西，然后绘制它在时域中的响应方式（例如使用示波器或笔式绘图仪）。这将接近脉冲响应。

获取声音发生器并振动具有不同频率的物体。它会放大一些谐振频率。其他人可能根本不响应。绘制响应大小和相位与输入频率的关系图。这将接近于频率响应。

对于某些常见类别的系统（系统随时间变化不大，并且任何非线性都足够小，可以忽略此处的目的） ），这两个响应是相关的，并且拉普拉斯（Laplace）或傅立叶变换可能适用于近似该关系。

#3 楼

脉冲响应是系统对持续时间和单位能量无限小的单个脉冲（狄拉克脉冲）的响应。频率响应显示了系统对每个频率的衰减或放大程度。

系统的频率响应是转换为频域的脉冲响应。如果您有脉冲响应，则可以使用FFT查找频率响应，并且可以使用逆FFT从频率响应转换为脉冲响应。

#4 楼

很快，我们有两种基本响应：时间响应和频率响应。时间响应测试系统如何在瞬时干扰下工作，而频率响应测试在连续干扰下。时间响应包含诸如阶跃响应，斜坡响应和脉冲响应之类的东西。频率响应包含正弦响应。
阿尔托大学在这里免费提供一些Mat-2.4129材料课程，最相关的可能是Matlab文件，因为芬兰语中的大多数内容。如果您更感兴趣，可以查看下面的视频以获取介绍视频。我发现它们对自己有帮助。
我对LTI问题只有非常基本的知识，因此我将在下面进行介绍-但肯定会有更多不同类型的问题！
线性时不变问题的响应

对于LTI（线性时不变）问题，输入和输出必须具有相同的形式：正弦输入具有正弦输出，并且类似地，阶跃输入结果也变为阶跃输出。如果您没有LTI系统-假设您有反馈或您的控制/噪声和输入相关-那么上述所有断言可能都是错误的。使用LTI，您将获得两种类型的变化：相移和幅度变化，但是频率保持不变。如果您用非相关假设打破某些假设，那么输入和输出的形式可能会非常不同。
如果您需要调查系统是否为LTI，则可以使用Wiener- Hopf方程和相关分析。 Wiener-Hopf方程用于嘈杂的系统。验证结果和验证前提至关重要，否则容易因不同的响应而犯错误。有关在此处确定带有噪声系统的脉冲响应的更多信息。 br />关于这里和这里的不同回答的非常好的介绍视频-以下是几个关键点。