两个信号的卷积的物理含义是什么？

#1 楼

卷积运算没有特别的“物理”含义。卷积在工程中的主要用途是描述线性时不变（LTI）系统的输出。 LTI系统的输入输出行为可以通过其脉冲响应来表征，并且LTI系统针对任何输入信号$ x（t）$的输出可以表示为输入信号与系统的脉冲响应的卷积。

即，如果将信号$ x（t）$应用于具有脉冲响应$ h（t）$的LTI系统，则输出信号为：

$ $
y（t）= x（t）* h（t）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（\ tau）h（t-\ tau）d \ tau
$$

就像我说的那样，没有太多的物理解释，但是您可以定性地认为卷积是在某些时候及时“抹掉” $ x（t）$中存在的能量方式，取决于脉冲响应$ h（t）$的形状。在工程水平上（严格的数学家不赞成），您可以通过更仔细地查看被积物本身的结构来获得一些见识。您可以将输出$ y（t）$视为脉冲响应的无数个副本的总和，每个副本的偏移时间略有不同（$ \ tau $），并根据输入信号的值进行缩放对应于延迟的$ t $值：$ x（\ tau）$。

这种解释类似于将离散时间卷积（在Atul Ingle的答案中进行了讨论）限制为无限短的采样周期，这在数学上也不是完全合理的，但是使得一种直观的直观方法，用于可视化连续时间系统的动作。

#2 楼

对于离散信号而言，一种特别有用的直观解释是将卷积视为“回波的加权总和”或“存储器的加权总和”。

暂时，假设输入信号为具有传递函数$ h（n）$的离散LTI系统是一个冲量$ \ delta（nk）$。卷积是
\ begin {eqnarray}
＆=＆h（nk）。
\ end {eqnarray}
这只是传递函数的回波（或内存），延迟为k个单位。

现在将任意输入信号$ x（n）$作为加权函数$ \ delta $的总和。然后，输出是h（n）的延迟版本的加权和。

例如，如果$ x（n）= \ {1、2、3 \} $，则写$ x（n）= \ delta（n）+ 2 \ delta（n-1 ）+ 3 \ delta（n-2）$。

系统输出是回声$ h（n）$，$ h（n-1）$和$ h（n-2）$的权重1、2和3的总和， 分别。

所以$ y（n）= h（n）+ 2h（n-1）+ 3h（n-2）$。

#3 楼

理解卷积的一种直观好方法是查看点源的卷积结果。

例如，用哈勃太空望远镜有缺陷的光学器件对点进行2D卷积就可以创建此图像：



现在想象一下，如果图片中有两个（或更多）星星，会发生什么：您将以每个星星为中心两次（或更多）得到这种模式。图案的光度与恒星的光度有关。 （请注意，星实际上实际上始终是点源。）

这些模式基本上是点源与卷积模式的乘积，结果存储在像素中，以便在出现像素时复制模式

我可视化卷积算法的个人方式是在源图像的每个像素上循环。在每个像素上，将其乘以卷积图案的值，然后将结果存储在相对位置与图案相对应的像素上。在每个像素上执行此操作（并在每个像素上求和结果），即可得到结果。

#4 楼

想想看...想像一下您要反复敲打鼓以听音乐吗？您的鼓棒将首次落在膜片上，并且由于其冲击会振动。当您第二次撞击时，第一次撞击的振动已经减弱到一定程度。因此，无论您听到的声音是当前的声音以及先前撞击衰减响应的总和。因此，如果$ x（k）$是对$ k $瞬间的冲击力，则冲击将为$ x（k）dk $

如果$ dk $无限短的撞击时间

，并且您听到的声音是$ t $，则经过的时间为$ tk $，
假设鼓膜有衰减作用，由函数$ h（u）$定义，其中$ u $是经过的时间，在我们的例子中是$ tk $，因此$ k $的影响将为$ h（tk）$。因此，在时间t处$ x（k）dk $的效果将是两者的乘积，即$ x（k）h（tk）dk $。

所以我们听到的音乐的整体效果
将是所有影响的综合效果。
从负无穷大到正无穷大也是如此。
这就是所谓的卷积。

#5 楼

您也可以将卷积视为一种信号在另一种信号上的拖尾/平滑。如果您有一个带有脉冲的信号和另一个（例如，单个方波）信号，则结果将是模糊的或平滑的脉冲。

另一个例子是两个被卷积的方波以扁平梯形形式出现。

#6 楼

如果使用镜头散焦的相机拍照，则结果是将聚焦的图像与散焦的点扩散函数进行卷积。

一对骰子和的概率分布是单个骰子的概率分布的卷积。

长乘法是卷积，如果您不携带一位到另一位的话。如果您翻转其中一个数字。与{9，4}卷积的{2，3，7}是{8，30，55，63}

      2   3   7
   X      4   9
---------------
     18  27  63 
  8  12  28
---------------
  8  30  55  63

（可以通过乘以从63到55的“ 6”，依此类推。）

#7 楼

在信号和系统中，卷积通常与输入信号和脉冲响应一起使用以获得输出信号（第三信号）。将卷积视为“过去输入的加权总和”会更容易，因为过去的信号也会影响当前输出。

我不确定这是否是您要寻找的答案，但是我制作了一个视频最近，因为它困扰了我很长时间。
https://www.youtube.com/watch?v=1Y8wHa3fCKs&t=14s
这是一个简短的视频。请原谅我的英语笑。

#8 楼

观察卷积的另一种方法是认为您有两件事：


数据-数量一定会因某些噪声而损坏-并且位于随机位置（在时间，空间上命名） br /> PATTERN =有关信息外观的一些知识

DATA与PATTERN（镜像对称）的卷积是另一个评估的数量-知道PATTERN-它有多大可能

从技术上讲，此数量在每个位置上都是相关性（这是PATTERN的镜像），因此可以在某些一般假设下测量对数似然性（独立的高斯噪声）。卷积允许并行计算每个位置（在空间，时间...）。

#9 楼

卷积是一个整数，表示一个函数（例如$ g $）移到另一个函数（例如$ f $）时的重叠量，其中$ g * f $。

#10 楼

物理含义是信号通过LTI系统！卷积定义为翻转（信号之一），移位，乘法和求和。我将解释每个人的直觉。

1。为什么我们以卷积方式翻转一个信号，这是什么意思？

因为输入信号表示中的最后一点实际上是进入系统的第一个点（请注意时间轴）。
卷积是为线性计时器不变系统定义的。它与时间以及我们如何在数学中表示时间有关。卷积有两个信号，一个代表输入信号，一个代表系统响应。因此，这里的第一个问题是系统响应的信号是什么？系统响应是在给定时间t中系统的输出到给定时间t中只有一个非零元素的输入（脉冲信号被t移位）。为什么信号逐点相乘？

再次，让我们参考系统响应信号的定义。如上所述，它是通过将脉冲函数移动t并绘制每个t's的输出而形成的信号。我们还可以将输入信号想象成具有不同幅度（比例）和相位的脉冲函数之和。好的，因此系统在任何给定时间内对输入信号的响应就是信号响应本身乘以（或缩放）在给定时间内输入的幅度。

3。移位的含义是什么？

已经说过（1和2），执行移位以获取系统在某个时间t的任何输入信号点的输出。

希望对您有帮助！

#11 楼

[由于问题不断，请简短编辑]输出是两个输入信号或功能的联合滤波。换句话说，如何以$ x_2 $平滑$ x_1 $作为过滤器，对称地以$ x_1 $平滑$ x_2 $如何作为平滑函数。在某种程度上，这种卷积是两个信号（而不是数字）之间的一种“最小公倍数”。点。销的头部，很细，在空白处。您可以像Dirac（离散或连续）那样抽象它。



从远处看，或者像一个近视的人（就我而言），它变得模糊。现在，想象一下重点也在盯着你。从“观点”的角度来看，您也可以是唯一的。该点也可以是近视的，并且两者之间的介质（作为奇异点）是不透明的。

所以，卷积就像是困扰水的桥梁。我从没想过我可以在这里引用西蒙和加芬克尔。试图互相抓住的两种现象。结果是一个模糊，一个模糊，另一个模糊，对称。模糊不必相同。您的近视模糊与对象的模糊性均匀地结合在一起。这样的对称性使得如果对象的模糊性成为您的视线障碍，反之亦然，则整体模糊保持不变。如果其中一个是理想的，则另一个不变。如果可以清楚地看到，则可以看到对象的确切模糊度。如果对象是一个完美的点，则可以准确地衡量您的近视。

所有这些都是在某些线性假设下得出的。卷积是一个复杂的操作。在傅立叶域中，您可以将其解释为模糊的产物。或者在$ \ log $ -Fourier域中，它可以解释为模糊的总和。

您可以检查，但是为什么呢？直观数学：卷积

#12 楼

在给定环境（房间，开放空间等）中，您听到声音的方式是音频信号与该环境的脉冲响应的卷积。

在这种情况下，脉冲响应代表了环境的特征。例如音频反射，音频延迟和速度会随温度而变化。

#13 楼

改写答案：

信号处理是过去到现在的加权总和。通常，一项是滤波器输入端的电压历史，另一项是滤波器或具有“记忆”功能的滤波器。当然，在视频处理中，所有相邻像素都代替“过去”。掷骰子获得7的方法的数目是获得a的机会：6和1、3、4、2和5。即，概率P（2）的总和乘以概率P（7-2）的概率：P（ 7-2）P（2）+ P（7-1）* P（1）+ .....

#14 楼

卷积是组合两个信号以形成第三个信号的数学方法。这是DSP中最重要的技术之一……为什么？因为使用此数学运算，您可以提取系统脉冲响应。如果您不知道为什么系统脉冲响应很重要，请在http://www.dspguide.com/ch6.htm中阅读有关它的信息。使用脉冲分解策略，系统通过称为脉冲响​​应的信号进行描述。卷积很重要，因为它与三个感兴趣的信号相关：输入信号，输出信号和脉冲响应。正如乘法，加法和积分一样，它是一种形式上的数学运算。加法取两个数字并产生第三个数字，而卷积取两个信号并产生第三个信号。在线性系统中，使用卷积来描述三个感兴趣的信号之间的关系：输入信号，脉冲响应和输出信号（来自Steven W. Smith）。同样，这与脉冲响应的概念紧密相关，您需要阅读该概念。

#15 楼

它可以解释为相似性测试。如果您的卷积是
，则想象x和h在-1和+1之间。您移动并计算积分。如果它们不同，则结果是随机的，但是当在特定班次上它们会显示相似性时，此班次的结果y将为正，并且相似性越高，y值越高。因此它可以用作模式识别。 x是随机过程，h是我们尝试识别的复杂模式，y的最大值表示模式h或其最佳近似值所在的位置。

#16 楼

脉冲导致输出序列，该序列捕获系统动态（未来）。通过翻转此脉冲响应，我们将其用于计算所有先前输入值的加权组合的输出。
这是一个了不起的对偶。

#17 楼

简而言之，它意味着将输入从一个域转移到我们发现更易于使用的另一个域。卷积与拉普拉斯变换相关，有时在s域中更容易工作，在该域中我们可以对频率进行基本加法。而且因为拉普拉斯变换是一对一的函数，所以我们很可能不会破坏输入。
在尝试理解一般的定理在物理意义上意味着什么之前，我们应该从频域开始。加法和标量乘法遵循与拉普拉斯变换是线性算子相同的规则。 c1.Lap（f（x）+ c2.Lap g（x）= Lap（c1.f（x）+ c2.g（x））。
什么是Lap f（x）.Lap g（ x）。是什么定义了卷积定理。