希尔伯特变换的含义

#1 楼

希尔伯特变换的一种应用是获得所谓的分析信号。对于信号$ s（t）$，其希尔伯特变换$ \ hat {s}（t）$被定义为以下成分：

$$ s_A（t）= s（t）+ j \ hat {s}（t）$$

我们获得的分析信号具有复数值，因此我们可以用指数表示法表示：

$$ s_A（t） = A（t）e ^ {j \ psi（t）} $$

其中：

$ A（t）$是瞬时振幅（包络）

$ \ psi（t）$是瞬时相位。


那么这些有什么用？

瞬时振幅可能有用在许多情况下（广泛用于查找简单谐波信号的包络）。下面是一个脉冲响应示例：



其次，根据相位，我们可以计算瞬时频率：

$$ f（t）= \ dfrac {1} {2 \ pi} \ dfrac {d \ psi} {dt}（t）$$

在许多应用中，如频率检测，它再次很有帮助


其他用法的示例包括：


电信中窄带信号的采样（主要使用希尔伯特过滤器）。
医学成像。
到达方向的阵列处理。
系统响应分析。

#2 楼

用外行术语来说，希尔伯特变换在用于真实数据时，通过将其转变为“特定的”复杂数据，可以为平稳现象提供“真实（瞬时）振幅”（以及更多）。例如，余弦$ \ cos（t）$本质上具有幅度1，您不会直接看到它，因为它在视觉上在$ -1 $和$ 1 $之间摆动，并定期消失。希尔伯特变换以“最一致的方式”对余弦进行补充，从而使所得的复数函数$ \ cos（t）+ i \ sin（t）$保留所有初始信息，加上其“振幅”直接为1所有上述内容都需要小心，因为带限制和局部性的概念开始起作用。我很喜欢Steven G. Krantz撰写的《谐波分析的探索与复函数理论的应用》和《海森堡小组》第2章的序言：问题，分析中最重要的运算符。它出现在许多不同的
上下文中，并且所有这些上下文都以深刻而有影响力的方式交织在一起。最终的结果是，维度1中只有一个
奇异积分，这就是希尔伯特变换。
哲学是所有重要的分析问题都归结为
奇异积分；在第一维中只有一个选择。


信号/图像处理的应用众多，这可能是由于其基本特性：瞬时幅度/频率估计，构造仅用于幅度的因果滤波器（Kramers-Krönig关系），小冗余2D方向小波，不变位移边缘检测等。

我也会建议F. King在2009年出版两卷，希尔伯特变换。

#3 楼

希尔伯特变换产生的分析信号在许多信号分析应用中很有用。如果您先对信号进行带通滤波，则解析信号表示形式会为您提供有关信号局部结构的信息：峰值），$ \ pi $是负对称（波谷），而$ \ pm \ pi / 2 $是反对称（上升/下降沿）。振幅表示该点的结构强度，独立对称性（相位）。

该表示法已用于通过局部能量（幅度）进行特征检测


使用相位进行特征分类
通过相位一致性实现特征检测

它也已经通过Riesz变换扩展到了更高的维度，例如单基因信号。

#4 楼

转换（FT或Hilbert等）不会从无到有创建新信息。因此，“您获得的信息”或一维/真实信号的希尔伯特变换在所得的分析复杂信号中增加的维数，是对该信号中每个点的局部环境进行汇总的一种形式

诸如局部相位和包络幅度之类的信息实际上是有关围绕每个局部点的信号的某个宽度或范围（无限远）的信息。希尔伯特（Hilbert）变换在从一维实数信号生成复杂分析信号的一个分量时，会将信号周围范围中的某些信息压缩到信号的每个单点上，从而允许人们做出更多决策（例如， ，绘制每个局部（现在很复杂）的点或样本的包络幅度等），而不必重新扫描和/或处理每个信号上某个宽度的新（小波，Goertzel窗口等）窗口点。

#5 楼

实施希尔伯特变换使我们能够基于某些原始实值信号创建分析信号。在通讯世界中，我们可以使用分析信号轻松，准确地计算原始实值信号的瞬时幅度。该过程用于AM解调。同样从解析信号中，我们可以轻松而准确地计算原始实值信号的瞬时相位。该过程在相位和FM解调中都使用。您的教授在介绍希尔伯特变换方面是正确的，因为它在通讯系统中非常有用。

#6 楼

已经有了不错的答案，但是我想补充一点，在数字域中将信号转换为解析版本很容易（所需的半带滤波器的系数的一半等于零），但是一旦采样率就可以降低一半，本质上将处理分为实路径和虚路径。显然，这是有成本的，并且需要处理一些交叉项，但是通常，如果时钟速率是一个因素，这在硬件实现中会很有帮助。

#7 楼

正如在其他答案中已经解释的那样，希尔伯特变换用于获取无信号信号，该信号可以用于查找信号的包络和相位。

查找希尔伯特变换的另一种方法是在频域中。
由于实际信号具有相同的正负频率分量，因此在分析中该信息是多余的。

希尔伯特变换用于消除负频率部分并使正频率部分的幅度加倍（以保持功率不变）。自然通过，使频率从50MHz到450MHz。输入是两个频率分别为200MHz和500MHz的正弦信号之和。

从PSD图中，我们可以看到200MHz信号的负频率分量在500MHz信号通过时衰减。 />

#8 楼

这个问题已经有很多很好的答案，但是我想在此页面中包含这个非常简单的示例和解释，从而大大澄清了希尔伯特变换的概念和有用性：


没有负频分量的信号称为解析信号。因此，在连续时间内，每个分析信号
$ z（t）$可以表示为

$$ \ displaystyle z（t）= \ frac {1} {2 \ pi} \ int_0 ^ {\ infty} Z（\ omega）e ^ {j \ omega t} d \ omega $$，其中$ Z（\ omega）$是信号的复数系数（设置幅度和相位）
频率为$ \ omega $的正频复合正弦值$ \ exp（j \ omega t）$。任何真实的正弦曲线$ A \ cos（\ omega t + \ phi）$都可以转换为正频率复数正弦曲线$ A \ exp [j（\ omega t + \ phi）] $
通过简单地生成相位正交分量$ A \ sin（\ omega t +
\ phi）$来充当``虚部''：

$$ \ displaystyle A e ^ {j（\ omega t + \ phi）} = A \ cos（\ omega t + \ phi）+ j
A \ sin（\ omega t + \ phi）$$相正交分量可以是
通过简单的四分之一周期时间从同相分量生成的
移位。对于可以表示为许多正弦波之和的更复杂的信号，可以构造一个滤波器，将每个正弦波分量偏移四分之一周期。这称为Hilbert
变换过滤器。令$ {\ cal H} _t \ {x \} $表示应用于信号$ x $的希尔伯特变换滤波器在时间$
t $的输出。理想情况下，该滤波器具有幅度$ 1 $在所有频率处，并且
在每个正频率处引入$-\ pi / 2 $相移，在每个负频率处引入$
+ \ pi / 2 $相移。当使用实信号$ x（t）$及其希尔伯特变换$ y（t）= {\ cal H} _t \ {x \} $来形成新的复杂信号$ z（t）= x（t）+ jy（t）$，信号$ z（t）$是对应于实际信号$ x（t）$的
（复杂）分析信号。换句话说，对于任何实信号$ x（t）$，相应的
分析信号$ z（t）= x（t）+ j {\ cal H} _t \ {x \} $具有属性
$ x（t）$的所有“负频率”已被“过滤掉”。页）