相位延迟和群延迟之间有什么区别？

#1 楼

首先定义不同：


相位延迟：（负）相位除以频率
组延迟：（负）相位与频率的一阶导数

的意思是：


相位延迟：频率此点的相位角
组延迟：围绕此相位的相位变化率频率点。

何时使用一种或另一种取决于您的应用程序。组延迟的经典应用是调制正弦波，例如AM无线电。调制信号通过系统所花费的时间由群延迟而不是相位延迟给出。另一个音频示例可能是踢鼓：这主要是调制的正弦波，因此，如果要确定踢鼓将延迟多少（并可能会在时间上抹去），则可以使用组延迟来查看它。

#2 楼

它们都不能测量正弦波延迟了多少。相位延迟可以准确地测量出这一点。组延迟稍微复杂一些。想象一个短的正弦波，并在其上加上一个振幅包络，这样它就会淡入和淡出，例如，一个高斯乘以一个正弦曲线。该封套具有一定的形状，特别是具有代表该“封包”中心的峰。组延迟告诉您幅度包络将被延迟多少，尤其是该数据包的峰值将经过多少。

我想通过回到组延迟的定义来考虑这一点。 ：这是相位的导数。导数可让您在该点线性化相位响应。换句话说，在某个频率下，群延迟大致告诉您相邻频率的相位响应与该点的相位响应之间的关系。现在，请记住我们如何使用振幅调制的正弦波。幅度调制将获取正弦波的峰值，并在相邻频率处引入边带。因此，在某种程度上，群延迟可以为您提供有关边带将相对于该载波频率如何延迟的信息，并且应用该延迟将以某种方式改变幅度包络的形状。

疯了吗？因果滤波器可能具有负的组延迟！让您的高斯乘以正弦波：您可以构建一个模拟电路，这样当您通过该信号发送信号时，包络的峰值将出现在输出中的输入之前。这似乎是一个悖论，因为过滤器似乎必须“看到”未来。这绝对是很奇怪，但是要想一想，就是因为包络具有非常可预测的形状，所以过滤器已经具有足够的信息来预测将要发生的情况。如果在信号中间插入一个尖峰，则滤波器将无法预料到这一点。这是有关此的非常有趣的文章：http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

#3 楼

对于仍然不能用粉笔写的人来说，这里是一个简单的示例

通过长输入线，在其输入端输入带有幅度包络$ a（t）$的简单准正弦信号

$$ x（t）= a（t）\ cdot \ sin（\ omega t）$$

如果在传输线端测量此信号，则$ y（t） $，它可能会像这样：

$$ \ begin {align}
y（t）＆= a（t- \ tau_g）\ cdot \ sin（\ omega t + \ phi）\\
＆= a（t- \ tau_g）\ cdot \ sin \ big（\ omega（t-\ tau_ \ phi）\ big）\\
\ end {align} $ $

其中$ \ phi $是输入到输出的相位差。

如果您想要多少时间占用正弦波相位，则$ \ sin（\ omega t）$从输入到输出的传输，然后$ \ tau_ \ phi =-\ tfrac {\ phi} {\ omega} $是您在几秒钟内的答案。

如果您想要多少时间取正弦波从输入到输出的包络$ a（t）$，然后$ \ tau_g =-\ tfrac {d \，\ phi} {d \，\ omega} $是您在几秒钟内的答案。

阶段延迟只是单个频率的传播时间，而群延迟则是在应用多个频率阵列的情况下幅度失真的度量。

#4 楼

我知道这是一个很老的问题，但是我一直在寻找互联网上群延迟和相位延迟的表达式。网上没有很多这样的推导，所以我想分享一下我发现的东西。另外，请注意，此答案更像是一种数学描述，而不是直观的描述。有关直观说明，请参考以上答案。因此，这里是：
让我们考虑一个信号
$$ x（t）= a（t）\ cos（\ omega_0 t）$$
并将其传递给L.T.I.具有频率响应的系统
$$ H（j \ omega）= e ^ {j \ phi（\ omega）} $$
我们认为系统的收益是统一的，因为我们对分析系统如何改变输入信号的相位而不是增益。现在，假设时域的乘法对应于频域的卷积，则输入信号的傅立叶变换由下式给出：
$$ X（j \ omega）= {1 \ over 2 \ pi} A（j \ omega）\ cdot \ big（\ pi \ delta（\ omega-\ omega_0）+ \ pi \ delta（\ omega + \ omega_0）\ big）$$
等于
$$ X（ j \ omega）= {A（j（\ omega- \ omega_0））+ A（j（\ omega + \ omega_0））\ over 2} $$
因此，系统的输出具有给定的频谱by
$$ B（j \ omega）= {e ^ {j \ phi（\ omega）} \ over 2} \ big（A（j（\ omega- \ omega_0））+ A（j（\ omega + \ omega_0））\ big）$$
现在，要找到上述表达式的傅立叶逆变换，我们需要知道$ \ phi（\ omega）$的精确解析形式。因此，为简化起见，我们假定$ a（t）$的频率内容仅包括那些明显低于载波频率$ \ omega_0 $的频率。在这种情况下，信号$ x（t）$可以看作是调幅信号，其中$ a（t）$代表高频余弦信号的包络。在频域中，$ B（j \ omega）$现在包含两个以$ \ omega_0 $和$-\ omega_0 $为中心的窄频带（请参阅上式）​​。这意味着我们可以对$ \ phi（\ omega）$使用一阶泰勒级数展开。
$$ \ begin {align}
\ phi（\ omega）＆= \ phi（\ omega_0 ）+ \ frac {d \ phi} {d \ omega}（\ omega_0）（\ omega-\ omega_0）\\
＆= \ alpha + \ beta \ omega \\
\ end {align } $$
其中
$$ \ begin {align}
\ alpha＆= \ phi（\ omega_0）-\ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega}（\ omega_0）\\
\ beta＆= \ frac {d \ phi} {d \ omega}（\ omega_0）\\
\ end {align} $$
将其插入，我们可以计算$ B（j \ omega）$的前半部分的傅立叶逆变换为
$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A（j（\ omega-\ omega_0））e ^ {j（\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega）} d \ omega $$
替换$ \ omega-\ omega_0 $等于$ \ omega'$，则变成
$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X（j （\ omega'））e ^ {j（（\ omega'+ \ omega_0）（t + \ beta）+ \ alpha）} d \ omega'$$
简化为
$$ a （t + \ beta）\ frac {e ^ {j（\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha）}} {2} $$
为$ \ alph插入表达式a $和$ \ beta $，则变为
$$ a（t + \ beta）\ frac {e ^ {j（\ omega_0 t + \ phi（\ omega_0））}} {2} $$
类似地，通过将​​$ \ omega_0 $替换为$-\ omega_0 $，可以获得$ B（j \ omega）$傅立叶逆变换的另一半。注意对于实际信号，$ \ phi（\ omega）$是一个奇数函数，它变为
$$ a（t + \ beta）\ frac {e ^ {-j（\ omega_0 t + \ phi（\ omega_0））}} {2} $$
，将两者加在一起，我们得到
$$ b（t）= x（t + \ frac {d \ phi} {d \ omega}（\ omega_0））\ cos（\ omega_0（t + \ tfrac {\ phi（\ omega_0）} { \ omega_0}））$$
注意包络$ a（t）$和载波余弦信号的延迟。组延迟$（\ tau_g）$对应于包络中的延迟，而相位延迟$（\ tau_p）$对应于载波中的延迟。因此，
$$ \ tau_g =-\ frac {d \ phi} {d \ omega}（\ omega_0）$$
$$ \ tau_p =-\ frac {\ phi（\ omega_0）} {\ omega_0} $$

#5 楼

任何滤波器的相位延迟是指每个频率分量通过滤波器所经历的时间延迟量（如果信号由多个频率组成。）

组延迟是复合信号的平均时间延迟信号在频率的每个分量处都受到影响。