为什么FFT是“镜像”的？

t = 0:0.01:1 ;
N = max(size(t));
x = 1 + sin( 2*pi*t ) ;
y = abs( fft( x ) ) ;
stem( N*t, y )

y(1)  %DC
  > 101.0000

y(2)  %1 cycle in the N samples
  > 50.6665

y(101)
  > 50.2971

#1 楼

由于傅立叶变换的性质，实信号在傅立叶变换的正半部和负半部中“镜像”。傅立叶变换定义如下-

$ H（f）= \ int h（t）e ^ {-j2 \ pi ft} dt $

基本上使信号与一堆复杂的正弦波相关，每个正弦波都有自己的频率。那么那些复杂的正弦曲线是什么样的呢？下图显示了一个复杂的正弦波。和复杂正弦曲线的虚部。精明的读者会注意到，实部和虚部完全相同，只是它们彼此相差90度（$ \ frac {\ pi} {2} $）。由于它们的相位相差90度，因此它们是正交的，并且可以“捕获”该频率下的信号的任何分量。 br />
$ e ^ {jx} = cos（x）+ j * sin（x）$

这使我们可以如下修改傅立叶变换-
$ $
H（f）= \ int h（t）e ^ {-j2 \ pi ft} dt \\
= \ int h（t）（cos（2 \ pi ft）-j * sin（2 \ pi ft））dt
$$

在负频率下，傅立叶变换变为以下-
$$
H（-f）= \ int h（t）（cos（2 \ pi（-f）t）-j * sin（2 \ pi（-f）t））dt \\
= \ int h（t）（cos（ 2 \ pi ft）+ j * sin（2 \ pi ft））dt
$$

将负频率版本与正频率版本进行比较表明，余弦是相同的，而正弦倒置。但是，它们仍然彼此异相90度，从而允许它们捕获该（负）频率的任何信号分量。

由于正弦频率和负弦频率正弦曲线的相位都相差90度，并且幅度相同，因此它们都将以相同的方式响应实际信号。或更确切地说，它们的响应幅度将是相同的，但是相关相位将是不同的。

编辑：具体地说，负频率相关是正频率相关的共轭（由于反相虚数正弦分量）用数学术语来说，正如Dilip所指出的那样，这是下面的方法：
考虑一下：

虚构的组件就是这样。虚构！它们是一种工具，它允许使用一个额外的平面来查看事物，并且使许多数字（和模拟）信号处理成为可能，即使比使用微分方程要容易的多！

但是我们可以不能打破自然的逻辑定律，我们不能对虚构的内容^^ \ dagger $做任何“真实”的事情，因此它必须有效地将自身抵消掉，然后才能返回现实。在基于时间的信号（复杂频域）的傅立叶变换中，这看起来如何？如果我们将虚部抵消的信号的正负频率分量相加/相加，这就是说正负元素彼此共轭的意思。请注意，当对时间信号进行傅立叶变换时，会存在这些共轭信号，每个共轭信号的“真实”部分共享幅度，一半在正域中，一半在负域中，因此实际上将共轭相加会删除虚构的内容，仅提供真实的内容。

$ ^ \ dagger $表示我们无法创建5iV伏特的电压。显然，我们可以使用虚数来表示两个矢量值的真实信号，例如圆极化EM波。

#2 楼

FFT（或快速傅立叶变换）实际上是一种用于计算离散傅立叶变换或DFT的算法。通过利用数据点数量$ N $是一个复合整数这一事实，典型实现比DFT的常规计算加快了速度，因为$ 101 $在这里不是这种情况是素数。 （虽然在$ N $是素数的情况下存在FFT，但它们使用了可能在MATLAB中实现或未实现的不同表示形式）。确实，许多人故意选择
$ N $的形式为$ 2 ^ k $或$ 4 ^ k $，以便通过FFT加快DFT计算。

>转向为什么发生镜像的问题，hotpaw2本质上说明了原因，因此以下仅是细节的填充。
序列$ \ mathbf x = \ bigr（x $ N $的[0]，x [1]，x [2]，\ ldots，x [N-1] \ bigr）$
数据点已定义
为序列$ \ mathbf X = \ bigr（X [0]，X [1]，X [2]，\ ldots，X [N-1] \ bigr）$，其中
$$ X [m] = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] \ left（\ exp \ left（-j2 \ pi \ frac {m} {N} \ right）\ right）^ n，m = 0，1，\ ldots， N-1 $$
其中$ j = \ sqrt {-1} $。
显然，$ \ mathbf X $通常是一个复值序列
/>即使$ \ mathbf x $是实值序列也是如此。但是请注意，当$ \ mathbf x $是实值序列时，$ \ displaystyle X [0] = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] $是一个实数。
此外，如果$ N $是偶数，则由于$ \ exp（-j \ pi）= -1 $，
我们也有
$$ X \ left [ \ frac {N} {2} \ right] = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] \ left（\ exp \ left（-j2 \ pi \ frac {N / 2} {N } \ right）\ right）^ n = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n]（-1）^ n $$
是一个实数。但是，不管$ N $是奇数还是偶数，
实值序列$ \ mathbf x $
的DFT $ \ mathbf X $具有厄米对称性，您在
中提到过/>评论。对于任何固定的$ m $，$ 1 \ leq m \ leq N-1 $，我们都有，
$$ \ begin {align *}
X [m]＆= \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] \ left（\ exp \ left（-j2 \ pi \ frac {m} {N} \ right）\ right）^ n \\
X [Nm]＆= \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] \ left（\ exp \ left（-j2 \ pi \ frac {Nm} {N} \ right）\ right）^ n \\
＆= \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] \ left（\ exp \ left（-j2 \ pi + j2 \ pi \ frac {m} {N} \ right）\ right）^ n \\
＆= \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] \ left（\ exp \ left（j2 \ pi \ frac {m} {N} \ right）\ right）^ n \\
＆= \ left（X [m] \ right）^ *
\ end {align *} $$
因此，对于$ 1 \ leq m \ leq N-1 $，$ X [Nm] = \ left（X [m] \ right）^ * $。作为这种情况的特殊情况，请注意，如果在$ N $为偶数的情况下选择$ m = N / 2 $，则
我们得到$ X [N / 2] = \ left（X [ N / 2] \ right）^ * $，因此证实了我们先前的结论：$ X [N / 2] $是实数。
请注意，厄米对称性的作用是


实值序列的DFT中第$ m $个分档与第$（Nm）$个分档具有相同的大小。


MATLABi人将需要翻译它以解释MATLAB数组从$ 1 $向上编号的事实。


转到实际数据，您的$ \ mathbf x $是$ 1 $的DC值加上
频率为$ 1 $ Hz的正弦曲线的一个周期稍多一点。
实际上，您得到的是$ x [n] = 1 + \ sin（2 \ pi（0.01n）），〜0 \ leq n \ leq 100 $$
其中$ x [0] = x [100] = 1 $。因此，$ 101 $的第一个样本和最后一个样本具有相同的值。因此，您要计算的DFT由
$$ X [m] = \ sum_ {n = 0} ^ {100} \ left（1+ \ sin \ left（2 \ pi \ left（\ frac {n} {100} \ right）\ right）\ right）\ left（\ exp \ left（-j2 \ pi \ frac {m} {101} \ right）\ right）^ n $$
$ 100 $和$ 101 $之间的不匹配会导致DFT混乱：$ 2 \ leq m \ leq 99 $的
$ X [m] $的值非零，尽管很小。另一方面，假设您要在MATLAB程序中调整数组t，以便在$ t = 0、0.01，
你拥有的是
$$ x [n] = 1 + \ sin（2 \ pi（0.01n）），〜0 \ leq n \ leq 99。$$
那么DFT是
$$ X [m] = \ sum_ {n = 0} ^ {99} \ left（1+ \ sin \ left（2 \ pi \ left（\ frac {n} {100} \ right）\ right）\ right）\ left（\ exp \ left（-j2 \ pi \ frac {m} {100} \ right）\ right）^ n，$$
，您会看到您的DFT将精确地是
$ \ mathbf X =（100，-50j，0，0，\ ldots，0，50j）$（或至少
在四舍五入误差之内），并且逆DFT给出
$ 0 \ leq n \ leq 99 $，
x [n]＆= \ frac {1} {100} \ sum_ {m = 0} ^ {99} X [m] \ left（\ exp \ left（j2 \ pi \ frac {n} {100} \ right）\ right）^ m \\
＆= \ frac {1 } {100} \ left [100-50j \ exp \ left（j2 \ pi \ frac {n} {100} \ right）^ 1
+ 50j \ left（\ exp \ left（j2 \ pi \ frac {n} {100} \ right）\ right）^ {99} \ right] \\
＆= 1 + \ frac {1} {2j} \ left [\ exp \ left（j2 \ pi \ frac {n} {100} \ right）
-\ exp \ left（j2 \ pi \ frac {-n} {100} \ right）\ right] \\
＆= 1 + \ sin（ 2 \ pi（0.01n））
\ end {align *} $$
，这正是您的起点。

#3 楼

注意，仅当输入数据为实数时，FFT结果才被镜像（如共轭对称）。

对于严格实数的输入数据，FFT结果中的两个共轭镜像会抵消任何复杂正弦的虚部，从而得出严格实数的正弦（除了很小的数字舍入噪声），

如果不对FFT结果进行共轭镜像，它将表示具有复杂值（非零虚部）的波形，而并非严格实际价值。