从信号分析的角度看，卷积和互相关之间的区别

#1 楼

在信号处理中，有两个常见的问题：该滤波器的输入为$ x（t）$时，其输出是什么？答案由$ x（t）\ ast h（t）$给出，其中$ h（t）$是信号，称为滤波器的“脉冲响应”，而$ \ ast $是卷积运算。 />给出一个嘈杂的信号$ y（t）$，信号$ x（t）$是否以某种方式出现在$ y（t）$中？换句话说，$ y（t）$是$ x（t）+ n（t）$的形式，其中$ n（t）$是噪声吗？可以通过$ y（t）$和$ x（t）$的相关性找到答案。如果给定时间延迟$ \ tau $的相关性很大，那么我们可能会说答案是肯定的。

请注意，当所涉及的信号是对称的，卷积和互相关时成为同一操作；这种情况在DSP的某些领域也很常见。

#2 楼

卷积和互相关这两个术语在DSP中的实现方式非常相似。

您使用哪种取决于应用程序。

如果要执行线性运算，时不变滤波操作，可以将信号与系统的脉冲响应进行卷积。

如果要“测量两个信号之间的相似性”，则需要将它们互相关。 >当您尝试产生匹配的滤波器时，这两个术语会合在一起。 ，$ p [n] $。一种实现方法是将给定信号$ s $与已知脉冲$ p $的时间反转进行卷积：您现在正在使用卷积对给定信号与已知脉冲进行互相关。 br />

旁注

“互相关”一词在DSP领域被误用了。统计学家，相关性是一个值，用于衡量两个变量之间的接近程度，并且应该介于$ -1 $和$ + 1 $之间。使用了DSP版本，它们声明：


互相关是两个系列相似性的度量，是一个相对于另一个的滞后的函数。


DSP定义存在问题：
$$
\ sum _ {\ forall m} x [n] y [n + m]
$$
是这种“相似性”度量取决于每个信号中的能量。

#3 楼

@MathBgu我已经阅读了上面给出的所有答案，所有这些都是非常有益的一件事，我想补充一下，通过考虑如下的卷积公式

$$ f（x）* g（ x）= \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {\ infty} f（\ tau）g（x- \ tau）\，d \ tau $$

，并进行互相关

$$（f \ star g）（t）\ stackrel {\ text {def}} {=} \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {\ infty} f ^ *（\ tau ）g（t + \ tau）\，d \ tau，$$

我们知道方程式的唯一区别是在卷积中，在进行滑点积运算之前，我们将信号翻转y轴，即我们将$（t）$更改为$（-t）$，而互相关只是两个信号的滑点积。

我们使用卷积来获取系统的输出/结果，该系统具有两个块/信号，并且在时域中彼此直接相邻（串联）。

#4 楼

在信号处理中，执行卷积以获得LTI系统的输出。通常会计算相关性（自动或互相关），以便稍后用于其他一些计算

您必须注意不要混淆相关性，协方差和相关系数。相关不必一定在-1和1之间。相关系数（https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson_product-moment_correlation_coefficient）介于-1和1之间，因为它由两个随机变量方差来缩放。我们必须记住的是，要统计分析两个随机变量之间的相关性，要进行统计信号处理的实际操作是“协方差”，而不是相关性。但是对于大多数应用来说，信号被传感器捕获并转换为电压并由ADC进行数字化，您可以假定信号为零均值，因此相关性等于协方差。

#5 楼

卷积和相关的含义之间有很多微妙之处。两者都属于线性代数中内积和投影的广义概念，即将一个向量投影到另一向量上，以确定它在后者方向上的“强度”。

这个想法扩展到了神经网络领域，我们将数据样本投影到矩阵的每一行上，以确定它“适合”该行的程度。每行代表一类特定的对象。例如，每一行可以将字母中的字母分类以进行手写识别。通常将每一行称为神经元，但也可以称为匹配过滤器。

本质上，我们正在测量两件事之间的相似程度，或者尝试在其中寻找特定特征某些东西，例如信号或图像。例如，当您用带通滤波器对信号进行卷积时，您试图找出该频带中的内容。当您将信号与正弦波关联时，例如在DFT中，您正在寻找信号中正弦波频率的强度。请注意，在后一种情况下，相关性不会滑动，但是您仍在“关联”两件事。您正在使用内部积将信号投射到正弦波上。

那么，有什么区别呢？好吧，考虑到卷积，信号相对于滤波器向后。对于随时间变化的信号，其效果是数据按进入滤波器的顺序进行关联。暂时，让我们简单地将相关性定义为点积，即将一件事投射到另一件事上。因此，一开始，我们将信号的第一部分与滤波器的第一部分相关联。随着信号继续通过滤波器，相关性变得更加完整。请注意，信号中的每个元素仅与该时间点“触摸”的滤波器元素相乘。

因此，通过卷积，我们在某种意义上是相互关联的，但是我们也试图保留随着信号与系统交互而发生变化的时间顺序。但是，如果滤波器是对称的（通常如此），则实际上并不重要。卷积和相关将产生相同的结果。

通过关联，我们只是比较两个信号，而不是尝试保留事件的顺序。为了比较它们，我们希望它们面向相同的方向，即对齐。我们将一个信号滑到另一个信号上，以便我们可以在每个时间窗口中测试它们的相似性，以防它们彼此异相或者我们正在寻找较大信号中的较小信号。

在图像处理中，情况有所不同。我们不在乎时间。但是，卷积仍然具有一些有用的数学属性。但是，如果您尝试将较大图像的部分与较小图像进行匹配（即匹配的过滤），则不希望将其翻转，因为这样会使功能无法对齐。当然，除非滤波器是对称的。在图像处理中，相关性和卷积有时可以互换使用，尤其是在神经网络中。显然，如果图像是2维数据的抽象表示（其中1维是时间），则时间仍然有意义。频谱图。

因此，总而言之，相关性和卷积都是滑动的内积，用于随着空间或时间的变化将一件事投射到另一件事上。当顺序很重要时使用卷积，通常用于转换数据。相关性通常用于在较大事物内部找到较小事物，即进行匹配。如果两个“事物”之一至少是对称的，那么使用哪个都无关紧要。

#6 楼

抛开信号处理，如果您只是想了解卷积和相关中发生的事情，两者都是非常相似的操作。唯一的区别在于卷积，在执行乘积累加之前将变量之一反转（翻转）。看到我在上面的任何地方都没有使用信号一词。我只是在谈谈执行的操作。 （LTI系统）给定了输入信号（x）和系统的脉冲响应（h）。要了解为什么仅使用卷积运算来获取LTI系统的输出，需要进行大量推导。请在这里找到派生。

http://www.rctn.org/bruno/npb163/lti-conv/lti-convolution.html

相关运算用于查找两者之间的相似性发出x和y信号。相关值越多，两个信号之间的相似度就越多。滤波器）
两个信号之间的相关->因此，从信号分析的角度来看，不使用卷积运算。从信号分析的角度来看，仅使用相关性。而从系统分析的角度来看，使用卷积。

理解卷积和相关运算的最佳方法是了解在两个连续变量之间进行两次卷积和相关时所发生的情况，如问题图中所示。