谢谢。
编辑：
我想我也在想，说你有一些NRZ数据并使用匹配的过滤器，则可以通过I＆D（集成和转储）实现匹配的过滤器。 I＆D基本上会逐渐增加，直到达到采样时间为止，并且想法是在I＆D的峰值处进行一次采样，因为在那一点上，SNR最大。我不明白的是，为什么不创建一个对其进行两次积分的滤波器，那样，您将获得平方增加（而不是斜坡），并且采样点会更高而且据我所知，更有可能由决策电路正确解释（并给出较低的Pe（错误概率））？
#1 楼
由于此问题在编辑，对答案的评论等中有多个子问题，而这些问题尚未解决，因此请继续。匹配的过滤器
考虑一个有限能量信号$ s（t）$，该信号是脉冲响应为$ h（t）$，传递函数为$ H的（线性时变BIBO稳定）滤波器的输入（f）$，
并生成输出
信号
$$ y（\ tau）= \ int _ {-\ infty} ^ \ infty s（\ tau-t）h（t ）\，\ mathrm dt。\ tag {1} $$
$ h（t）$的哪种选择将在给定的时间产生最大的响应
$ t_0 $？也就是说，我们正在寻找一个过滤器，以使$ y（\ tau）$的全局最大值
出现在$ t_0 $。这确实是一个措辞很松散的问题（
，并且实际上是无法回答的问题），因为显然具有冲激响应$ 2h（t）$的滤波器
比具有冲激响应$ h的滤波器具有更大的响应（t）$，所以没有
这样的东西可以最大化响应。
因此，与其比较苹果和橘子，不如比较一下我们要寻找的
约束。滤波器，可将$ y（t_0）$主题最大化到具有固定能量的脉冲响应，例如，受
= \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | s（t）| ^ 2 \，\ mathrm dt。\ tag {2} $$
从此以后，“滤波器”应表示线性时不变滤波器
，其脉冲响应满足（2）。 >
柯西-舒瓦兹不等式为这个问题提供了答案。我们有
$$ y（t_0）= \ int _ {-\ infty} ^ \ infty s（t_0-t）h（t）\，\ mathrm dt
\ leq \ sqrt {\ int_ { -\ infty} ^ \ infty | s（t_0-t）| ^ 2 \，\ mathrm dt}
\ sqrt {\ int _ {-\ infty} ^ \ infty | h（t）| ^ 2 \， \ mathrm dt}
= \ mathbb E $$
如果$ h（t）= \ lambda s（t_0-t）$且$ \ lambda> 0 $
，则相等（2）得到$ \ lambda = 1 $，即
是具有冲激响应的滤波器$ h（t）= s（t_0-t）$产生
最大响应$ y（t_0）= \ mathbb E $在指定的时间$ t_0 $。
在上述（非随机）意义上，此过滤器
被称为
过滤器在$ t_0 $时与$ s（t）$匹配，或者
过滤器在$ t_0处与$ s（t）$匹配的过滤器。$
关于此结果，有几点值得注意。在$ t_0 $；对于任何其他
$ t $，我们有$ y（t）
脉冲响应$ s（t_0-t）= s（ -t（t-t_0））$$
的时间$ t_0 $的匹配过滤器只是$ s（t）$“时间倒转”
，并向右移动了$ t_0 $。
a。如果$ s（t）$具有有限支持，例如$ [0，T] $，则如果$ t_0
b，则匹配的过滤器是
无因果的。在$ t_1> t_0 $时与$ s（t）$匹配的过滤器只是在$ t_0 $时匹配的过滤器
，附加延迟为$ t_1-t_0 $。由于这个原因，有人将脉冲响应为$ s（-t）$的滤波器称为
（即，在$ t = 0 $处，滤波器与$ s（t）$匹配）匹配$ s（t）$的过滤器，并具有
的理解，即可以在需要时将精确的匹配时间合并到讨论中。如果对于$ t <0 $，$ s（t）= 0 $，则匹配的过滤器是无因果的。这样，我们可以重新定义1。as
$ s（t）$的匹配过滤器产生唯一的全局最大值
值$ y（0）= \ mathbb E $在时间$ t = 0 $。此外，
$$ y（t）= \ int _ {-\ infty} ^ \ infty s（t- \ tau）s（-\ tau）\，\ mathrm d \ tau
= \ int_ {-\ infty} ^ \ infty s（\ tau-t）s（\ tau）\，\ mathrm d \ tau = R_s（t）$$
是信号$ s（t）的自相关函数$。当然，众所周知，$ R_s（t）$是$ t $
的偶函数，并且在原点具有唯一的峰值。请注意，在时间$ t_0 $匹配的
过滤器的输出仅为$ R_s（t-t_0）$，自相关
函数在时间$ t_0 $延迟达到峰值。
没有过滤器除了
时间为$ t_0 $的匹配过滤器可以产生与$ \ mathbb E $一样大的输出，为$ t_0 $。但是，对于任何$ t_0 $，
都可以找到过滤器，其
在$ t_0 $处的输出超过$ R_s（t_0）$。请注意，$ R_s（t_0）<\ mathbb E $。
匹配滤波器的传递函数为$ H（f）= S ^ *（f）$，即$ S（f）$。
因此，$ Y（f）= \ mathfrak F [y（t）] = | S（f）| ^ 2 $。
请考虑以下结果。由于对于$ x> 1 $，$ x ^ 2> x $和对于
$ 0
因此，匹配滤波器可减少$ s（f）$的弱频谱分量并增强$中的强频谱分量S（f）$。 （
也要进行相位补偿，以调整所有“正弦波”，使它们都在$ t = 0 $处达到峰值）。
但是噪声和SNR以及OP所要求的东西呢？
如果信号$ s（t）$加上加法具有
两侧功率谱密度$ \ frac {N_0} {2} $的高斯白噪声通过具有脉冲响应$ h（t）$的滤波器进行处理，然后输出
噪声过程是具有自相关函数$ \ frac {N_0} {2} R_s（t）$的零均值平稳高斯过程。因此，
方差为
$$ \ sigma ^ 2 = \ frac {N_0} {2} R_s（0）= \ frac {N_0} {2} \ int _ {-\ infty} ^ { \ infty} | h（t）| ^ 2 \，\ mathrm dt。$$
请注意，无论何时采样滤波器输出，方差都是相同的。因此，$ h（t）$
的哪个选择将在时间$ t_0 $最大化SNR $ y（t_0）/ \ sigma $？好吧，从
Cauchy-Schwarz不等式中，我们有了
$$ \ text {SNR} = \ frac {y（t_0）} {\ sigma}
= \ frac {\ int_ { -\ infty} ^ \ infty s（t_0-t）h（t）\，\ mathrm dt} {\ sqrt {\ frac {N_0} {2} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | h（t） | ^ 2 \，\ mathrm dt}}
\ leq \ frac {\ sqrt {\ int _ {-\ infty} ^ \ infty | s（t_0-t）| ^ 2 \，\ mathrm dt}
\ sqrt {\ int _ {-\ infty} ^ \ infty | h（t）| ^ 2 \，\ mathrm dt}} {\ sqrt {\ frac {N_0} {2} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | h（t）| ^ 2 \，\ mathrm dt}} = \ sqrt {\ frac {2 \ mathbb E} {N_0}} $$
完全等价于$ h（t）= s（t_0 -t）$，即在时间$ t_0 $上与$ s（t）$匹配的过滤器！注意$ \ sigma ^ 2 = \ mathbb EN_0 / 2 $。
如果将匹配的滤波器用于期望的采样时间，则在其他时间$ t_1 $，SNR将为
$ y（t_1）/ \ sigma
对于所有正在考虑的滤波器都是相同的，并且我们在上面已经注意到
在时间
有可能大于$ y（t_1）$ /> $ t_1 $通过使用其他不匹配的过滤器。即时还是无处不在？”得出的答案是，SNR仅在采样时刻$ t_0 $处最大。在其他时间，其他滤波器可能比匹配的滤波器在时间$ t_1 $处提供更大的SNR，
，但仍比SNR $ \ sqrt {\ frac {2 \ mathbb E } {N_0}} $
匹配的滤波器给您的价格为$ t_0 $，并且，如果需要的话，可以重新设计匹配的滤波器以在时间产生其峰值
$ t_1 $ $ t_0 $。
“为什么不做一个在决定时会产生非常高的尖峰尖峰的滤波器。难道这会使SNR更好吗？”
匹配的滤波器的确会产生尖峰在采样时进行排序
，但受自相关函数形状的限制。您可以设计用来产生高骨感（时域）峰值的任何其他
滤波器都不是匹配的滤波器，因此不会给您最大的信噪比。请注意，增加滤波器脉冲响应的幅度
（或使用随时间变化的滤波器来提高时间增益
采样率）不会改变SNR，因为信号和噪声标准偏差均按比例增加。 I＆D，因为此时SNR最高。“
对于NRZ数据和矩形脉冲，匹配的滤波器脉冲响应也是矩形脉冲。积分转储电路是一个相关器，其输出仅在采样时刻才等于匹配的滤波器输出，而在中间不等于。参见下图。
如果在其他时间对相关器输出进行采样，则得到的噪声方差较小，但不能简单地相加由于噪声变量之间具有高度相关性，因此在不同时间采集的I＆D输出样本
，而净方差要大得多。您也不希望能够
从匹配的滤波器输出中提取多个样本，并以任何方式将它们组合以得到更好的SNR。没用实际上，您使用的是不同的滤波器，在高斯噪声中，您做不到的事比匹配的线性滤波器更好。没有非线性处理会提供小于匹配拟合器的错误概率。
评论
$ \ begingroup $
好答案。数字通信理论课程的很大一部分被整合到一个程序包中。
$ \ endgroup $
–Jason R
2013年6月2日12:39
$ \ begingroup $
谢谢您的出色回答！我对匹配的滤波器输出的图形有疑问。该图的输出是什么（我正在尝试绘制它）？我假设它是$ y（t）= r（t）* r（-t）$，其中$ y（t）$是输出信号（第三幅图），而$ r（t）$是接收信号（第一张图）。如果我将接收到的信号与一个框函数关联起来，该框函数足够高以通过逻辑电平1和0状态，那么我得到的输出-唯一的是，相关信号和信号之间永远不会有100％的匹配相关信号，也许这是可以预期的。
$ \ endgroup $
–user968243
13年6月7日在6:46
$ \ begingroup $
$ p（t）$表示一个从$ 0 $到$ T $的矩形脉冲，接收到的信号为$ r（t）= \ sum_ {n = 0} ^ \ infty（-1）^ { b_n} p（t-nT）$，匹配的滤波器具有脉冲响应$ h（t）= p（-t）$，滤波器输出为$$（r \ star h）（t）= \ int _ {-\ infty} ^ \ infty r（u）h（tu）\，du = \ int _ {-\ infty} ^ \ infty r（u）p（ut）\，du = \ int_ {tT} ^ tr（u）\ ，du，$$，即，在任何时候的匹配滤波器输出$ t $是过去$ T $秒内接收信号的积分（当然是噪声）。请注意，除了采样时刻外，滤波器输出中还包含接收机引起的符号间干扰（ISI）！ （继续）
$ \ endgroup $
– Dilip Sarwate
13年6月7日在10:57
$ \ begingroup $
（续）这是ISI的另一个原因，为什么您要从匹配的滤波器输出中提取多个样本，然后以某种方式处理它们以提高SNR的想法将无法像您想象的那样有效。
$ \ endgroup $
– Dilip Sarwate
13年6月7日在10:59
$ \ begingroup $
@Mostafa SNR可以按照您想要的任何方式进行定义。重要的是：函数$ g $使得$ BER = g（SNR）$，而$ g $是其自变量的递减函数（衰减率是多少？）。对于我对SNR的定义，$ g（x）= Q（x）$。对您来说，$ g（x）= Q \ left（\ sqrt x \ right）$。对于那些调用$ \ frac {E} {N_0} $ SNR的人来说，它是$ g（x）= Q \ left（\ sqrt {2x} \ right）$。所以，随便你怎么...
$ \ endgroup $
– Dilip Sarwate
17年5月5日在16:58
#2 楼
没错：匹配的滤波器会在决策时立即使SNR最大化。决策点）。匹配滤波器是应用于连续输入信号的滤波器（即线性时不变系统）。 “决策时的峰值”非常依赖时间（它不是过滤器，而是采样器）。
评论
$ \ begingroup $
我已对问题进行了修改。我尝试将其发布在此处的评论中，但时间太长，不允许使用。感谢您的回答。
$ \ endgroup $
–user968243
13年5月12日下午4:39
#3 楼
在存在加性高斯白噪声的情况下，匹配滤波器是最大似然接收器。因此，对于相等的先验符号概率，它将产生最佳的误码性能。正如您所指出的，这在AWGN通道上等效于最大化信噪比。您还正确地指出，此最大SNR条件是在每个符号的决策瞬间。您的建议中有一个误解，就是您不能比AWGN频道上的匹配过滤器方法做得更好。除决策点以外的其他时刻的滤波器输出与误码性能无关。实际上，如果匹配滤波器的输出（即信号的脉冲形状的自相关形状）具有脉冲形状，则更容易获得符号定时同步。实际上，某些实际的通信技术（例如直接序列扩频调制）具有此属性。
但是，假设是完美的同步，这是分析误码率时的典型情况，则所获得的性能与匹配滤波器的输出形状无关。重要的是脉冲中的总能量，它决定了决策点上匹配滤波器的输出值。
此外，设计具有所需特定时域响应的其他滤波器可能非常困难。这样的过程称为反卷积，这并不容易。您建议的双过滤器方法实际上会产生相反的效果，即进一步抹去决策统计信息（卷积本质上会及时抹除信号）。您也许可以设计一些非线性滤波器，使您更喜欢自己的形状，但尚不清楚它是否会保留匹配滤波器方法的最优性。
评论
$ \ begingroup $
好的，谢谢您的答复。您说匹配滤波器的输出不在决策点，这没有区别，并且是无关紧要的。我已经弄清楚了，并且想知道为什么不能制造出更好的过滤器，比如说，它可以抓住那些部分中包含的能量，并在决策时将其包括在内。不知道这是否有意义！希望能做到！我的猜测是无法做到这一点，因为这样滤波器将不是线性的...
$ \ endgroup $
–user968243
13年5月12日在16:50
#4 楼
我在理论上不能回答您的问题，但是我可以实际回答-您可以使用匹配的过滤器模拟器（http://www.grauonline.de/alexwww/ardumower/filter/filter.html）看到它。#5 楼
上面所有的答案很好地描述了匹配滤波器如何是最佳的，但是没有讨论为什么其他样本对决策而言毫无用处。关于这些非最佳样本的有趣观点来自于频域视图。请记住，时域互相关是频域中的共轭乘法。当在最佳时刻采样时，所有频率仓的相位将对齐，以使结果的I分支中的能量最大化，并且没有Q臂。当在另一个瞬间采样时，由于该时移差异而引入了相位旋转，该时移差异对于每个频率仓而言都是不同的。参见下图。
此外，通过匹配滤波器的噪声样本变得相关。仅当匹配的滤波器输出为零时，即最佳采样时刻时，此相关为零。
#6 楼
有时候，像您说的那样，在中间设置一个带有细小尖峰的过滤器会更有用。一种这样的过滤器称为MACE过滤器。这是原始论文Mahalanobis，A.，Kumar，B.V.K.V.，Casasent，D .：最小平均相关能量滤波器。应用选择。 26，3630–3633（1987）
评论
阅读此答案，尤其是最后一句话中的链接。您的双重积分有效地计算了不匹配滤波器的输出（在所需的采样时间），因此如果噪声是加性高斯，则不能给出比匹配滤波器小的$ P_e $。如果噪声是加性高斯噪声，则线性或非线性滤波器都不会比匹配滤波器具有更低的错误概率。