对于各种FT-CFT，DFT，DTFT和Fourier系列，最清晰，最直观的解释是什么？

#1 楼

我写这份讲义是对Oppenheim和Willsky的补充。请查看第14页的表4.1，复制如下。 （单击查看大图。）我专门为回答诸如您这样的问题而编写了该表格。



注意四个操作之间的异同：<系列：时间上是周期性的，频率上是离散的
“变换”：时间是不定期的，频率是连续的
“连续时间”：时间是连续的，频率是非周期的
“离散时间”：时间是离散的，频率是周期性的

希望您对这些说明有所帮助！请随时分发。

#2 楼

为了对这些概念进行清晰，正确的解释，您必须阅读一些标准的教科书（Oppenheim-Schafer，Proakis-Manolakis或Richard Lyons撰写的“ Understanding Digital Signal Processing”，这是一本很好的书，但相对不那么受欢迎） 。但是，假设在咖啡桌旁讨论，我将在下面发表一些极为宽松的声明。 :)

对于一般的连续时间信号，您不会期望没有任何特定的频率，因此其傅立叶变换（或连续傅立叶变换）将是一条连续曲线，可能带有-inf到+ inf。

对于周期性连续信号（周期T），傅里叶将信号表示为具有相同周期（T，T / 2，T / 3，T / 4，...）。实际上，该信号的频谱是在位置1 / T，2 / T，3 / T，4 / T，...处的一系列尖峰。这称为傅里叶级数表示。有一个定理说，当您包含越来越多的均方根正弦和余弦（或复指数）时，任何周期性连续时间信号的傅立叶级数表示都会收敛到信号。

道德到目前为止：时间的周期性=>尖峰频谱

到离散时间...
如果您采样一个连续的时间信号会怎样？应该清楚的是，对于足够高的信号，您将无法重构该信号。如果您不对信号中的频率做出任何假设，那么给定采样信号，就无法说出真正的信号是什么。换句话说，在离散时间信号中等效地表示不同的频率。通过一些数学运算，您可以从原始连续信号中获取采样信号的频谱。怎么样？您将连续时间信号的频谱偏移量+ -1 / T，+-2 / T，...，然后添加所有偏移的副本（具有一定的缩放比例）。这将为您提供周期为1 / T的周期性连续光谱。 （注意：由于时间采样，频谱是周期性的，因此时间信号不必是周期性的）。由于频谱是连续的，因此您也可以仅用其一个周期来表示它。这就是DTFT（“离散时间”傅立叶变换）。如果您的原始连续时间信号的频率不超过+ -1 / 2T，频谱的移位副本不会重叠，因此，您可以通过选择频谱的一个周期来恢复原始连续时间信号（奈奎斯特采样定理）。另一种记住方式：尖峰时间信号=>频谱中的周期性

如果以采样周期T采样连续时间周期信号会发生什么/ k大约k？好吧，连续时间信号的频谱是很尖锐的，并且通过T的一个约数进行采样就意味着移位后的副本中的尖峰恰好落在1 / T的倍数上，因此所得频谱是尖峰的周期性频谱。
尖峰的周期性时间信号<=>尖峰的周期性频谱（假设周期和采样频率如上所述“非常相关”。）
这就是所谓的DFT（离散傅里叶变换）。 FFT（快速傅立叶变换）是一类可有效计算DFT的算法。

调用DFT的方式如下：假设您想及时分析N个样本的序列。您可以采用DTFT并处理其周期之一，但是如果您假设信号是周期性的，周期为N，则DTFT会降为DFT，并且只有N个DTFT周期的样本可以完全表征信号。您可以及时对信号进行零填充以获得更精细的频谱采样和（更多此类属性）。

上述所有内容仅在伴随有DSP研究的情况下才有用。以上只是一些非常粗糙的准则。

#3 楼

令$ x（t）$表示周期为$ T $的有界函数，也就是说，对于所有实数$ t $，$ x（t + T）= x（t）$。作为一个特定示例，$ \ cos（2 \ pi t / T）$是这样的函数。我们想找到此函数的“最佳”近似值$ a_n \ cos（2 \ pi nt / T）$，我们希望选择
系数$ a_n $，以便
$ $ \ int_0 ^ T（x（t）-a_n \ cos（2 \ pi nt / T））^ 2 \，\ mathrm dt，$$
平方误差尽可能小。扩展被积，我们有
$$ \ text {平方误差} = \ int_0 ^ T x ^ 2（t）\，\ mathrm dt
-2a_n \ int_0 ^ T x（t）\ cos（2 \ pi nt / T）\，\ mathrm dt
+（a_n）^ 2 \ int_0 ^ T \ cos ^ 2（2 \ pi nt / T）\，\ mathrm dt。$$
最左边的积分是一个人传递的能量$ E $ $ x（t）$的周期，而
最右边的整数的值是$ T / 2 $，因此我们看到
$ \ text {平方误差} = E
-2a_n \ int_0 ^ T x（t）\ cos（2 \ pi nt / T）\，\ mathrm dt
+（a_n）^ 2 \ frac {T} {2}。$$
现在。对于$ a> 0 $，二次函数$ az ^ 2 + bz + c $的最小值为$ z = -b / 2a $
（在根$（-b / 2a）之间\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac} / 2a $ !!）这样，由于
我们将平方误差表示为$ a_n $的二次函数，
选择$ a_n $可以使误差最小平方误差是
$$ a_n = \ frac {2} {T} \ int_0 ^ T x（t）\ cos（2 \ pi nt / T）\，\ mathrm dt。$$
类似地，选择$ b_n $作为
$$ b_n = \ frac {2} {T} \ int_0 ^ T x（t）\ sin（2 \ pi nt / T）\，\ mathrm dt $$
最小化$ x（t）$和$ b_n \ sin（2 \ pi nt / T）$之间的平方误差。周期函数$ x（t）$的最小平方误差近似值，以
表示相同周期的正弦和余弦信号及其谐波。

#4 楼

Endolith是正确的，如果您实际上是从傅立叶级数开始的，然后看看它如何扩展到傅立叶变换，那么事情开始变得很有道理。我在答案的上半部分对此做了简要说明。

通过Pontryagin对偶护目镜，一种很好（也许不简单）的方法来研究Fourier变换族（我的意思是上面列出的4个）。它为您提供了一种记住原始域和转换域的不同转换的好方法。

对于$ \ mathbb {R} $上的复数值函数（假设FT存在其他必要条件） ，其傅立叶变换也是$ \ mathbb {R} $上的复数值函数。 $ \ mathbb {R} $空间是Pontryagin自对偶，您可以说，如果整个家庭中的变换都具有$ \ mathbb {R} $作为原始域和变换域，那么它就是傅里叶变换（或CFT，就像您所说的那样。）

$ n $数字的复数序列可以看作是$ \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} $上的周期复数函数，这是一个循环整数模$ n $组（有关更多信息，请参见有限阿贝尔群）。此序列的变换还具有域$ \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} $（自对偶），这是离散傅立叶变换。

单位圆的域，$ \ mathbb {T} $（所有绝对值均为1的复数；另请参见圆组）和整数$ \ mathbb {Z} $的集合彼此为Pontryagin对偶。与前两个相似，存在$ \ mathbb {Z} $到$ \ mathbb {T} $之间的变换，这就是我们所说的离散时间傅立叶变换，反之则是傅立叶级数，从此开始。

这个答案还没有完全完成，我也许会在有空的时候以这个答案为基础来阐明一些要点，但是在此之前，直到您从其他人那里获得更直观的解释之前，这可能是值得您借鉴的东西。还可以尝试在Wikipedia上阅读傅立叶分析的变体。

#5 楼

我刚刚完成了关于该主题的注释说明。希望您会发现它有用。泊松求和公式
$$
\ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} f（x + nT）= \ frac {1} {T} \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ hat {f} \ Bigl（\ frac {n} {T} \ Bigr）\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} 2 \ pi nx / T}。
$$
其中
$$
\ hat {f}（\ xi）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} f（x）\ mathrm {e} ^ { -\ mathrm {i} 2 \ pi \ xi x} \，\ mathrm {d} x
$$$
是信号$ f（x）$的傅立叶变换。

我真的认为该公式值得DSP社区更多的关注。与使用狄拉克梳（脉冲列）分布的方法相比，严格证明其正确性要容易得多。以下是大多数大创意的总结，但是我建议您直接阅读这些注释，因为我花了太多时间来排版：)。公式
$$
\ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} f（x + nT）
$$
是$ f $的带周期的周期$ T $。如果您熟悉Dirac三角洲分布，则与将$ f $与$ T $周期脉冲序列进行卷积相同（您知道为什么吗？）。

在右侧，
$$
\ hat {f} \ Bigl（\ frac {n} {T} \ Bigr）
是频谱$ \ hat { f} $的采样周期为$ \ frac {1} {T} $。

起初该公式可能会非常令人困惑，但是当我们将其汇总到图中时，它应该更加清晰。


本质上，泊松求和公式告诉我们，当我们对$ f（x）$的$ T $周期进行傅立叶级数展开时，得到的傅立叶系数为正好是频谱$ \ hat {f}（\ xi）$的$ \ frac {1} {T} $采样（随后是缩放）！

希望您能体会到此结果的重要性。事实证明，仅从此图就可以得出DTFT的定义和求逆公式。注意连接时域和频域的双箭头。如果我们切换$ f $和$ \ hat {f} $？的解释，即将$ \ hat {f} $当作时域的信号并将$ f $当作频域的信号，该怎么办？如果您确信如果我们将$ f $与$ \ hat {f} $，$ \ mathrm {i} $与$-\ mathrm {i} $，$ x $与$ \ xi $等进行切换，则该公式将起作用。，那么我们可以重新标记图并获得（对于$ T = 1 $）

请注意，由于（此版本的）傅里叶变换是单一的，因此图的上半部分保持不变，而对于该图的下半部分，我们以某种方式获得了离散信号$ g [n] $的频率表示。这正是我们可以得出DTFT的定义和求逆公式的方式，尽管您可能已经注意到，它与DTFT的常规定义并不完全相同。

我们研究了$ T的情况首先是= 1 $，因为我不希望额外的缩放比例破坏您的直觉。由于采样是主要操作，因此我们将首先用$ \ frac {1} {T} $切换$ T $。另外，我们可以通过将缩放因子放在另一侧来将缩放保持在频域中，尽管我们可能并不马上就可以做到这一点。一般情况的示意图如下所示。请注意，我们当前的DTFT定义存在问题，如果我们要计算离散信号的频谱，我们需要知道采样期$ T $首先！这就是为什么我们需要引入归一化频率$ \ omega $的概念，它由
$$
\ omega = 2 \ pi T \ xi
$$
定义频率$ \ xi $和采样周期$ T $。这为我们提供了DTFT的实际定义
$$
\ hat {f}（\ omega）= \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} f [n] \ mathrm { e} ^ {-\ mathrm {i} \ omega n}
$$
以及相应的反演公式。派生会占用一些空间，因此如果您想了解更多有关派生的信息，请阅读5.4节。

事实证明，我们可以进一步扩展重新标记技巧。如果我们用周期函数替换$ f $并用傅里叶级数替换傅里叶变换怎么办？请看下面的图，它是通过直接模仿上面的图而构建的。应该在图中？恭喜，如果您能回答这个问题，您已经发现了傅里叶级数与DFT之间的关系。

提示： />
事实证明，这不是获得DFT的唯一方法。如果您切换上图的时间和频率表示怎么办？

提示：





总结，FT，FS，DTFT，DFT通过多维数据集精确连接，其中一个域中的周期与另一域中的采样相对应：从傅立叶变换到DFT。

请阅读我的文章以获取更多详细信息。正是受到我不久前发现的重新标记技巧的启发。希望这能对您有所启发。

作为旁注，如果在Poisson求和公式中将$ T \放入\ infty $，会得到什么？

#6 楼

我认为最重要的是从根本上了解我们为什么需要傅立叶变换。它们是许多可能的信号转换之一，但也是最有用的信号转换之一。转换基本上将信号转换到另一个域，这可能使我们对该域中的信号有深入了解，或者可能是该域在数学上易于使用。一旦完成了该领域的工作，我们就可以进行逆变换以更轻松地获得所需的结果。

傅立叶理论中最基本的构建单元是单调（正弦和余弦）。我们可以使用傅立叶数学将信号分解为频率成分（单调）。因此，傅立叶变换基本上将信号从时域变换到频率域。傅立叶级数中每个单调的系数告诉我们信号中该频率分量的强度。傅立叶变换（CFT，DFT）明确地为我们提供了信号的频域视图。在自然界中，正弦和余弦是最主要的波形。诸如方波之类的合成信号或具有剧烈波动的信号不太可能自然发生，而且如傅立叶变换非常清楚地解释的那样，并不令人惊讶地组成无限范围的频率。人们怀疑是否可以将任何信号作为正弦/余弦的总和来表达。傅立叶显示的方波（远离正弦/余弦）确实可以。白噪声包含所有强度相等的频率。

同样，如果您正在处理傅立叶级数，则可以将系数和相位项视为正确叠加组成的正弦波形所需的值，以便叠加确实是进行变换所需的信号。在进行傅立叶变换时，复数隐含每个单调的相位项和所需的幅度。 （集成大致像求和。continuous=> integration，discrete => summary）

我认为一旦您了解了概念的主题，剩下的只是细节，您将自己需要通过读书来理解。阅读有关傅立叶变换在各个领域的应用的信息，可以使您更好地理解。

#7 楼

DFT是数对向量从一个正交空间到另一个正交空间的变换。通常以数值计算方式完成。出于某种原因，当从现实世界中提取一堆数字时，第二堆数字常常证明与足够有用的东西足够接近。

让我想起了数学的不合理有效性在自然科学中，尤其是在将DFT应用到许多系统上时，似乎可以通过各种二阶微分方程来近似，甚至是我刚掉下的咖啡勺的声音。

其他3个XYZ -FTs对一些神话般的无限实体的存在进行了假设，以帮助将象征性的解决方案在咖啡过冷之前放入白板中。它们是信号处理的“球形母牛”。 DTFT和傅立叶级数假装一个向量可以无限扩展，而另一实体的密度无限。傅里叶级数假装两个实体都可以是无限的连续函数。

参加足够的数学课程，甚至可以确定使这些虚构的实体在某种意义上精确和完整对偶的所有定义和假设。 br />