追踪Cook-Torrance BRDF的路径

-很抱歉，冗长的帖子，但是我更喜欢这样做，因为“细节中有魔鬼”。 :)

我正在从头开始编写路径跟踪器，它对于完美扩散的（朗伯型）表面非常有效（即，熔炉测试（至少在视觉上表明）它是节能的，并且已渲染图像与使用Mitsuba渲染器生成的图像参数相同）。现在，我正在实现对原始Cook-Torrance微面模型的镜面反射项的支持，以渲染一些金属表面。但是，似乎该BRDF反射的能量多于所接收的能量。参见以下示例图像：



上图：Mitsuba参考（假定是正确的）图：直接光采样，重要半球采样，最大路径长度的路径跟踪= 5，32分层spp，盒式滤波器，表面粗糙度= 0.2，RGB。 ，最大路径长度= 5，4096个分层spp，盒式滤波器，表面粗糙度= 0.2，RGB。尽管在渲染设置方面存在一些差异，但是很明显，渲染的图像将不会收敛到之前显示的参考。

我倾向于认为这不是实现问题，而是有关问题在渲染方程框架内正确使用Cook-Torrance模型。下面，我解释了我如何评估镜面反射BRDF，我想知道我是否做得正确，否则，为什么。

在深入了解细节之前，请注意渲染器非常简单：1）仅实现暴力天真的路径跟踪算法-没有直接的光采样，没有双向路径跟踪，没有MLT； 2）在交点以上的半球上所有采样都是均匀的-根本没有重要性采样，对于扩散表面也没有采样； 3）射线路径的最大固定长度为5-没有俄罗斯轮盘； 4）辐射/反射率是通过RGB元组告知的-没有光谱渲染。

库克·托伦斯微面模型

现在我将尝试构建实现该模型所遵循的路径高光BRDF评估表达式。一切都始于渲染方程式
$$
L_o（\ textbf {p}，\ mathbf {w_o}）= L_e + \ int _ {\ Omega} L_i（\ textbf {p}，\ mathbf { w_i}）fr（\ mathbf {w_o}，\ mathbf {w_i}）\ cos \ theta d \ omega
$$
其中$ \ textbf {p} $是表面的交点， $ \ mathbf {w_o} $是观察矢量，$ \ mathbf {w_i} $是光矢量，$ L_o $是沿$ \ mathbf {w_o} $的传出辐射，$ L_i $是在$ \上的辐射入射沿$ \ mathbf {w_i} $和$ \ cos \ theta = \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {w_i} $的textbf {p} $。上面的积分（即反射项）渲染方程的近似值）可以使用以下蒙特卡洛估计器进行近似计算：
$$
\ frac {1} {N} \ sum_ {k = 1} ^ {N} \ frac {L_i（\ textbf {p}，\ mathbf {w_k}）fr（\ mathbf {w_k}，w_o）\ cos \ theta} {p（\ mathbf {w_k}）}
$$
其中$ p $是描述采样向量$ \ mathbf {w_k} $分布的概率密度函数（PDF）。对于实际渲染，必须指定BRDF和PDF。对于Cook-Torrance模型的镜面反射项，我使用以下BRDF
$$
$$
其中
D = \ frac {1} {m ^ 2（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {h}）^ 4} \ exp \ left（{\ frac {（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {h} ）^ 2-1-1} {m ^ 2（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {h}）^ 2}} \ right）
$$
$$
F = c_ {spec} +（1-c_ {spec}）（1-\ mathbf {w_i} \ cdot \ mathbf {h}）^ 5
$$
$$
G = \ min \ left（1，\ frac {2（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {h}）（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {w_o}）} {\ mathbf {w_o} \ cdot \ mathbf {h }}，\ frac {2（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {h}）（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {w_i}）} {\ mathbf {w_o} \ cdot \ mathbf {h}} \ right）
$$
在上述等式中，$ \ mathbf {h} = \ frac {\ mathbf {w_o} + \ mathbf {w_i}} {| \ mathbf {w_o} + \ mathbf {w_i} |} $和$ c_ {spec} $是镜面颜色。除$ F $外，所有方程式均从原始论文中提取。 $ F $也称为Schlick逼近，是对实际菲涅耳项的有效且不太准确的逼近。

在渲染平滑镜面曲面时必须使用重要性采样。但是，我仅对相当粗糙的表面（$ m \约0.2 $）建模，因此，我决定保持一段时间均匀采样（以更长的渲染时间为代价）。在这种情况下，PDF为
$$
p（\ mathbf {w_k}）= \ frac {1} {2 \ pi}
$$
通过替换制服PDF和Cook-Torrance BRDF放入Monte Carlo估计器（注意$ \ mathbf {w_i} $被随机变量$ \ mathbf {w_k} $代替），我得到
$$
\ frac {1} {N} \ sum_ {k = 1} ^ {N} \ frac {L_i（\ textbf {p}，\ mathbf {w_k}）\ left（\ frac {DFG} {\ pi（\ mathbf { n} \ cdot \ mathbf {w_k}）（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {w_o}）} \ right）\ cos \ theta} {\ left（\ frac {1} {2 \ pi} \ right） }
$$
现在我们可以取消$ \ pi $并删除求和，因为我们从交点仅发射一条随机射线。我们最后得到
$$
2 L_i（\ textbf {p}，\ mathbf {w_k}）\ left（\ frac {DFG} {（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {w_k }）（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {w_o}）} \ right）\ cos \ theta
$$
由于$ \ cos \ theta = \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {w_k} $，我们可以进一步简化它
$$
2 L_i（\ textbf {p}，\ mathbf {w_k} ）\ left（\ frac {DFG} {\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {w_o}} \ right）
$$

因此，当射线击中镜面，反射率由Cook-Torrance BRDF描述。这似乎反映出比收到的能量还要多的能量。
我几乎可以肯定它（或者在推导过程中）有问题，但是我无法发现它。

有趣的是，如果将上面的表达式乘以$ \ frac {1} {\ pi} $，我得到的结果看起来是正确的。但是，我拒绝这样做，因为我无法在数学上证明其合理性。谢谢！

更新

正如@wolle在下面指出的那样，本文提出了一种更适合路径跟踪的新公式，其中正态分布函数（NDF）$ D $包括$ \ frac {1} {\ pi} $因子，BRDF $ fr $包括$ \ frac {1} {4} $因子。因此，
$$
D_ {new} = \ frac {1} {\ pi m ^ 2（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {h}）^ 4} \ exp \ left（{ \ frac {（\\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {h}）^ 2-1-1 {m ^ 2（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {h}）^ 2}} \ right）
$$
和
$$
fr_ {new}（\ mathbf {w_i}，\ mathbf {w_o}）= \ frac {DFG} {4（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {w_i}）（\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {w_o}）}
$$
在将上述方程式包含到渲染方程式中后，我最终得出了/> $$
\ frac {\ pi} {2} L_i（\ textbf {p}，\ mathbf {w_k}）\ left（\ frac {D_ {new} FG} {\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {w_o}} \ right）
$$
效果很好！
PS：现在的问题是更好地了解$ D $和$ fr $的新公式如何提供帮助保持节能方面...但这是另一个主题。

UPDATE 2

正如PeteUK指出的那样，我问题原始文本中提出的菲涅耳公式的作者被错误地归咎于库克和托伦斯。上面使用的菲涅耳公式实际上称为Schlick近似值，并以Christophe Schlick命名。问题的原始文本已作相应修改。