尽管经常比较它们，但是FFT和FWT似乎是苹果和橘子。据我了解，将STFT（随时间变化的小块FFT）与复杂的Morlet WT进行比较会更合适，因为它们都是基于复杂正弦波的时频表示（如果我错了，请纠正我） ）。这通常以如下图显示：
（另一个示例）
左图显示了STFT是一堆FFT的方式随着时间的流逝彼此堆叠（此表示法是声谱图的起点），而右侧显示了二进线WT，它在高频时具有更好的时间分辨率，在低频时具有更好的频率分辨率（此表示称为比例图）。在此示例中，STFT的$ N $是垂直列数（6），并且单个$ \ mathcal O（N \ log N）$ FFT运算从$ N $个样本计算出一行$ N $系数。总共是6个点的8个FFT，或时域中的48个采样。
我不明白的是：
单个$ \ O（N）$ FWT操作计算，它们在上面的时频图上位于什么位置？
通过一次计算就可以填充哪个矩形？
如果我们使用这两个矩形来计算等时的时频系数块，是否可以获得相同数量的数据？
FWT是否仍然比FFT效率更高？
使用PyWavelets的具体示例：
In [2]: dwt([1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], 'haar')
Out[2]:
(array([ 0.70710678, 0. , 0. , 0. ]),
array([ 0.70710678, 0. , 0. , 0. ]))
它创建两组4个系数，因此它与原始信号中的样本数相同。但是这8个系数和图中的图块之间是什么关系？
更新：
实际上，我可能做错了，应该使用
wavedec()，它执行多级DWT分解：In [4]: wavedec([1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], 'haar')
Out[4]:
[array([ 0.35355339]),
array([ 0.35355339]),
array([ 0.5, 0. ]),
array([ 0.70710678, 0. , 0. , 0. ])]
#1 楼
您是正确的，FWT最好被认为是STFT的“表亲”，而不是FT。实际上，FWT只是CWT（连续小波变换）的离散采样，因为FFT / DFT是傅立叶变换的离散采样。这看似微妙，但在选择离散化转换方式时却很重要。CWT和STFT都是信号的冗余分析。换句话说，您拥有的“系数”（在离散情况下）比完全代表信号所需的更多。但是，傅立叶变换（或仅使用一个尺度的小波变换）对从-无限到+无限的信号进行积分。这在现实世界的信号上不是很有用，因此我们将转换截短（即窗口化）为较短的长度。信号的窗口化会改变变换-您在时间/空间上乘以窗口，因此在变换空间中，您将窗口的变换与信号的变换进行卷积。在STFT的情况下，窗口通常始终具有相同的长度（非零范围），并且与频率无关（将10 Hz的信号与10 kHz的信号宽度相同的窗口）。这样您就可以像绘制矩形图一样。
由于小波随着比例尺的减小而变短（在时间或空间上）（例如更高的频率），因此CWT内置了这种窗口。因此，对于较高的频率，有效窗口的持续时间较短，并且最终得到的比例尺看上去就像为FWT绘制的一样。
如何离散化CWT取决于您，尽管我认为在位移和比例尺上都存在最小采样量才能完全表示信号。通常（至少我是如何使用它们的）对于最小比例（最高频率），您将在所有班次位置（时间/空间）进行采样。随着规模的增加（频率的降低），您可以减少采样的频率。理由是低频不会迅速改变（想像c碰撞与贝司吉他-crash碰撞具有非常短的瞬态，而贝司吉他需要更长的时间来改变）。实际上，在最短的范围内（假设您在所有移位位置采样），您可以完整地表示信号（您可以仅使用此范围内的系数来重构它）。我不太确定抽样量表的理由。我认为这建议是对数的，（我认为）较短刻度之间的间距较小。我认为这是因为较长尺度的小波具有更宽的傅里叶变换（因此它们“拾取”了更多频率）。
我承认我并不完全了解FWT。我的直觉是，它实际上是班次/比例的最小采样，而不是多余的表示。但是我认为您会在短时间内失去分析（并弄乱）信号的能力，而不会引入不需要的伪像。我将阅读有关它的更多信息，如果我学到任何有用的东西，请报告。希望其他人愿意发表评论。
评论
$ \ begingroup $
“它实际上是班次/比例的最小采样，不是多余的表示。”啊!我认为您是对的，这可以解释为什么总是将它与FFT（它也是最小表示）进行比较。
$ \ endgroup $
– Endolith
09年11月24日在17:11
$ \ begingroup $
FWT是CWT的重要样本。我仍在尝试更好地理解它，但是我了解到STFT和CWT都是Frames。框架理论超越了我，但是一个有趣的概念是不确定性公式，对于STFT，dw * dt> C（dw是频率分辨率，dt是时间分辨率）。换句话说，当您尝试更好地解决频率问题时，您将失去时间分辨率。 CWT没有此限制。一旦我弄清楚了，我将继续阅读并尝试并澄清上面的答案。
$ \ endgroup $
–帕特里克（Patrick）
09年12月10日在16:24
$ \ begingroup $
据我所知，CWT具有相同的局限性，但要权衡利弊。
$ \ endgroup $
– Endolith
09年12月12日在19:58
$ \ begingroup $
“ STFT都是信号的冗余分析”。我认为那不是真的。如果您有一个100点的信号，请将其分成10个点的块，然后对每个点进行10点的FFT，您仍然将相同的信息存储在相同数量的样本中。
$ \ endgroup $
– Endolith
2011-2-15在19:01
#2 楼
考虑Haar小波的情况。快速小波变换递归地细分您的信号，并每次计算两个一半的和与差。差异是当前小波的变换幅度，总和返回给调用者以计算频率为一半的膨胀小波的变换幅度。因此，FWT使用您给定的图中描述的模式覆盖了时频平面。他们真正要告诉您的是，您以最低的频率获得一个样本，以该频率的两倍获得两个样本，以该频率的四倍获得四个样本，依此类推。每个小波的时频特性都不足以覆盖小块。实际上，每个小波都将覆盖无限的区域，因为它们具有紧凑的支持，因此必须在频率上完全离域。因此，您只需要考虑这些图块的中心即可。因此，离散小波的时频特性通常是糟糕的（例如，Daubechies小波要么具有鲜明的特征，要么具有变化的频率），并且在FWT的情况下，时频平面的实用性大大降低。但是，连续小波用于计算信号的时频表示。评论
$ \ begingroup $
是的，我了解系数的本地化。与FFT相同。当您说“必须遵守”时，您是什么意思？如果您要获取信号的最小/非冗余表示，这是否只是一个要求？如果您只是试图对其进行分析/可视化怎么办？我将为这个问题添加一个更具体的示例。
$ \ endgroup $
– Endolith
2010-2-8 15:18
$ \ begingroup $
遵循可采性标准可确保存在同一性的解析度，即所有信号都可以从其小波变换中恢复。如果您不遵守它，那么您将无法从其变换中恢复信号，这时您必须质疑您正在分析的信号到底是什么（它甚至反映出信号中包含的任何信息吗？如果不需要最小/非冗余表示，则可以使用CWT中较宽松的可接纳性标准（可让您定义更多“理想”小波）。
$ \ endgroup $
–乔恩·哈罗普（Jon Harrop）
2010-2-11在0:54
$ \ begingroup $
我想您会发现我的博士学位论文非常有用。我会为您在线上...
$ \ endgroup $
–乔恩·哈罗普（Jon Harrop）
2010-2-11在0:54
$ \ begingroup $
你把它放在网上了吗？ :)
$ \ endgroup $
– Endolith
2010-2-25在16:23
$ \ begingroup $
我确实做到了：flyingfrogblog.blogspot.com/2010/02/…
$ \ endgroup $
–乔恩·哈罗普（Jon Harrop）
2010-2-26在3:44
#3 楼
您的参考文献有：基于正交有限小波或小波的系数序列。
有关更多信息，您可以可能喜欢DWT页面。在那里介绍了Haar小波，Daubechies小波和其他。它指出了小波如何定位–（1,1，–1，–1）小波对应于“左侧”对“右侧”，而最后两个小波
正弦波没有位置-它们散布在整个空间中-但确实有相位-第二和第三波是平移彼此相对应，例如与余弦和正弦相差90°，它们是离散形式。 ，您可能会从小波系列开始。
除了维基百科，一本教科书和一门课程可能对您很有帮助。
评论
$ \ begingroup $
我不明白这个答案。它回答了我的问题吗？左侧和右侧是什么？这与时频表示有什么关系？
$ \ endgroup $
– Endolith
09年11月24日15:11
$ \ begingroup $
“左侧与右侧”说明是DWT页面的摘录预览，显示该页面包括一个简单的示例，用于解释正弦波基和Haar小波基的相对优点。您在问小波变换中系数的性质。听起来您在寻找直觉。我认为您可能会发现该示例（在其原始上下文中）很有用。
$ \ endgroup $
–伊万·托德（Ewan Todd）
09年11月24日15:44
$ \ begingroup $
是的，在发布此问题之前，我已经阅读了Wikipedia文章多次。我不知道您的答案是否/与我有关时频表示的问题有关。如果可以，您能否将点连接起来？ n个样本的FFT将产生n个系数，这些系数构成STFT频谱图的单列。 WT产生的系数与比例尺之间是否存在对应关系？如果是这样，那是什么？通过FWT一次运行可以填充右下图中的哪个框？
$ \ endgroup $
– Endolith
09年11月24日在16:08
$ \ begingroup $
维基百科页面上与小波相关的几乎所有内容目前都是错误的。
$ \ endgroup $
–乔恩·哈罗普（Jon Harrop）
2010-2-15在21:34
#4 楼
基本上，FFT（快速傅立叶变换）和FWT（快速小波变换）是离散化变换的两种实现方式，它们是基于连续变换，转为离散的，比起$ O（N ^ 2）$（对于一维矩阵变换），它要快得多数据）。一种更适合谐波信号，一种适合瞬态信号（或多或少）。注意，传递时FWT不需要正交，并且还存在其他快速版本，例如提升方案。还要注意，这些估计不是渐近的，对于短数据来说，它们不容易比较。换句话说，在非渐近状态下，$ O（N）$不比$ O（N \ log（N））$“必须更快”，因为$ O（\ cdot）$中的常数可以改变处理。从更高的维度看，东西并不是那么简单。
从通用窗口式STFT（连续形式）开始。如果插入单位高度的无限窗口，则在特殊情况下可以恢复傅立叶变换。您可以离散化（并获得DFT）并使其快速（并获得FFT）。
从CWT（连续形式）开始。连续的CWT允许大量潜在的小波形状。只能通过考虑某些“海森堡”不等式的采样模式（时间或比例）来精确离散它们：每单位表面一个样本。这些模式取决于小波。在大多数情况下，这些模式会使离散的CWT变得多余，并产生小波帧。
有些人希望它是非冗余的，具有二进位刻度（DWT）。只有极少数的小波（仍然是无穷小，但您无法偶然发现它们）允许这样做。第一批是Haar，Franklin和Meyer小波。如果然后将小波支持强加为有限的，那么Haar在相当长的时间内是唯一的。从“自然连续小波”中获得正交小波几乎是不可能的，这就是建立Daubechies的小波以及后来的Symmlet和Coiflets的原因。那些形状怪异的小波没有像Morlet小波那样好的简单公式。并且通过一些巧妙的技巧，他们最终得到了O（N）$算法。您有FWT。因此，我略有不同意：
实际上，FWT只是CWT的离散采样。DWT（或FWT）是精确的，例如DFT / FFT。大多数其他离散CWT（具有任何小波）都差不多（如果有足够的冗余，不会造成太大损害）。
所以：
单个FWT操作可计算不同级别的所有系数。 DWT为每个矩形提供$ k $点，您可以想象它位于中心，但这是一个约定。基本上，这是对未知连续CWT平面的采样：每个“单位”表面的$ k $个采样。每个点“代表”整个矩形，有点像DFT点代表他周围的整个DFT框。完全不正确，但这就是主意。 $ k $由信号长度给出。在图形中，假设您在$ 0 $和$ 4T $之间有$ 8 $点。 DWT的第一级给您$ 2乘以4 $点（一个低通，一个高通，下采样为$ 2 $）。这就是您第一次尝试Python所获得的。高频滤波产生的$ 4 $会以最高频率$ [ω/ 2，\ω$]为您的每个扁平矩形提供一个样本。一个低通，一个高通将另外的$ 4 $积分再次分解为$ 2 \ times2 $。与上述类似，$ 2 $会为您提供两个方格的一个样本。使用其余的低通/高通，您可以在$ [\ omega / 8，\ omega / 4] $中获得一个样本。最后一个样本是最终的低通系数，位于最左边的高矩形框中。那就是您最终的Python代码所拥有的：$ [1,1,2,4] $系数
矩形将被CWT填充。使用DWT时，它们不会被填充，每个样本只有$ k $个样本，就像没有“填充” DFT容器一样。这总是在计算效率上更高吗？不确定，取决于$ O（N）$中的常数。对于正弦分析？ FWT永远都不好（特别是由于有限长度的过滤器）。但是对于图像的紧凑表示（例如JPEG2000），它们可能非常不错。在这里，您可以使用稍微更快的方案，例如提升方案。
下图显示了如何将Haar小波的连续版本
采样到正交离散小波：
请注意，某些离散小波，尤其是长小波（如样条线）有时会使用FFT来计算:)
评论
为了更好地理解这些小波分解的工作原理，一个有用的工具将是能够对现实信号进行处理：例如音频信号（我在这个方向上有一个问题dsp.stackexchange.com/问题/ 12694 / stft-and-dwt-wavelets）@endolith是否仍要求您提出问题？如果是这样，我可以添加其他提示
@LaurentDuval是的，它仍然打开，我还是不明白。我可能会感到困惑，因为CWT使用的是Morlet之类的东西，而DWT使用的只是Haar或Daubechies之类的东西。我不确定快速FWT是仅Haar还是可以使用其他类型的小波。
@ndolith对此发表评论：连续的CWT承认数量惊人的潜在小波形状。只能使用尊重某些“海森堡”不等式的采样模式（时间或比例）来精确离散它们。这些模式取决于小波。在大多数情况下，这些模式会使离散的CWT变得多余。有些人希望它是非冗余的，具有二进位比例。只有极少数的小波允许这样做。如果然后将小波支持强加为有限的，那么Haar就是其中之一，几乎不可能获得“自然小波”，这就是为什么建立Daubechies的小波的原因