何时别名是一件好事？

#1 楼

问题中引用的文字是使用带通采样或欠采样的情况。

在这里，为了避免混叠失真，感兴趣的信号必须是带通的。这意味着信号的功率谱在$ f_L <| f |之间仅是非零的。
如果我们以$ f_s $的速率对信号进行采样，则后续重复频谱不重叠的条件意味着我们可以避免混叠。从数学上讲，重复频谱发生在$ f_s $的每个整数倍处。 n} \ le f_s \ le \ frac {2 f_L} {n-1} $$

其中$ n $是满足以下条件的整数

$$ 1 \ le n \ le \ frac {f_H} {f_H-f_L} $$

可以使用许多有效的频率范围，如下图所示（摘自上面的Wikipedia链接） 。



在上图中，如果问题出在灰色区域，则即使带采样的信号是混叠，我们没有使信号频谱的形状失真。

评论

---

$ \ begingroup $
彼得，您能否通过提供链接文章中的更多细节和少量插图来扩大答案？我之所以这样说，是因为pdf是指向某人个人网页的链接，如果他们将该文件取下来，那么答案将失去所有帮助！通常，如果一个人解释了链接中的信息，则答案会很自给自足，并且不会导致链接腐烂。另外，我认为OP要求的是带通采样以外的应用，在这些应用中故意使用了混叠效应以发挥其优势。
$ \ endgroup $
–乳香
2011年9月3日15:48

---

$ \ begingroup $
@yoda：会的。现在没有时间（必须修剪！），但今天晚些时候可以恢复。
$ \ endgroup $
– Peter K.♦
2011年9月3日15:52

---

$ \ begingroup $
谢谢！回复：割草，因为你有草坪，也许还有花园，我对园艺场感兴趣吗？我是该网站的主持人，我们对种植/维护草坪和修复草坪有一些好的建议。请检查我们，并随时问任何素食/花卉/树木/堆肥等相关问题！
$ \ endgroup $
–乳香
2011年9月3日15:58

---

$ \ begingroup $
@yoda：感谢您的编辑。没意识到这就是您获得显示风格的方式！ :-)
$ \ endgroup $
– Peter K.♦
2011年9月4日19:52

---

$ \ begingroup $
只要所需信号的镜像频率在采样器之前开槽，就可以进行欠采样而不会使信号通过。使用正确的频率比，您可以对两个信号进行采样，一个采样率高于一个采样率，一个采样率低于采样率，只要在混叠后信号和图像不重叠即可。还应注意，欠采样对采样抖动的容忍度要低得多。
$ \ endgroup $
– hotpaw2
2011-9-5 18:39

---

#2 楼

让人想到的一个例子是数字解调。线性调制方案的最佳检测器是匹配滤波并抽取到每个符号的中间样本。

匹配滤波可能无法很好地降低带宽，但是我们仍然希望

这种情况下的能量混叠是重构调制符号的一部分。阶段，即计时至关重要。

#3 楼

超分辨率是另一个需要混叠或更好地进行混叠的领域，光学系统不应成为链条中最薄弱的环节（并且有效抗混叠的光学组件（例如抗波纹滤光片）不应成为其中的一部分链）

#4 楼

混叠不成问题的另一时间是设计用于抽取的低通滤波器。在抽取操作之后，您可以允许一些混叠，以放松对滤波器性能的限制，从而实现低阶设计。您可以将阻带边缘滑出足够远的距离，以至于它不会混叠回到滤波器的通带（因此会破坏您感兴趣的信号），而不必将阻带边缘置于抽取后的奈奎斯特频率。 >从数学角度上来说，假设您的原始信号是以$ f_s $的速率采样的，并且您要进行$ D $的抽取。滤波器的通带边缘$ f_p $由关注信号的带宽定义。抽取后的奈奎斯特频率为$ \ frac {f_s} {2 D} $，因此显然，通带边缘频率必须小于此值。

由于我已经断言可以允许阻带流过超过奈奎斯特频率的频率，因此请记住第二奈奎斯特区域中的混叠是如何工作的：频率为\\ frac {f_s} {2 D } + \ Delta f $在抽取操作之前似乎位于$ \ frac {f_s} {2 D}-之后的\ Delta f $。因此，我们可以将阻带边缘置于某个频率$ f_ {stop} = \ frac {f_s} {2 D} + \ Delta f $并选择$ \ Delta f $，这样滤波器的过渡带不会抽取后与通带重叠。为了使它成为真的：

$$
f_ {stop_ {aliased}} = \ frac {f_s} {2 D}-\ Delta f \ ge f_p
$$

$$
\ Delta f \ le \ frac {f_s} {2 D}-f_p
$$

如果在后抽取信号中仍存在相当数量的过采样（有某些原因，您可能会这样做），那么您可以将阻带推出一个平凡的数量。作为定量方法，您可以查看“原始”和“松弛”过滤器规格的过渡比率：

$$
T_ {naive} = \ frac {f_p} {f_ {stop_ {naive}}} = \ frac {f_p} {\ frac {f_s} {2 D}} = \ frac {2 D f_p} {f_s}
$$

$$
T_ {relaxed} = \ frac {f_p} {f_ {stop_ {relaxed}}} = \ frac {f_p} {\ frac {f_s} {2 D} +（\ frac {f_s} {2 D}-f_p）} = \ frac {f_p} {\ frac {f_s} {D}-f_p}

$ $
\ frac {T_ {松弛}} {T_ {naive}} = \ frac {\ frac {f_p} {\ frac {f_s} {D}-f_p}} {\ frac {2 D f_p} { f_s}}
$$

$$
\ frac {T_ {relaxed}} {T_ {naive}} = \ frac {1} {2-\ frac {f_p } {\ frac {f_s} {2 D}}}通过这种方式，可以通过滤波器的通带（即感兴趣信号的带宽）与抽取后的奈奎斯特频率之比进行参数化。将该比率绘制为通带频率的函数（通过抽取后的采样率标准化），您将得到：



因此，总的来说，如果您的信号仍然在抽取操作之后进行适当的过采样，然后可以通过放宽其规格来将滤波器的转换率降低2倍。根据经验，FIR滤波器所需的抽头数量大致与转换比成正比。在执行抽取时，它确实允许一些混叠，但是设计规范时应保证混叠不会与所需信号重叠。这样一来，如果需要，可以通过一个以抽取采样率$ \ frac {f_s} {D} $运行的过滤器将其删除。

#5 楼

在某些情况下，混淆确实是一件好事。

这样看：假设您的采样率为100 Hz。假设您在某处有一个信号，例如从990 Hz到1010 Hz。 （因此，其总带宽为20 Hz，并以1000 Hz为中心）。

好吧，那又怎样呢？

假设您以100 Hz的速率对该信号进行了采样。发生的一切就是信号（从990-1010开始，以1000Hz为中心）被复制并以100的整数倍向右偏移？ 990-1010信号，但现在您有一个以900、800、700、600等为中心的信号，还有1100、1200、1300等等为中心的信号。带宽当然是相同的。因此，以900为中心的信号副本占用890-910 Hz。位于800 Hz的副本占据790-810 Hz，依此类推。您还将在“基带”上获得一个副本（这意味着它以0Hz为中心，因此占据-10至10Hz）。好吧，请看一下您刚才所做的事情-您刚刚设法将信号置于1000Hz，将其置于基带，然后使用仅以100Hz运行的采样器进行处理！你猜怎么着！奈奎斯特（Nyquist）认为，这一切都是合法的！

这是因为奈奎斯特（Nyquist）并没有说您必须采样至少两倍于最大频率-错误错误错误错误！ （但很常见的误解。）他说，您必须至少采样信号最大带宽的两倍，在这种情况下，最大带宽为20Hz。

应用程序？好吧，许多手机基站实际上都使用了这种“欠采样”技术。因此，您的手机信号处于较高的Ghz范围，而基站的采样范围则在数百Mhz。

顺便说一句，看到奈奎斯特实际上是如何工作的，我不喜欢“欠采样”一词-因为这意味着我们很欠采样。但是我们不能！我们完全遵循Nyquist，并且始终至少采样两倍于所讨论信号的最大带宽。