离散时间傅立叶变换与离散傅立叶变换之间的差异

#1 楼

离散时间傅立叶变换（DTFT）是离散时间信号的（常规）傅立叶变换。其输出在频率和周期上连续。示例：查找连续时间信号$ x（t）$的采样版本$ x（kT）$的频谱，可以使用DTFT。

离散傅里叶变换（DFT）可以被视为DTFT输出的采样版本（在频域中）。它用于通过计算机计算离散时间信号的频谱，因为计算机只能处理有限数量的值。我反对DFT输出是有限的。它也是周期性的，因此可以无限延续。

总结起来：

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*）DFT的数学性质它的输入和输出都是周期性的，且DFT长度为$ N $。也就是说，尽管实际上DFT的输入向量是有限的，但是如果DFT输入被认为是周期性的，则只能说DFT是采样频谱。

#2 楼

好吧，我要用一个论点来回答这个问题，即“反对者”是我对DFT的类似纳粹的僵硬立场。一样的。 DFT将“时间”域中周期为$ N $的一个无限周期序列$ x [n] $映射到另一个周期为$ N $的无限周期序列$ X [k] $。频率”域。然后iDFT将其映射回去。并且它们是“双射的”或“可逆的”或“一对一的”。 1} x [n] e ^ {-j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT：
$$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ { k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
，这从根本上说就是DFT。它本质上是周期性的或循环的事物。
但是周期性否认者喜欢这样说DFT。是的，它只是上面的任何内容都没有改变。 DFT固有的功能），您可以在此有限长度序列的左侧和右侧无限添加零。因此
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases}
x [n] \ qquad和\ text {for} 0 \ le n \ le N-1 \\
\\
0和\ text {otherwise}
\ end {cases} $$
现在，此非重复的无限序列确实具有DTFT：
$$ \ hat {X} \ left（e ^ {j \ omega} \ right）= \ sum \ limits_ {n =-\\ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {-j \ omega n} $$
$ \ hat {X} \ left（e ^ {j \ omega} \ right）$是$ \ hat {x} [n]的Z变换$在单位圆$ z = e ^ {j \ omega} $上评估了$ \ omega $的无数实际值。
现在，如果要对DTFT $ \ hat {X} \ left（ e ^ {j \ omega} \ right）$在单位圆上等距的$ N $点处，其中一个点在$ z = e ^ {j \ omega} = 1 $，您将得到
$$ \ begin {align}
\ hat {X} \ left（e ^ {j \ omega} \ right）\ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}}＆= \ sum \ limits_ {n =-\\ infty } ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {-j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\
＆= \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {-j 2 \ pi kn / N} \\
＆= \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {-j 2 \ pi kn / N} \\
＆= \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {-j 2 \ pi kn / N} \\
＆= X [k] \\
\ end {align} $$
正是DFT和DTFT之间的关系。在“频率”域中以均匀间隔对DTFT进行采样会导致在“时间”域中原始序列$ \ hat {x} [n] $重复并移位$ N $的所有倍数并重叠。这就是一个域中的统一采样导致另一域中的原因。但是，由于$ \ hat {x} [n] $被假定为$ 0 $，位于区间$ 0 \ le n \ le N-1 $之外，因此重叠相加没有任何作用。它只是定期扩展$ \ hat {x} [n] $的非零部分，即我们最初的有限长度序列$ x [n] $。

#3 楼

由于DTFT输出是连续的，因此无法用计算机处理。因此，我们必须将此连续信号转换为离散形式。无非是DFT作为FFT的进一步改进以减少计算。

#4 楼

如果我们要计算一个连续的DTFT，对其均匀采样一个周期，然后执行逆DFT，我们将获得原始无限，非周期性时间序列的周期性求和的一个周期。相反，如果我们要计算原始无限，非周期性时间序列的周期求和的一个周期，并执行DFT，则将获得连续DTFT的一个周期的样本。

#5 楼

如果我是正确的话，即使DFT输入是周期性的，尽管样本数是有限的，但其背后的数学将其视为一个无限序列，该序列在终止后周期性地开始N样本。如果我错了，请纠正我。

#6 楼

DFT：
$$
X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {− j2 \ pi nk / N}
$ $
其反比将是：
$$
x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N}
$$