双线性变换有替代方法吗？

#1 楼

如果极点在s平面的左半部分（左图），则模拟滤波器是稳定的；如果极点在单位圆内（右图），则数字滤波器是稳定的。因此，从数学上讲，从模拟到数字的转换所需的是从半空间到单位磁盘以及$ \ jmath \ Omega $轴到单位圆的映射（共形？）$ \ vert z \ vert = 1 $ 。任何执行此操作的变换都可以替代双边变换。

两种公知的方法是脉冲不变性方法和匹配的Z变换方法。从概念上讲，这两者都类似于对我们熟悉的连续波形进行采样。用$ \ mathcal {L} ^ {-1} $表示拉普拉斯逆变换，将Z变换表示为$ \ mathcal {Z} $，这两种方法都涉及将模拟滤波器的脉冲响应计算为
$$ a（t）= \ mathcal {L} ^ {-1} \ {A（s）\} $$
，并以足够高的采样间隔$ T $采样$ a（t）$以避免混淆。然后从采样序列$ a [n] $中获取数字滤波器的传递函数，如：
$$ D_a（z）= \ mathcal {Z} \ {a [n] \} $$
但是，两者之间有关键的区别。 br /> $$ A（s）= \ sum_m \ frac {C_m} {s- \ alpha_m} $$
其中$ C_m $是常数，而$ \ alpha_m $是极点。在数学上，分子小于分母的分子的任何传递函数都可以表示为部分分数的总和。只有低通滤波器满足此条件（高通和带通/带阻至少具有相同的程度），因此不能使用脉冲不变方法来设计其他滤波器。
它失败的原因也很清楚。如果您在分子中具有与分母相同程度的多项式，那么您将拥有一个独立的常数项，该常数项在进行逆变换时将提供无法采样的增量函数。
逆Laplace和正向Z变换，您会看到极点变换为$ \ alpha_m \到e ^ {\ alpha_m T} $，这意味着如果您的模拟滤波器稳定，则数字滤波器也将稳定。因此，它保留了滤波器的稳定性。
匹配的Z变换
在这种方法中，不是将冲激响应分成部分分数，而是对极点和零点进行了类似的简单转换。 （匹配）为$ \ beta_m \ to e ^ {\ beta_m T} $和$ \ alpha_m \ to e ^ {\ alpha_m T} $（也是保持稳定性），得到
$$ A = \ frac {\ prod_m（s- \ beta_m）} {\ prod_n（s- \ alpha_n）} \ longrightarrow \ frac {\ prod_m \ left（1-z ^ {-1} e ^ {\ beta_m T} \ right） } {\ prod_n \ left（1-z ^ {-1} e ^ {\ alpha_n T} \ right）} $$
您可以轻松地看到这两种方法的局限性。脉冲不变式仅在您的滤波器为低通且匹配的z变换方法适用于带阻和带通滤波器（且高达奈奎斯特频率的高通）时适用。实际上，它们也受到采样率的限制（毕竟，您只能上升到某个点），并且会受到混叠的影响。
双线性变换是迄今为止实践中最常用的方法，以上两个是为了学术利益。对于转换回模拟，很抱歉，但是我不知道，在这里也无济于事，因为我几乎从未使用过模拟滤波器。

#2 楼

有很多方法可以完成从$ s $到$ z $的映射。控制社区对此有话要说。

一些例子是：

匹配的Z变换

这里是$ s $域传递函数被写为部分分数扩展：

$$ Y（s）= \ frac {a_0} {s + s_0} + \ frac {a_1} {s + s_1} +。 .. $$

部分分数扩展的每个部分的转换直接使用：

$$ s + s_n = 1-z ^ {-1} \ exp（-s_nT）$$

辛普森法则

对双线性变换的一种解释是，它是一种通过使用梯形法则。

使用辛普森法则是一种更精确的近似积分技术。如果使用此近似值，则得到的映射
为：

$$ s = \ frac {3} {T} \ frac {z ^ 2-1-} {z ^ 2 + 4z +1} $$