为什么线性相位很重要？

#1 楼

线性相位滤波器将保留信号或输入信号分量的波形（在可能的范围内，假设某些频率会因滤波器的作用而改变幅度）。

此在以下几个领域可能很重要：


相干信号处理和解调，其中波形很重要，因为必须对波形做出阈值决定（可能在正交空间中，并且有很多阈值） （例如128 QAM调制），以便确定接收到的信号表示的是“ 1”还是“ 0”。因此，保留或恢复原始发送的波形至关重要，否则将做出错误的阈值决策，这将代表通信系统中的一个误码。包含有关目标属性的重要信息“立体图像”等）

#2 楼

让我将以下图形添加到已经给出的出色答案中，以期对提出的问题做出明确而明确的答案。其他答案详细说明什么是线性相位，这详细说明了为什么它在一个图形中很重要：

当滤波器具有线性相位时，该信号内的所有频率将被延迟相同的时间量（如Fat32答案中的数学描述）。
任何信号都可以分解（通过傅立叶级数）分解为单独的频率分量。当信号通过任何通道（例如滤波器）延迟时，只要所有这些频率分量都延迟相同的量，则在延迟之后将重新创建相同的信号（感兴趣的信号，在通道的通带内） 。
考虑一个方波，通过傅立叶级数展开，该方波被显示为由无限数量的奇次谐波频率组成。如果这些分量都延迟了相同的量，则将这些分量相加后，感兴趣的波形将保持完整。但是，如果每个频率分量延迟不同的时间量，则会导致明显的群延迟失真。
以下内容可能有助于为具有某些RF或模拟背景的用户提供更多直观的了解。延迟线（例如用同轴电缆的长度近似），可以通过宽带信号而不会失真。
下图显示了这种电缆的传递函数，所有频率的幅值均为1它是无损的），并且相位与频率成正比，呈负线性增长。电缆越长，相位的斜率就越陡，但在所有情况下都是“线性相位”。通过电缆的1 Hz信号的相位延迟具有1秒的延迟将为360°，而具有相同延迟的2 Hz信号的相位延迟将为720°，依此类推...
将其带回到数字世界，$ z ^ {-1} $是1个采样延迟的z变换（因此有一条延迟线），其频率响应与所示的相似，只是H（z ）;一个恒定的幅度= 1，并且一个相位从$ 0 $到$ -2 \ pi $从f = 0 Hz线性变化到f = fs（采样率）。
与频率线性和恒定延迟的a相为傅立叶变换对。这是傅立叶变换的平移特性。 $ \ tau $秒的恒定时间延迟导致频率$-\ omega \ tau $呈线性相位，其中$ \ omega $是弧度/秒的角频率轴：
$$ \ mathscr {F} \ {g（t- \ tau）\} = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} g（t- \ tau）e ^ {j \ omega t} dt $$
$ $ u = t-\ tau $$
$$ \ mathscr {F} \ {g（u）\} = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} g（u）e ^ {-j \ omega（u + \ tau）} du $$
$$ = e ^ {-j \ omega \ tau} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} g（u）e ^ {-j \ omega u} du $$
$$ = e ^ {-j \ omega \ tau} G（j \ omega）$$

#3 楼

只需补充一下已经说过的内容，您就可以通过观察以下具有单调递增频率的正弦曲线来直观地看到这一点。将改变它的相位。但也请注意，对于较高的频率，相位变化将较大，而对于较低的频率，相位变化将较小。换句话说，相位随频率线性增加。因此，恒定的时移对应于频域中的线性相位变化。

#4 楼

在前面的答复中已经清楚地解释了这个问题的答案。但是，我想尝试给出一个数学解释，尝试一下一个线性时不变系统，其频率响应由$ H（w）$来控制。 >即，如果该系统的输入为$ e ^ {jw_ {0} t} $，则输出为$ H（w_ {0}）e ^ {jw_ {0} t} $$

这里$ H（w_ {0}）$是一个复数，其相位分量由$ arg（H（w））$表示，幅度分量由$ | H（w）| $

如果系统具有线性相位响应，则$$ arg（H（w））= Kw $$，其中$ K $是常数

如果相位是线性，则系统输出为输入$ e ^ {jw_ {0} t} $将为$$ y（t）= | H（w）| * e ^ {jw_ {0} t + jKw_ {0}} $$
$$ = | H（w）| * e ^ {jw_ {0}（t + K）} $$，不过是输入的延迟版本并应用了一定的缩放比例。那么信号的所有频率分量都会在时域中经历相同量的延迟，从而保持形状。

#5 楼

线性相位特性的本质和重要性在于定义和群延迟$$ \ tau（\ omega）=-\ frac {d \ phi（\ omega）} {d \ omega} $$的定义及其影响$ x [n] $，其中$ \ phi（\ omega）$是滤波器的相位响应； （其频率响应的相位）。

假设对一个具有固定组延迟$ n_0 $个采样的滤波器施加一个窄带输入信号$ x [n] $。然后，输出信号将（近似）为$ y [n] = K x [n-n_0] $的形式，其中$ K $是在窄带输入信号$ x [n] $的中心频率处评估的滤波器增益。这意味着输入信号将通过滤波器的群延迟进行整体加权和完整移动。只有当群延迟与频率$ \ omega $无关时，才会发生这种情况。如果基础滤波器具有线性相位（或广义线性相位），则将是这种情况。请注意，如果输入信号为宽带类型，则为0。即，其最小和最大频率远离其中心频率，则近似值无效，即使对于信号中的每个正弦分量，群延迟仍然相同，但它们的相对输出幅度将随频率相关的滤波器增益而不同$ K（w）$。

那么，具有非线性相位（或频率相关的群延迟）的滤波器对输入信号有什么影响？一个简单的例子就是将一个复杂的输入信号视为不同中心频率处多个波包的总和。在滤波之后，由于频率相关的群延迟，具有特定中心频率的每个分组将被不同地移位（延迟）。这将导致这些波包的时间顺序（或空间顺序）发生变化，有时会发生剧烈变化，具体取决于相位的非线性程度，这在通信终端学中称为分散。不仅复合波形，而且某些事件顺序也可能丢失。这种色散通道会对传输的数据产生严重影响，例如ISI（符号间干扰）。

线性相位滤波器的这种特性也被称为波形保持特性，适用于特别是窄带信号。除了如上所述的ISI以外，波形是重要的示例是在图像的处理中，其中对于图像的可理解性，与傅立叶变换的幅度相比，傅立叶变换相位信息是最重要的。但是，由于耳朵对刺激的敏感性不同，因此对于声音信号的感知不能说相同。

#6 楼

我将对上面提到的这些好答案做一个总结：


在时域中移动信号将导致与频率成比例的相移，因此f（t + dt） F（f）e（j2πfdt）
当具有线性相位响应的滤波器在该时域中输入信号的所有频率都将以相同的量在时域中移动时，这将导致重新进行可行性输入信号。