$$
\ Sigma
=
\ begin {bmatrix}
\ sigma_ {xx}和\ sigma_ {xy}＆\ sigma_ {x \ theta} \ \
\ sigma_ {yx}＆\ sigma_ {yy}＆\ sigma_ {y \ theta} \\
\ sigma _ {\ theta x}＆\ sigma _ {\ theta y}＆\ sigma _ {\ theta \ theta} \\
\ end {bmatrix}
$$
现在，我对$ \ sigma_ {xx} $，$ \ sigma_ {yy} $和$ \ sigma_的理解{\ theta \ theta} $表示不确定性。例如，对于$ \ sigma_ {xx} $，它描述了x值的不确定性。现在，我对其余的西格玛问题表示什么？如果它们为零是什么意思？我可以解释为，如果$ \ sigma_ {xx} $为零，则意味着我对x的值没有不确定性。
注意，我正在阅读Howie Choset等人的《机器人运动原理-理论，算法和实现》。等，其中指出
根据此定义，$ \ sigma_ {ii} $与$ \ sigma_ {i} ^ {2} $相同，即$ X_ {i } $。对于$ i≠j $，如果$ \ sigma_ {ij} = 0 $，则$ X_ {i} $和$ X_ {j} $彼此独立。
如果其余的sigma为零，这可能会回答我的问题，但是，我仍然对这些变量（例如$ x $和$ y $）之间的关系感到困惑。什么时候发生？我的意思是它们之间的相关性。或者换句话说，我可以假设它们为零吗？
另一本书《 FastSLAM：一种可扩展的方法...》（作者：Michael和Sebastian）指出，
此多元高斯变量协方差矩阵的非对角线元素对状态变量对之间的相关性进行编码。
它们何时不涉及可能会发生，这意味着什么？
#1 楼
这是一个玩具箱，其中非对角元素为非零。考虑一个状态向量，该状态向量包括左右车轮的位置，而不是机器人的单个位置。现在，如果左轮的位置为100m，那么您就会知道右轮的位置也将约为100m（取决于轴长）。通常，随着左轮位置的增加，右轮也会增加。这不是精确的1：1相关，例如它不能精确地固定在机器人旋转时，但是总体上可以保持。
因此，此处左轮x位置和右轮x位置之间的非对角线入口将接近1。
#2 楼
要了解协方差矩阵-无需在这里讨论数学细节-最好从2x2矩阵开始。然后，请记住，协方差矩阵是方差概念在多变量情况下的扩展。在一维情况下，方差是单个随机变量的统计信息。如果您的随机变量具有均值为零的高斯分布，则其方差可以精确定义概率密度函数。现在，如果将其扩展到两个变量而不是一个变量，则可以区分两种情况。如果您的两个变量是独立的，则意味着一个值的结果与另一个值没有关系，其与一维情况基本相同。您的$ \ sigma_ {xx} $和$ \ sigma_ {yy} $给出了随机变量$ x $和$ y $部分的方差，而$ \ sigma_ {xy} $将为零。
如果变量是相关的，则有所不同。从属意味着$ x $和$ y $的结果之间存在关系。例如，只要$ x $为正数，通常$ y $也更可能为正数。这是由您的协方差值$ \ sigma_ {xy} $给出的。
为2D情况下没有方向的机器人提供了一个示例，这有点虚构，但是可以说您在在$ x $轴上的行进方向，您知道该分量也会在您的横向轴（$ y $）上产生漂移。例如，这可能是车轮故障。这将导致旋转的不确定椭圆。现在例如当您以后有一些东西可以测量您的实际$ x $头寸时，您可以估算$ y $分量的不确定性分布。
一个更相关的示例是在3D情况下，通常在横向方向上与横向方向相比，不确定性有所不同。旋转系统时（更改$ \ theta $），这也会旋转不确定性椭圆。请注意，实际表示通常是一些香蕉形状，而高斯只是一个近似值。在EKF情况下，它围绕均值线性化。
可视化的一种不错的方法是使用不确定性椭圆的概念。它基本上显示了多元高斯分布的$ 1 \ sigma $边界，并且可以用于可视化协方差矩阵。快速搜索显示了此演示，还将为您提供有关如何构建协方差的其他信息。本质上，对角线入口定义了轴的范围，而非对角线入口则涉及整个椭圆的旋转。
在3D情况下也是如此。我很想在这里获得更多的数学信息，但也许会在一段时间后。
评论
$ \ begingroup $
感谢您的答复。实际上，何时发生关联？让我们至少谈论一下以2D运动的机器人（我的帖子中的$ \ Sigma $代表该机器人的协方差矩阵）。 $ x $的值会如何影响$ y $的值？我对角线元素没有问题，因为它们清楚地代表了每个元素的不确定性。
$ \ endgroup $
– Croco
2014年1月27日10:09
$ \ begingroup $
@CroCo我认为您所要求的示例在答案的第四段中进行了描述。
$ \ endgroup $
–德米特
2014年1月28日在9:31
评论
$ \ begingroup $
好吧，如果我的模型被表示为在平面环境（例如2D）中移动的点，那么对角线元素为零，因为对角线元素之间没有这种相关性。这个假设正确吗？如果该点检测到具有两个坐标（例如$ x，y $）的地标怎么办，我还可以假设相关性为零吗？
$ \ endgroup $
– Croco
2014年1月28日下午5:42
$ \ begingroup $
第一个问题，是的，您可以将非对角元素保留为零。第二，它取决于您的处理方式。如果仅使用地标来估计当前位置，则没有相关性。如果将界标位置添加到状态向量中（这在SLAM中很常见），则它们将开始发展它们之间的相关性。
$ \ endgroup $
–ryan0270
2014年1月28日13:47