为什么在计算机图形学中使用同质坐标？

#1 楼

它们简化并统一了图形中使用的数学：


它们允许您用矩阵表示平移。
它们允许您表示透视投影中的深度除法。
/>
第一个与仿射几何有关。
第二个与射影几何有关。

#2 楼

它的名字是：均质坐标...均质。
均质表示旋转，平移，缩放和其他变换的统一表示。

统一表示允许优化。 3D图形硬件可以专门用于在4x4矩阵上执行矩阵乘法。甚至可以专门识别和保存乘以0或1的乘法，因为它们经常被使用。

不使用齐次坐标可能很难充分利用高度优化的硬件。无论哪种程序都认识到，可以使用硬件的优化指令（通常是编译器，但有时情况会更复杂）来实现同类坐标，而很难优化其他表示形式。它将选择优化程度较低的指令，从而不利用硬件的潜力。

由于有一些示例，例如：
索尼的PS4可以执行大规模矩阵乘法。它的优点是如此之大，以至于售罄了一段时间，因为它们使用了群集而不是更昂贵的超级计算机。索尼随后要求不得将其硬件用于军事目的。是的，超级计算机是军事装备。

即使没有图形，研究人员也很普遍使用图形卡来计算其矩阵乘法。仅仅是因为它们在性能上要比通用CPU更好。
为了进行比较，现代多核CPU的数量级大约为16个流水线（x0.5或x2无关紧要），而GPU的数量级则最大。共有1024个管道。

与其说是核心，不如说是允许实际并行处理的管道。核心在线程上工作。必须对线程进行显式编程。管道在指令级别上工作。该芯片可以自己或多或少地并行化指令。

#3 楼

补数：

均匀坐标还可以表示无穷大：$（x，y，z，0）= \ frac {x，y，z} 0 $在3D中，即在无穷大处的点方向$ x，y，z $。通常，可以用相同的方式表示在有限或无限位置上的光源。

关于透视变换，它甚至可以正确插值而没有透视失真（与PC上的早期图形硬件相反）。 />

#4 楼

假设您要使用矩阵表示转换。点可以存储为$$ \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} $$，并且您可以将旋转表示为$$ \ begin {bmatrix} u \\ v \ end {bmatrix} = \ begin { bmatrix} cos（\ theta）＆-sin（\ theta）\\ sin（\ theta）＆cos（\ theta）\ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} $$并缩放为$$ \ begin {bmatrix} u \\ v \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} k1＆0 \\ 0＆k2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} $$作为线性变换，它们使我们能够将变换做为矩阵乘法。但是请注意，您不能将转换作为矩阵乘法进行。相反，您必须执行$$ \ begin {bmatrix} u \\ v \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} s \\ t \ end {bmatrix } $$这称为仿射变换。但是，这在计算方面是不希望的。

让R和S为旋转和缩放矩阵，T为平移矢量。在计算机图形学中，您可能需要进行一系列翻译。您可以想象这会变得多么棘手。

缩放，平移，旋转和缩放，然后再次平移：$$ p'= SR（Sp + T）+ T $$
不太糟糕了，但想象一下您已经在一百万点上进行了此计算。我们想要将旋转，缩放和平移都表示为矩阵乘法。然后，可以将这些矩阵预乘在一起，形成易于转换的单个转换矩阵。

缩放，平移，旋转和缩放，然后再次平移：
$$ M = TSRTS $$ $$ p'= Mp $$

我们可以通过向我们的点添加另一个坐标来实现这一点。我将针对2D图形（3D点）展示所有这些内容，但是您可以将所有这些扩展到3D图形（4D点）。
$$ p = \ begin {bmatrix} x \\ y \\ 1 \ end {bmatrix} $$
旋转矩阵：
$$ R = \ begin {bmatrix} cos（\ theta）＆-sin（\ theta）＆0 \\ sin（\ theta）＆cos（\ theta ）＆0 \\ 0＆0＆0＆1 \ end {bmatrix} $$
比例矩阵：
$$ S = \ begin {bmatrix} k1＆0＆0 \\ 0＆k2＆0 \\ 0＆0＆1 \ end {bmatrix} $$
翻译矩阵：
$$ T = \ begin {bmatrix} 1＆0＆t1 \\ 0＆1＆t2 \\ 0＆0＆1 \ end {bmatrix} $$
您应该算出一些例子，以使自己相信这些实际上可以为您提供所需的变换，并且可以通过将多个矩阵相乘来组成一系列变换。

您可以走得更远，让额外的坐标取任何值。 $$ p = \ begin {bmatrix} x \\ y \\ w \ end {bmatrix} $$，并说这个齐次（x，y，w）坐标表示（x / w ，y / w）。通常，您不能使用矩阵变换进行除法，但是通过允许w为除数，可以将w设置为某个值（通过矩阵乘法），并允许它表示除法。这对于进行投影很有用，因为（在3D中）您需要将x和y坐标除以-z（在右手坐标系中）。您可以使用以下投影矩阵将w设置为-z来实现此目的：
$$ Q = \ begin {bmatrix} 1＆0＆0＆0 \\ 0＆1＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆0 \\ 0＆0＆-1＆0 \ end {bmatrix} $$

#5 楼

作为个人喜好，我总是在可能的情况下不使用齐次坐标，而倾向于使用简单的笛卡尔公式。

主要原因是这样的事实，即齐次坐标在变换矩阵中使用4个平凡的项（0， 0、0、1），涉及无用的存储和计算（也是这种情况下使用的默认情况下通用矩阵计算例程的开销）。

缺点是您需要更多在写方程式时会很在意，并失去了对矩阵理论的支持，但到目前为止，我还幸免于难。

#6 楼

仿射坐标的计算通常需要除法，与加法或乘法相比，除法成本很高。使用投影坐标时，通常不需要进行除法。

使用投影坐标（更常见的是，投影几何）也趋向于消除特殊情况，从而使一切更简单，更统一。

#7 楼

简单的公式
更少的特殊情况
统一和
对偶