点变换和矢量变换有什么区别？

#1 楼

这是简单的答案。

在4D中，为了能够将它们乘以4x4矩阵，向量表示为（x，y，z，0），点表示为（x，y， z，1）。

由于4x4矩阵的第四行表示矩阵的平移，因此上述表示使得点受平移影响，而矢量不受此影响。

矢量和点都受旋转，缩放等因素的影响。

注意：

如果您希望矢量具有矢量，则需要进行更深入的讨论。某些属性。例如，如果您用与变换三角形顶点相同的矩阵来变换三角形的法线，则实际上它可能不再是该三角形的法线向量。这是因为法向向量与其从其计算出的顶点具有某种反比关系。

#2 楼

从我学到的知识来看，因为我也是一个学生，所以您希望使用$ 4 \乘以4 $的矩阵，以便以相同的方式处理旋转，缩放和平移，即乘以一个矩阵（即$ 4 \ times 4 $矩阵）。

请记住，没有这些$ 4 \ times 4 $矩阵，平移将通过向量求和来表示，而旋转和缩放则分别使用向量和标量因子。

现在的问题是：我们如何从3D坐标系传递到4D坐标系？答案是“同质坐标”。

那是什么意思？我们构造$ 4 x 4矩阵来表示旋转，缩放和平移，因此我们仅使用矩阵乘法来表示变换（例如旋转，缩放等）。我们将如何分别构建它们，这是更具体的，但是您可以在网络上查看它。

此时，我们有$ 4 \ times 4 $矩阵和3D向量，这还没有用，因为您不能将$ 4 \ times 4 $矩阵和$ 3D $向量相乘，因为维不匹配。这就是为什么当我们使用原始坐标时，我们还需要将给定的3D点转换为相应的4D点。

我们如何做到？

我们区分方向矢量和位置矢量。顾名思义，方向向量具有指向的方向。我们也关心它们的长度，但是它们不受翻译的影响，因为我们不在乎它们的位置。位置向量（或简称为“点”）可以平移或移动；它们通常是相对于原点表示的，即从原点到点本身的向量。

我们通过添加一个$ 0 $作为相应的同质矢量的$ 4 $坐标来变换3D方向矢量：我们添加一个零，因为这基本上消除了平移的影响。我们对位置矢量进行了类似的操作，但是由于相反的原因，我们添加了$ 1 $而不是$ 0 $。

例如，如果我们有$ 3D $方向矢量$ v = \ begin {pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {pmatrix} $，我们将其转换为$ v'= \ begin {pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ 0 \ end {pmatrix} $。同样，如果我们有一个点矢量$ u = \ begin {pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \ end {pmatrix} $，我们会将其转换为$ u'= \ begin {pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ 1 \ end {pmatrix} $

注意：要从齐次坐标转换回对应的$ 3D $坐标，您不能简单地删除$ 4th $坐标，除非它仍然等于$ 1 $（或分别为$ 0 $）。

#3 楼

如果要查找向量和点的定义，则向量为：


完全由量值和方向指定的量，例如速度。 > http://www.thefreedictionary.com/vector


要点是：


一个无量纲的几何对象，除了位置外没有其他属性。
http://www.thefreedictionary.com/point


所以可以说向量是具有比例的方向，而点是位置。 />
因此，如果变换向量，则只需旋转和缩放即可。对于点，您还可以对其进行平移（点的旋转和缩放围绕原点进行，因为它只是点本身无法旋转的位置）。

在大多数情况下，矢量和将点放入同一容器中，该容器具有4个分量。唯一的区别是w分量。如果w分量为0，则为方向。如果它是1，则向量是一个点。

其原因可以在矩阵本身中找到。
它利用将向量与4个分量相乘的方式4x4矩阵。如果您不知道它是如何工作的，我建议您使用Google。

大多数情况下，您使用4x4矩阵。正常的转换矩阵可能看起来像这样：
\开始{bmatrix} rot + scale＆rot + scale＆rot + scale＆translation \\ rot + scale＆rot + scale＆rot + scale＆translation \\ rot + scale＆rot + scale＆rot + scale＆translation \\ 0＆0＆0＆1 \ end {bmatrix }
（旋转和缩放比例可以放在3x3区域中，因此，仅旋转和缩放比例也可以使用3x3矩阵，但是在进行平移时，我们需要第4列。）

如您所见，如果最后一个分量为0，则您有一个与0的乘法，因此结果为0，并且没有转换。

这使得在带有多边形对象的计算机图形中变得容易。您可以使用相同的变换矩阵来变换位置，但也可以变换法线。因为法线的w分量设置为0，而位置的w分量为1，所以法线只是旋转（并且会缩放，这可能会导致一些奇怪的事情，因此大多数情况下，法线在之后进行归一化。实际上，由于奇怪的东西，实际上建议使用相同的矩阵进行位置和旋转！请查看@JarkkoL的注释。）然后转换位置（并围绕原点旋转和缩放比例）。

希望我没弄错：P，对您有帮助！