为什么在FFT中会出现频谱泄漏？

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xFreq = 10.5
xSize = 100.0
xPeriod = xSize/xFreq
x = np.linspace(1,xSize,xSize)

data = np.sin(2*np.pi*x/xPeriod)
fft = np.fft.fft(data)
fft = np.fft.fftshift(fft)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(abs(fft), "o")
ax.set_yscale('log')
plt.show()

#1 楼

FFT具有有限的长度，因此构成了数据流上的默认矩形窗口。时域中的窗口会随着窗口的变换而在频域中产生卷积。请注意，矩形窗口的变换是Sinc函数（sin（x）/ x），具有无限的宽度。它的宽度不只是2个垃圾箱。因此，Sinc函数的纹波将显示为“泄漏”，远离FFT长度上并非完美周期性的任何频谱峰值。

下图显示了Sinc函数的频率响应的一部分。当音调位于两个音轨之一上时，所有其他点都与频率响应中的零点对齐。如果它不在某个频率仓的中心，则就像移动整个频率响应，这将导致其他频率档落在频率响应的非零部分上。



另一种看待它的方法是，FFT只是一个滤波器组，其中每个滤波器的阻带底限都有很多纹波，并且在距中心频率超过1 bin处的衰减中肯定不是无限的。除矩形外，某些窗口（冯·汉恩（von Hann）等）的阻带较低，这是其广泛使用的原因之一。

#2 楼

hotpaw2的回答很好，但我想对user5133的注释进行一些详细说明：


感谢您没有通过说“ FFT假定其输入序列来解释泄漏”是周期性的。”可悲的是，“假定的周期性”这一愚蠢的概念在DSP的文献中经常被重复使用，同时也回答了这个问题。请注意，我注意到该领域的专家---可以随意评论，纠正或确认。

离散时间傅立叶变换（DTFT）定义为$ \ mathbb {Z} $（而不仅仅是$ \ {1,2，\ dots，N \} $！）由

$$ X（\ omega）= \ sum _ {n =-\ infty} ^ {\ infty } x [n] \，e ^ {-i \ omega n}。$$

实际上，测量信号是有限的；用$ N $表示长度。有限信号可以通过$ N $-周期扩展到$ \ mathbb {Z} $之上。离散傅立叶变换（DFT）由
$$ {\ displaystyle X_ {k} \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {N定义-1} x_ {n} \ cdot e ^ {-2 \ pi ikn / N}，\ quad k \ in \ mathbb {Z} \，} $$
对应于离散频率$ X（2 \ pi k / N）$的DTFT，除非$ n $不在$ \ {1,2，\ dots，N \} $中。换句话说，它对应于$ x [n] w [n] $的DTFT，其中$ w $是一个矩形函数，当$ n \ in \ {1，\ dots，N \} $到处都是0时等于1 else。

产品的傅立叶变换是傅立叶变换的卷积：

$$ \ mathcal {F} \ {f \ cdot g \} = \ mathcal {F} \ {f \} * \ mathcal {F} \ {g \} $$

，以便原始信号的DFT是其“周期性”版本的DTFT的卷积使用矩形窗口的傅立叶变换...这是$ \ text {sinc} $，因为（在连续框架中，以0为中心以简化...）：

$$ \ int_ {-\ infty} ^ \ infty w（f）e ^ {-j \ omega t} dt = \ int _ {-tau} ^ {\ tau} e ^ {-j \ omega t} dt = 2 \ tau \ text {sinc}（\ omega \ tau）$$

与$ \ text {sinc} $的卷积产生观察到的旁瓣（在某些特定情况下除外）。