Wolfram Alpha就Lambert W函数（即$ \ ln（x）/ W（\ ln（x））$）给出了一个很好的符号解决方案。维基百科给出了相同的公式，以及等效的$ e ^ {W（\ ln（x））} $。鉴于在计算$ W（x）$ [1] [2]方面有合理数量的信息，因此从技术上讲，这是实现满足各种要求的东西所需的一切。我知道至少有两本书详细介绍了近似$ \ ln（x）$ [3] [4]，因此从该方向上甚至还有很多优化的空间。
我有两个问题：
是否已在任何地方发布了针对该函数的近似技术？
除了“平方超根”之外，它是否还会使用其他名称？引用容易一些吗？
Wikipedia / Google已经找到了一些引用，这些引用专门用于更通用的“四分法”功能，其中包括$ \ mathrm {ssrt}（x）$作为特例，但大多数
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Corless，R .；它们似乎更适合于探索/定义一般情况。 Gonnet，G .；野兔，D。杰弗里（D.） Knuth，Donald（1996），“关于Lambert W函数” http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf
数学函数数字图书馆。 http://dlmf.nist.gov/4.13
Crenshaw，Jack W.（2000），用于实时编程的数学工具包。
Hart，John F.（ 1978年），计算机近似。
Chapeau-Blondeau，F.和Monir，A.（2002）。 Lambert W函数的数值评估及其在指数为1/2的广义高斯噪声产生中的应用。 IEEE
信号处理交易50，2160-2165。 http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf
Minero，保罗。快速近似Lambert W. http://www.machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html
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更新
在过去几天进行了更多研究之后，我仍然没有发现对$ \ mathrm {ssrt}（ x）$我一直希望，但是我确实找到了一个值得在此处记录的新参考。在[[5] $]的第三页上，有一个标题为“快速近似”的部分，详细介绍了在噪声生成的情况下近似$ W（x）$的情况。另外，有趣的是，“高斯噪声指数为1/2”的概率密度（在本文中）看起来与凯伦杰（Kellenjb）关于检测信号削波的问题的答案中的直方图极为相似。
此外，rwong在注释$ [6] $中给出的链接对于实际实现$ W（x）$是一个很好的资源，它甚至链接到作者的BSD许可项目fastapprox，其中包括所描述的实现。 >
#1 楼
在黑暗中，一些数值刺为迭代方法带来了以下结果：我们正在寻找解y = f（x），其中y ^ y = x。
$$ y \ ln y = \ ln x $$
$$ y = g（x，y）= e ^ {\ frac {\ ln x} {y}} $$
$ y $的值是上述等式的一个固定点，根据经验，对于$ x $的某些值它似乎收敛，但是对于较大的$ x $的值它会振荡或发散。 >
然后我尝试了一种类似于牛顿迭代平方根的方法：
$$ y = \ frac {y_ {previous} + y _ {*}} {2} = \ frac { y + e ^ {\ frac {\ ln x} {y}}} {2} $$
其中y *表示一个非收敛但乐观的答案，如果您碰巧猜出的话，它可以保持准确性一个准确的初始值（平方根y2 = x，它是y * = x / y）。
收敛，但是在$ x $的低端（在$ x_ {附近， min} =（\ frac {1} {e}）^ {\ frac {1} {e}} $）
看起来还不错，最初的猜测是$ y_0 = \ ln（x ）+ 1 $。
所以我想这是一个更好收敛的解决方案：
$ y =（1-a）\ times y + a \ times g（x，y）$对于$ a $的某些值，它是$的函数x $。
然后我发现了一些有趣的东西。
如果从上述方法中得到的收敛值$ y $为$ y ^ y = x $，然后计算$ y_2 = g（x，y + \ epsilon）= e ^ {\ frac {\ ln（x）} {y + \ epsilon}} $，看来$ y_2-y $ =大约$ \ epsilon次（- \ ln（y））$ ....例如如果我们对某个未知的$ \ epsilon $进行猜测$ y_1 = y + \ epsilon $，并且计算出的$ y_2 = g（x，y_1）$，则$（y_2-y）\ approx \ epsilon \ times（-\ ln（y））=（y_1-y）\ times（-\ ln（y））$。 （为澄清起见，我没有进行分析来验证这一点，但是数字只是从我执行的一些数值评估中弹出。）
求解$ y $中的线性项，您将得到$ y = \ dfrac {y_2 + \ ln（y）\ times y_1} {1 + \ ln（y）} $ ...使用$ \ ln（y_1）$代替$ \ ln（y）$，您会得到这个迭代逼近：
$$ \ begin {align *}
y [n + 1]＆= \ frac {g（x，y [n]）+ \ ln（y [n]）\次y [n]} {1+ \ ln（y [n]）} \\
＆= \ frac {e ^ {\ frac {\ ln（x）} {y [n]}} + \ ln（y [n]）\乘以y [n]} {1+ \ ln（ y [n]）}
\ end {align *} $$
这似乎很好用，最初的猜测是$ y = 1+ \ ln（x）$，并且收敛于4或5次迭代。
（有人可能会表明它在某种程度上等效于Newton-Raphson，但我认为这超出了我的能力。）
评论
machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html我在Meta上询问了此问题，因为注释字段并不用于扩展讨论。请在此处建议我们应如何处理这些问题：有关数值分析的问题是否在主题上？
@datageist-来自元问题的最初结论是，如果您想使用此数值分析来处理DSP数据，那么它就是主题。如果没有，那就没有。这与DSP有何关系？
@Kevin是在开发音频效果的背景下出现的。
每当我需要为Lambert函数编写例程时，通常都使用本文给出的近似值，然后使用Newton-Raphson，Halley或任何其他迭代方法进行完善。您可以采用这种方法来反转$ x ^ x $ ...