据我了解，FIR滤波器的脉冲响应与滤波器的卷积内核是一样的。 （如果我错了，请纠正我。）
据我所知，FIR滤波器的脉冲响应的成分频率（即傅立叶变换）与滤波器的频率响应相同。因此，傅立叶逆变换将使我获得脉冲响应。（同样，如果我做错了，请纠正我）。
这使我得出两个结论（忽略相位响应或假设线性相位响应）：
我应该能够通过“画出”所需的频率响应，进行IFFT以获得脉冲响应，并使用它来设计任意频率响应的FIR滤波器作为我的卷积内核。
或者，我应该能够通过对输入信号进行FFT，在频域中乘以所需的任意频率响应，并对结果进行IFFT来创建滤波器，从而创建滤波器输出信号。
直觉上，感觉1和2是等效的，但是我不确定是否能证明这一点。
似乎人（和DSP文献）竭尽全力来设计具有预定义响应的FIR内核，使用诸如Chebyshev或Remez之类的复杂的（对我而言）算法（我抛出了一些我已经例如，没有真正理解它们。）
为什么每个可能的FIR内核都存在FFT / IFFT转换，为什么要采用这些长度？
为什么不简单地绘制所需的确切频率响应，进行IFFT，然后有FIR内核（上面的方法1）？
#1 楼
您看到人们设计FIR滤波器而不是采用直接方法（如1和2）的原因之一是，直接方法通常未能考虑频域中的周期性，而使用FFT实现卷积的事实是循环卷积。是什么意思？
假设您有一个信号$ x = [1，2，3，4] $和一个滤波器脉冲响应（卷积内核） ;是的，它们是相同的）$ h = [1，1] $。
卷积$ y = x * h $是$ [1、3、5、7、4] $ 5个长度的向量。如果使用FFT（长度错误，为4），则得到的答案为$ [3，5，7，5] $。产生差异的原因是这两者的线性卷积结果为长度5，但圆形卷积的结果与FFT长度无关。
如果FFT长度大于或等于线性卷积结果的长度，则两者相同。否则，两者将不相同（除非数据以某种方式密谋做到这一点，例如，如果一个信号为零）。
评论
$ \ begingroup $
当然可以，但是为什么有人不能确保FFT / IFFT的大小与最终卷积长度相称呢？例如，卷积长度为N + M-1，因此只需确保在傅立叶域中“画出”频率响应，长度为M-1。为什么不行呢？有趣的东西顺便说一句。 :)
$ \ endgroup $
– TheGrapeBeyond
2013年9月3日在18:49
$ \ begingroup $
@TheGrapeBeyond：完全没有理由！只用$ M-1 $点的徒手绘制响应可能并没有达到您认为的效果（在点之间）。
$ \ endgroup $
– Peter K.♦
2013年9月3日19:07在
$ \ begingroup $
长度为M-1的频率响应仍然具有无限的长度脉冲响应。这意味着当您进行IFFT以获得滤波后的结果时，滤波器的脉冲响应的尾部将环绕（多次）并增加最终时域结果。也许一点。也许很多。
$ \ endgroup $
– hotpaw2
2013年9月4日在1:13
#2 楼
一个问题是处理使用有限长度FFT时环绕的无限长度变换。有限长度频率响应的傅立叶变换是无限长度脉冲响应或滤波器内核。大多数人希望过滤器在其耗尽或耗尽计算机内存之前完成，因此需要技巧来生产更短的FIR过滤器。与“经典”滤波器原型之一相比，仅使无限冲激响应的尾部环绕FFT，或将其截短至某个通用长度，就可能会为您所需的频率产生劣等的FIR滤波器。另一个问题是，随机的“绘制”频率响应在任何有限分辨率下，绘制点之间通常都具有可怕的响应（野生的过冲）。转换为FIR滤波器，它会像疯了似的响起。经典滤波器原型被设计为具有在采样点之间平滑的频率响应函数。
您的（2）被称为快速卷积，通常在FFT长于数据长度的情况下使用窗口加上组合的滤波器内核，并使用适当的重叠添加/保存来照顾每个卷积段或窗口的开始/结束（因为FFT的长度通常是块状的）。
#3 楼
关于1）：是的，您可以通过“绘制”频率响应（幅度和相位）来设计FIR滤波器，但是，这往往效率很低：脉冲响应的长度（和滤波器阶数）只是预先确定的-由您的FFT长度决定如果选择128点FFT，您将获得128个抽头，以获得脉冲响应；如果选择4096点FFT，您将获得4096个滤波器抽头。关于2）：是的，您可以通过在频域中进行乘法滤波，这确实是对大脉冲响应进行有效滤波的唯一方法。但是，正如Peter K所指出的，频域中的乘法对应于循环卷积。实现线性卷积的最常见方法是“重叠添加”或“重叠保存”算法（易于谷歌搜索）。
#4 楼
我不确定我是否理解这里所说的所有内容，但是我想说明傅里叶变换方法。正如您所说，要做的就是定义幅度和相位响应。但是，正如所说的，您确实需要谨慎定义响应。任意响应可能需要大量抽头来实施并给出可怕的时域响应。因此，请谨慎定义它。第二，确实是这样的情况：例如，对于某些特定要求，Parks McClellan方法可以生成比Fourier方法更好的过滤器，但不容易控制抽头计数，并使用该方法定义幅度，相位和阶跃响应。例如，假设您要设计一个特性类似于10极IIR贝塞尔的FIR滤波器，但是您想要稍微缩小过渡带（以阶跃响应过冲为代价）。然后，根据过渡带的变窄程度，使用傅立叶方法可以轻松解决大约22个抽头，这很容易解决问题。
如果您想了解傅立叶方法的功能，请尝试以下FIR程序http://www.iowahills.com/5FIRFiltersPage.html（免费）。例如，它可以设计等效于高斯，贝塞尔，巴特沃思和逆切比雪夫滤波器的IIR。通常，它使您可以将滤波器的响应调整为几乎所有情况，这是傅立叶方法的强项。不利的一面是，对于某些特定要求，过滤器可能不是最佳的。
评论
$ \ begingroup $
看起来确实很有趣。我将不得不尝试使用该软件来真正了解发生的事情-该网页似乎并没有太多详细地描述其方法。但是据我所知，这似乎是一种混合，您可以操纵以更传统的方式生成的滤波器原型的频率响应。那是对的吗？我认为您说的是对的-您需要谨慎定义响应方式，否则最终会产生大量点击。 AFAIU，这是专门设计具有频率响应的滤波器的大问题。
$ \ endgroup $
– bryhoyt
2013年9月11日20:25在
#5 楼
AFAIK，这就是所谓的“幼稚过滤方法”。您可以影响频率空间中某些点的频谱内容，但是对于这些点之间的频率内容没有做任何有用的事情。如果设计适当的FIR滤波器，则实际上还要考虑到那些主要点之间的点，并且这种滤波器比第一个要好得多。.，
Bul。
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