线性相位FIR滤波器4种

#1 楼

从这四种类型的线性相位滤波器中选择一种时，主要要考虑以下三件事：在$ z = 1 $和$时，对$ H（z）$的零点的约束z = -1 $
整数/非整数群延迟
相移（线性相位除外）

对于类型I滤波器（抽头数量奇数，甚至对称）在$ z = 1 $和$ z = -1 $处的零没有限制，相移为零（线性相位除外），群延迟为整数值。

II型滤波器（偶数抽头，甚至对称）在$ z = -1 $时始终为零（即采样频率的一半），相移为零，并且具有非整数群延迟。

III型滤波器（奇数抽头，奇数对称）在$ z = 1 $和$ z = -1 $（即在$ f = 0 $和$ f = f_s /处）始终为零。 2 $），它们具有90度的相移和整数组延迟。

IV型滤波器（偶数抽头，奇数对称）在$ z = 1 $处始终为零， 90度的相移整数上的组延迟。

这意味着（除其他事项外）以下内容：


Type I过滤器非常通用，但是当需要90度相移，例如
由于$ z = -1 $处为零，即$ f = f_s / 2 $，所以II型滤波器通常不用于高通或带阻滤波器。它们也不能用于需要90度相移的应用。
III型滤波器不能用于标准频率选择滤波器，因为在这些情况下，通常不希望90度相移。对于希尔伯特变压器，由于在$ z = 1 $和$ z = -1 $处为零，III型滤波器在非常低和非常高的频率下具有相对较差的幅度近似。另一方面，与IV型希尔伯特变压器相比，III型希尔伯特变压器的实现效率更高，因为在这种情况下，每隔一个抽头为零。
出于与III型滤波器相同的原因，IV型滤波器不能用于标准频率选择滤波器。它们非常适合微分器和希尔伯特变压器，其幅度近似值通常更好，因为与III类滤波器不同，它们在$ z = -1 $处不为零。在这些情况下，首选I型或III型过滤器。

#2 楼

具有反对称脉冲响应的滤波器在$ z = 1 $（即频率0）处都为零。因此，如果您需要实现高通滤波器或类似导数的滤波器（甚至带通），则必须使用类型3和4。

类似地，如果您的滤波器是低通滤波器， -pass类型，然后应用类型1和2。

因此，这取决于您需要设计的过滤器类型，而不是更常见的类型。

然后，类型1和类型3与类型2和类型4在相位响应方面也有所不同。两种类型之间会有一个额外的$ e ^ {j \ theta / 2} $。即使您不在乎实际引入的延迟，在高通滤波器的某些情况下，这种半采样差异对于收敛也可能很重要（额外的相位可以使您的频率响应在$ \ theta = \ pi处连续$，因此可以提供更快的收敛速度，并且需要更少的系数。）

在实现方面，可以有效地实现这4种类型，而无需重复相同的系数两次。

当然，您需要整个M尺寸的延迟线。但是，您不必将每个抽头输出乘以自己的系数，而是先将两个对应的输出相加（或相减），然后再乘以系数一次。

例如，如果脉冲响应为$ h [n] =一个\ delta [n] + b \ delta [n-1] +一个\ delta [n-2] $（类型1过滤器），而不是实现$ y [n] = ax [n] + bx [n-1] + ax [n-2] $，则将其设为$ y [n] = a（x [n] + x [n-2]）+ bx [n-1] $。

#3 楼

由于已经有两个非常好的答案，因此我将给出一些非常基本的示例，可以根据这些示例对其他答案中给出的属性进行完整性检查。零位置和相位响应可直接获得。

对称，M =奇数

$ H（z）= 1 \ pm2z ^ {-1} + z ^ {-2 } =（1 \ pm z ^ {-1}）^ 2 \\
H（e ^ {j \ omega}）=（1 \ pm e ^ {-j \ omega}）^ 2 =（e ^ {-j \ omega / 2}（e ^ {j \ omega / 2} \ pm e ^ {-j \ omega / 2}）^ 2 = e ^ {-j \ omega}（e ^ {j \ omega / 2} \ pm e ^ {-j \ omega / 2}）^ 2 = 4e ^ {-j \ omega} \ cos ^ 2（\ omega / 2）\ quad或\ quad -4e ^ {-j \ omega} \ sin ^ 2（\ omega / 2）= 4e ^ {-j（\ omega- \ pi）} \ sin ^ 2（\ omega / 2）$

$ H（z） = 1 + z ^ {-2} =（1 + jz ^ {-1}）（1-jz ^ {-1}）\\
H（e ^ {j \ omega}）=（1 + e ^ {-j2 \ omega}）= e ^ {-j \ omega}（e ^ {j \ omega} + e ^ {-j \ omega}）= 2e ^ {-j \ omega} \ cos（\ omega ）$

对称，M =偶数

$ H（z）= 1 + z ^ {-1} \\
H（e ^ {j \ omega}）=（1 + e ^ {-j \ omega}）= e ^ {-j \ omega / 2}（e ^ {j \ omega / 2} + e ^ {-j \ omega / 2}）= 2e ^ {-j \ omega / 2} \ cos（\ omega / 2）$

$ H（z）= 1 + z ^ {-3} \\
H（e ^ {j \ omega}）=（1 + e ^ {-j3 \ omega}）= e ^ {-j3 \ omega / 2}（e ^ {j3 \ omega / 2} + e ^ {-j3 \ omega / 2}）= 2e ^ {-j3 \ omega / 2} \ cos（3 \ omega / 2）$

$ H（z）= 1 + 3z ^ {-1} + 3z ^ { -2} + z ^ {-3} =（1 + z ^ {-1} ）^ 3 =（1-e ^ {-2 \ pi / 3} z ^ {-1}）（1-e ^ {2 \ pi / 3} z ^ {-1}）（1 + z ^ {- 1}）\\
H（e ^ {j \ omega}）=（1 + e ^ {-j \ omega}）^ 3 =（e ^ {-j \ omega / 2}（e ^ { j \ omega / 2} + e ^ {-j \ omega / 2}））^ 3 = 8e ^ {-j3 \ omega / 2} \ cos（\ omega / 2）^ 3
$

反对称，M =奇数（根据[1]，在这种情况下$ h [N / 2] = 0 $）

$ H（z）= 1-z ^ { -2} =（1 + z ^ {-1}）（1-z ^ {-1}）\\
H（e ^ {j \ omega}）= 1-e ^ {-j2 \ omega } = e ^ {-j \ omega}（e ^ {j \ omega}-e ^ {-j \ omega}）= 2je ^ {-j \ omega} \ sin（\ omega）= 2e ^ {-j（ \ omega- \ pi / 2）} \ sin（\ omega）$

不对称，M =偶数

$ H（z）= 1-z ^ {-1 } \\
H（e ^ {j \ omega}）=（1-e ^ {-j \ omega}）= e ^ {-j \ omega / 2}（e ^ {j \ omega / 2 }-e ^ {-j \ omega / 2}）= 2je ^ {-j \ omega / 2} \ sin（\ omega / 2）$

[1]一个很好的参考mitrappt