数字滤波器设计基本原理（IIR / FIR）

#1 楼

数字滤波器设计是一个非常大且成熟的主题，并且-正如您在问题中提到的那样-有很多可用的材料。我想在这里尝试的是让您入门，并使现有材料更易于访问。实际上，我应该讨论离散时间滤波器，而不是数字滤波器，因为在这里我不会考虑系数和信号量化。您已经了解了FIR和IIR滤波器，并且还了解了一些滤波器结构，例如DF I和II。不过，让我从一些基础知识开始：

非递归线性时不变（LTI）滤波器可以通过以下差分方程来描述。 ）= h_0x（n）+ h_1x（n-1）+ \ ldots + h_ {N-1} x（n-N + 1）= \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} h_kx（nk）\ tag {1} $$

其中$ y（n）$是输出序列，$ x（n）$是输入序列，$ n $是时间索引，$ h_k $是滤波器系数，$ N $是滤波器长度（抽头数）。滤波器抽头$ h_k $也是滤波器的脉冲响应，因为如果输入信号是脉冲，即$ x（n）= \ delta（n）$，则$ y（n）= h_n $（如果滤波器的内存已用零初始化）。公式（1）描述了线性时不变有限冲激响应（FIR）系统。 （1）的右侧的和是卷积和，即，通过将输入信号与脉冲响应进行卷积来获得输出信号。这始终是正确的，但对于IIR滤波器，由于脉冲响应无限长，即无限多个系数$ h_k $，因此我们无法显式计算卷积和。 FIR滤波器的一个重要优点是它们始终稳定，即对于有界输入序列，输出序列总是有界的。另一个优点是FIR滤波器始终可以实现完全线性的相位，即，除了纯延迟之外，它们不会增加任何相位失真。此外，设计问题通常更容易解决，我们将在后面看到。

递归LTI滤波器由以下差分方程式描述：

$$ y（n）= b_0x（n）+ b_1x（n-1）+ \ ldots + b_Mx（nM）-\\
-a_1y（n-1）-\ ldots-a_Ny（nN）\ tag {2} $$

等式（2）显示输出不仅由加权输入和延迟输入组成样本，也可以加权过去的输出样本。通常，这种系统的脉冲响应是无限长的，即，对应的系统是IIR系统。但是，在某些特殊情况下，递归滤波器具有有限的脉冲响应。注意，脉冲响应不再像FIR滤波器那样由系数$ b_k $或$ a_k $给出。 IIR滤波器的一个优点是，与FIR相比，具有高阻带衰减的陡峭滤波器可以实现的系数（和延迟）要少得多，也就是说，它们的计算效率更高。但是，在选择系数$ a_k $时需要小心，因为IIR滤波器可能不稳定，即，即使输入序列有界，IIR滤波器的输出序列也可能是无界的。

可以设计滤波器根据规范（时域（样本）或频域），或两者兼而有之。既然您在问题中提到了截止频率，所以我想您对频域的规范更感兴趣。在这种情况下，您需要查看FIR和IIR系统的频率响应。假设系统存在，系统的频率响应就是其脉冲响应的傅里叶变换（稳定系统就是这种情况）。 FIR滤波器的频率响应为

$$ H（e ^ {j \ theta}）= \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} h_ke ^ {-jk \ theta} \ tag {3} $$

其中$ \ theta $是离散频率变量：

$$ \ theta = \ frac {2 \ pi f} { f_s} $$

具有实际频率$ f $和采样频率$ f_s $。从（3）中可以看出，用FIR系统逼近所需的频率响应基本上是多项式逼近的问题。对于递归系统，我们有

$$ H（e ^ {j \ theta}）= \ frac {\ sum_ {k = 0} ^ Mb_ke ^ {-j \ theta}} {1+ \ sum_ {k = 1} ^ Na_ke ^ {-j \ theta}} \ tag {4} $$

，您会得到一个有理逼近问题，通常比多项式逼近问题要困难得多对于FIR滤波器。从（3）和（4）中可以看出，FIR滤波器的频率响应当然只是系数为$ a_k = 0 $，$ k = 1，\ dots，N的递归滤波器响应的特例。 $。

现在让我们快速了解一下滤波器的设计方法。对于FIR滤波器，您可以对所需的频率响应进行傅立叶逆变换，以获得滤波器的脉冲响应，该脉冲响应直接对应于滤波器系数。由于您通过有限长度的脉冲响应来近似期望的响应，因此您应该对所获得的脉冲响应应用一个平滑的窗口，以最大程度地减少由于吉布斯现象引起的实际频率响应中的振荡。这种方法称为频率采样方法。

对于简单的标准滤波器，例如理想的低通，高通，带通或带阻滤波器（以及其他一些滤波器），您甚至可以通过以下方法来分析计算精确的脉冲响应：理想期望响应的傅立叶逆变换：

$$ h_k = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ pi} ^ {\ pi} H（e ^ {j \ theta}）e ^ {jk \ theta} d \ theta $$

与理想的频率选择滤波器一样，该积分易于评估分段恒定的期望响应。这将为您提供无限长的非因果的脉冲响应，需要对其进行加窗和平移以使其有限和因果。此方法称为窗口设计。

当然，还有许多其他的FIR滤波器设计方法。一种重要的数值方法是著名的Parks-McClellan交换算法，该算法设计了具有恒定通带和阻带波动的最佳滤波器。这是一种数值逼近方法，并且有许多可用的软件实现方式，例如

用于频率选择滤波器的最常见的IIR设计方法是双线性变换方法。此方法仅使用分析公式来设计最佳模拟滤波器（例如Butterworth，Chebyshev，Cauer /椭圆和Bessel滤波器），然后通过对复变量$ s $应用双线性变换将其转换为离散时域。 （模拟域），它将复数$ s $平面的（虚数）频率轴映射到复数$ z $平面中的单位圆（离散时间域）。如果您对模拟或离散时域中的复杂传递函数了解不多，请不要担心，因为双线性变换方法有很好的实现方式，例如在Matlab或Octave中。

当然，还有许多更有趣和有用的方法，具体取决于您所拥有的规范类型，但是我希望这可以帮助您入门，并能使您学到的任何材料更容易理解。一本很好（免费）的书涵盖了一些基本的滤波器设计方法（以及更多），这是Orfanidis撰写的《信号处理入门》。您可以在那里找到几个设计示例。另一本经典的经典著作是Parks和Burrus的《数字滤波器设计》。